Вычисление обычных дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения - это уравнения, в которых неизвестными есть функции одной или нескольких переменных. Эти уравнения имеют соотношение между функциями, которые необходимо найти, и их производными. Если в уравнении присутствуют производные по одной переменной, то это есть обычные дифференциальные уравнения (ОДУ). Найти решение дифференциального уравнения (или проинтегрировать его) - это значит определить неизвестную функцию на заданном интервале изменения ее переменную. Дифференциальное уравнение имеет одно решение, вместе с уравнением заданы начальные условия.

С помощью MathCad можно найти решение задач Коши, для которых заданы начальные условия, и функции, которые необходимо отыскать, т.е. заданные значения этой функции в начальной точке интервала интегрирования уравнения. В большинстве случаев дифференциальное уравнение первого порядка можно записать в стандартной форме (форме Коши):

, (1)

и только с такой формою уравнения может работать вычислительный процессор MathCad. Вместе с уравнением (1) необходимо задать начальные условия – значение функции у(t₀) в некоторой точке t₀. Таким образом, необходимо найти функцию у(t) на интервале [t₀, t].

Для числового интегрирования в MathCad есть возможность использовать блок Given/Odesolve или встроенные функции. Вычислительный блок Given/Odesolve, который реализовывает решение одного обычного дифференциального уравнения методом Рунге –Кутта, состоит из трех частей:

ключевое слово Given;

дифференциальное уравнение и начальное условие, которые записаны с помощью логических операторов, причем начальное условие должно записываться в форме

у(t₀)=b;

Odesolve(t,t₁) – встроенная функция для решения ОДУ относительно переменной t на интервале [t₀, t].

Для решения ОДУ можно использовать также встроенные функции rkfixed, Pkadapt, Bestoer.