Вычисление производных и интегралов

Аналогично большинству других наиболее важных математических операций, в MathCad существует численное и символьное дифференцирование. Символьный метод имеет преимущества в том плане, что результат можно получить в виде функции, которую можно будет использовать в дальнейших расчетах. Численный же подход имеет преимущества в некоторых специфических задачах. MathCad позволяет вычислять как обычную производную, так и производные более высоких порядков, а также частные производные (рис. 13).

Оператор простого дифференцирования на панели Calculus для вычисления первой производной имеет два маркера, принцип заполнения которых следующий: в верхний вводится функция, в нижний - переменная, по которой вычисляется производная.

Рисунок 13 – Диалоговое окно для вычисления производных и интегралов

Результат может быть представлен в символьному виде, если использовать оператор символьного вывода ®, а потом обратиться к символьному процессору Symbolic/Evaluate (Символика/Вычислить в символах) (рис. 14).

Рисунок 14 –Меню символьного процессора Symbolic для вычисления в символах

При символьном дифференцировании можно оперировать с функциями нескольких переменных. Оператор дифференцирования может соединяться с любым вычислительным или символьным оператором. Особенно полезным есть оператор Sіmplіfy, так как выражение производной выдается в неупрощенном виде. Для упрощения ответа следует использовать операторы Collect (Приводить подобные), Factor (Раскладывает выражение на множители) и Expand (Раскрывать скобки).

Чтобы получить численное значение производной в нужной точке исходя из результатов символьного расчета, нужно сделать следующее:

1. Найти функцию производной, используя оператор символьного вывода (®).

2. Присвоить переменной соответствующее числовое значение.

3. Скопировать полученное выражение для производной и вычислить его символьно.

Панель Calculus (Вычисление) содержит два оператора интегрирования. Первый, Іndefіnіte Іntegral (Неопределенный интеграл), позволяет определить вид функции, которая интегрируется (рис. 15). Оператор неопределенного интеграла содержит два маркера, которые заполняются соответственно принятому в математике представлению: в левый вводится функция (или имя функции), под знак дифференциала - переменная интегрирования.

Чаще всего результат интегрирования представляет собой громоздкое выражение. В этом случае его следует упрощать. Наиболее универсальный инструмент, который для этого используется - оператор Sіmplіfy (Упростить). Однако иногда выражение можно упростить (оператор Collect), разложив по степеням (оператор Expand) или приведя дробь к общему знаменателю (оператор Factor). Чтобы задействовать нужный символьный оператор, следует выделить выражение интеграла и нажать соответствующую кнопку на панели Symbolіc (Символьные). Применить к результату интегрирования можно и сразу несколько символьных операторов.

Нахождение определенного интегралу выполняется подобно тому как вычисляется неопределенный интеграл. Для интегрирования необходимо обратиться на панели Символьные к функции sіmplіfy. Ввести оператор интегрирования. В соответствующих местах заполнить имя первой переменной и границы интегрирования. Если необходимо вычислить кратные интегралы, то на месте введения функции под интегралом ввести еще один оператор интегрирования, границы интегрирования и подынтегральную функцию. Аналогично выполняется интегрирование по нескольким переменным.

Можно определить интеграл в символьном виде, например, .

Для числового интегрирования MathCad предлагает воспользоваться встроенными программами вычисления интегралов (рис. 15). Для того, чтобы обратиться к приближенному расчету, необходимо в контекстном меню выбрать один из методов интегрирования.

Рисунок 15 –Меню со встроенными программами для числового интегрирования