Теоретические сведения. Определение: Функцией распределения F(x)случайной величины Х называется вероятность того, что случайная величина примет значение

Определение: Функцией распределения F (x) случайной величины Х называется вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее х:

F (x) = p (X < x).

 

Свойства функции распределения:

1) 0 ≤ F (x) ≤ 1.

Действительно, так как функция распределения представляет собой вероятность, она может принимать только те значения, которые принимает вероятность.

2) Функция распределения является неубывающей функцией, то есть F (x ₂) ≥ F (x ₁) при х ₂ > x ₁. Это следует из того, что F (x ₂) = p (X < x ₂) = p (X < x ₁) + p (x ₁ ≤ X < x ₂) ≥ F (x ₁).

3) В частности, если все возможные значения Х лежат на интервале [ a, b ], то F (x) = 0 при х ≤ а и F (x) = 1 при х ≥ b. Действительно, X < a – событие невозможное, а X < b – достоверное.

4) Вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала [ a, b ], равна разности значений функции распределения на концах интервала: p (a < X < b) = F (b) – F (a).

 

Справедливость этого утверждения следует из определения функции распределения (см. свойство 2).

 

Для дискретной случайной величины значение F (x) в каждой точке представляет собой сумму вероятностей тех ее возможных значений, которые меньше аргумента функции.

Пример 1. Найдем F (x) по данному закону распределения

 

хi
pi	0,12	0,46	0,42

 

Соответственно график функции распределения имеет ступенчатый вид:

 

 

 

Пример 2. По данному закону распределения найти функцию распределения и построить ее график

 

х
р	1/36	2/36	3/36	4/36	5/36	6/36	5/36	4/36	3/36	2/36	1/36

 

х<2 F(x)=0

2<=x<3 F(x)=1/36

3<=x<4 F(x)=1/36+2/36=3/36

4<=x<5 F(x)=6/36

5<=x<6 F(x)=10/36

6<=x<7 F(x)=15/36

7<=x<8 F(x)=21/36

8<=x<9 F(x)=25/36

9<=x<10 F(x)=30/36

10<=x<11 F(x)=33/36

11<=x<12 F(x)=1

Задание для самостоятельной работы:

Построить график функции распределения предложенного варианта. Оформить согласно требований.

 

1 вариант

х             р 0.00032 0.0064 0.0512 0.2048 0.4096 0.32728

2 вариант

х         р 21/252 105/252 105/252 21/252

3 вариант

х             р 1/32 5/32 10/32 10/32 5/32 1/32

4 вариант

х 0,1       Р 0,4 0,2 0,15 0,25

5 вариант

Х         р 0,2 0,1 0,4 0,3

6 вариант

x -1       p 0.1 0.3 0.5 0.1

7 вариант

x -1         p 0.1 0.1 0.4 0.2 0.2

8 вариант

х         Р 0,3 0,2 0,1 0,4

9 вариант

x -1         p 0,1 0,2 0,25 0,15 0,3

10 вариант

х -2       р 21/252 105/252 105/252 21/252

 

Рекомендуемая литература: 1;3;4.