Изучение движения гироскопа

Цель работы: изучение законов вращательного движения, изучение движения (прецессии) гироскопа под действием момента сил.

Основные понятия. Основной закон вращательного движения

Моментом импульса L материальной точки относительно точки О называется векторное произведение радиуса-вектора этой точки на вектор ее импульса p:

Рис.1.

,

где r – радиус-вектор, проведенный из точки О в точку А, расположения материальной точки, p =m v – импульс материальной точки. Модуль вектора момента импульса:

,

где a - угол между векторами r и p, l – плечо вектора p относительно точки О. Вектор L, согласно определению векторного произведения перпендикулярен к плоскости в которой лежат векторы r и p (или v), его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от r к p по кратчайшему расстоянию, как показано на рисунке.

Моментом импульса относительно оси называется скалярная величина, равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки на этой оси.

Моментом силы M материальной точки относительно точки О называется векторная величина, определяемая векторным произведением радиуса-вектора r, проведенного из точки О в точку приложения силы Β, на силу F: .

Рис.2.

Модуль вектора момента силы:

,

где a - угол между векторами r и F, d = r*sina – плечо силы – кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой О. Вектор M (также как L) - перпендикулярен к плоскости в которой лежат векторы r и F, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от r к F по кратчайшему расстоянию, как показано на рисунке.

Моментом силы относительно оси называется скалярная величина, равная проекции на эту ось вектора момента силы M определенного относительно произвольной точки на этой оси.

Основной закон динамики вращательного движения

Для выяснения назначения приведенных выше понятий рассмотрим систему из двух материальных точек (частиц) и затем обобщим результат на систему из произвольного числа частиц (т.е. на твердое тело). Пусть на частицы с массами m₁, m₂, импульсы которых p₁ и p₂, действуют внешние силы F₁ и F₂. Частицы также взаимодействуют друг с другом внутренними силами f₁₂ и f₂₁.

Рис.3.

Запишем второй закон Ньютона для каждой из частиц, а также вытекающую из третьего закона Ньютона связь между внутренними силами:

, (1)

, (2)

. (3)

Умножим векторно уравнение (1) на r₁, а уравнение (2) – на r₂ и сложим полученные выражения:

. (4)

Преобразуем левые части уравнения (4), учитывая что

, i=1, 2.

Векторы и параллельны и их векторное произведение равно нулю, поэтому можно записать

. (5)

Первые два слагаемых справа в (4) равны нулю, т.е.

, (6)

поскольку f₂₁=-f₁₂, а вектор r₁ - r₂ направлен по одной и той же прямой, что и вектор f₁₂.

Учитывая (5)и (6) из (4) получим

или

, (7)

где L=L₁+L₂; M=M₁+M₂. Обобщая результат на систему из n частиц, мы можем записать L=L₁+L₂+…+L_n= M=M₁+M₂ +M_n =

Уравнение (7) является математической записью основного закона динамики вращательного движения: скорость изменения момента импульса системы равна сумме действующих на нее моментов внешних сил. Этот закон справедлив относительно любой неподвижной или движущейся с постоянной скоростью точки в инерциальной системе отсчета. Отсюда же следует закон сохранения момента импульса: если момент внешних сил M равен нулю, то момент импульса системы сохраняется (L =const).

Момент импульса абсолютно твердого тела относительно неподвижной оси.

Рассмотрим вращение абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси z. Твердое тело можно представить как систему из n материальных точек (частиц). При вращении некоторая рассматриваемая точка тела (обозначим ее индексом i, причем i=1…n) движется по окружности постоянного радиуса R_i с линейной скоростью v_i вокруг оси z (рис.4).

Рис.4.

 

Ее скорость v_i и импульс m_i v_i перпендикулярны радиусу R_i. Поэтому модуль момента импульса частицы тела относительно точки О, расположенной на оси вращения:

,

где r_i – радиус- вектор, проведенный от точки О к частице.

Используя связь между линейной и угловой скоростью v_i=wR_i, где R_i –расстояние частицы от оси вращения, получим

.

Проекция этого вектора на ось вращения z, т.е. момент импульса частицы тела относительно оси z будет равна:

.

Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульсов всех частей тела:

.

Величина I_z, равная сумме произведений масс частиц тела на квадраты их расстояний до оси z, называется моментом инерции тела относительно данной оси:

. (8)

Из выражения (8) следует, что момент импульса тела не зависит от положения точки О на оси вращения, поэтому говорят о моменте импульса тела относительно некоторой оси вращения, а не относительно точки

Между формулировками основного закона вращательного движения, определениями момента импульса, силы существует схожесть с формулировками второго закона Ньютона и определениями импульса для поступательного движения.

Свободные оси и главные оси инерции тела

Для того чтобы сохранить фиксированное положение в пространстве оси вращения твердого тела, ее механически закрепляют, используя обычно подшипники, т.е. воздействуют внешними силами. Однако существуют такие оси вращения тел, которые не изменяют своей ориентации в пространстве без действия на них внешних сил. Эти оси называются свободными осями. Можно доказать, что у любого тела имеются три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через его центр масс, которые являются свободными. Эти оси называются также главными осями инерции тела.

Гироскопы

В настоящее время гироскопами называют очень широкий класс приборов в которых используются более ста различных явлений и физических принципов. В данной лабораторной работе изучается классический гироскоп, в дальнейшем просто гироскоп.

Гироскопом (или волчком) называется массивное симметричное тело, вращающееся с большой угловой скоростью вокруг своей оси симметрии. Эту ось мы будем называть осью гироскопа. Ось гироскопа является одной из главных осей инерции (свободной осью). Момент импульса гироскопа в таком случае направлен вдоль оси и равен L =I w.

Рассмотрим горизонтально ориентированный уравновешенный гироскоп (центр тяжести которого находится над точкой опоры). Так как момент силы тяжести для него равен нулю, то согласно закону сохранения момента импульса L =I w= const, т.е. направление его оси вращения не изменяет положения в пространстве.

При попытке вызвать поворот оси гироскопа наблюдается явление, называемое гироскопическим эффектом. Суть эффекта: под действием силы F, приложенной к оси вращающегося гироскопа, ось гироскопа поворачивается в плоскости, перпендикулярной этой силе. Например, при действии вертикальной силы, ось гироскопа поворачивается в горизонтальной плоскости. На первый взгляд это кажется противоестественным.

Гироскопический эффект объясняется следующим образом (рис.5). Момент M силы F направлен перпендикулярно его оси, т.к. M=[r,F], r-радиус-вектор из центра масс гироскопа в точку приложения силы.

Рис.5.

За время dt момент импульса гироскопа L получит приращение d L = M *dt (в соответствии с основным законом вращательного движения), и направленное в том же направлении, что и M и станет равным L +d L. Направление L +d L совпадает с новым направлением оси вращения гироскопа. Таким образом, ось гироскопа повернется в плоскости перпендикулярной силе F на некоторый угол dφ=|dL|/L=M*dt/L, с угловой скоростью

. (9)

Угловая скорость поворота оси гироскопа W называется угловой скоростью прецессии, а такое вращательное движение оси гироскопа прецессией.

Из (9) следует

M=W L.

Векторы M, L, W взаимно перпендикулярны, поэтому можно записать

M=[W,L].

Эта формула получена, когда векторы M, L, W взаимно перпендикулярны, однако можно доказать, что справедлива в общей случае.

Отметим, что данные рассуждения и вывод формул справедлив в том случае, когда угловая скорость вращения гироскопа w>>W.

Из формулы (9) следует, что скорость прецессии W прямо пропорциональна M и обратно пропорциональна моменту импульса гироскопа L. Если время действия силы мало, момент импульса L достаточно велик, то скорость прецессии W будет мала. Поэтому кратковременное действие сил практически не приводит к изменению ориентации оси вращения гироскопа в пространстве. Для ее изменения следует прикладывать силы в течение длительного времени.

Практическое применение гироскопов

Описанные выше свойства гироскопа нашли себе разнообразные практические применения. Одно из первых применений свойства гироскопов нашли в нарезном оружии. После вылета из ствола орудия на снаряд действует сила сопротивления воздуха, момент которой может опрокинуть снаряд и изменить его ориентацию относительно траектории беспорядочным образом, что отрицательно влияет на дальность полета и точность попадания в цель. Винтовые нарезы в стволе орудия сообщают вылетающему снаряду быстрое вращение вокруг его оси. Снаряд превращается в гироскоп и внешний момент силы сопротивления воздуха вызывает лишь прецессию его оси вокруг направления касательной к траектории снаряда. При этом сохраняется определенная ориентация снаряда в пространстве.

Другим важным применением гироскопов являются различные гироскопические приборы: гирогоризонт, гирокомпас и т.д. Уравновешенные гироскопы также применяются для поддержания заданного направления движения самолета (автопилот). Для этого крепление гироскопа осуществляют на карданной подвеске, которая уменьшает действие внешних моментов сил, возникающих при маневре самолета. Благодаря этому ось гироскопа сохраняет свое направление в пространстве независимо от движения самолета. При отклонении направления движения самолета от направления, заданного осью гироскопа, возникают автоматические команды, возвращающие к заданному направлению.

Описанное поведение гироскопа также положено в основу прибора, называемого гироскопическим компасом (гирокомпасом). Этот прибор представляет собой гироскоп, ось которого может свободно поворачиваться в горизонтальной плоскости. Под влиянием суточного вращения Земли ось гирокомпаса устанавливается в такое положение, при котором угол между его осью и осью вращения Земли оказывается минимальным. В этом положении ось гирокомпаса оказывается в меридиональной плоскости, т.е. указывает точно на географический север. Гироскопический компас выгодно отличается от компаса с магнитной стрелкой тем, что в его показания не надо вносить поправки на так называемое магнитное склонение (связанное с несовпадением географического и магнитного полюсов Земли), а также не надо принимать мер для компенсации воздействия магнитных наводок от корпуса и оборудования судна.

Описание экспериментальной установки

Экспериментальная установка (рис. 6) состоит из следующих основных узлов:

1. Диск гироскопа.

2. Рычаг с метрической шкалой.

3. Груз, перемещением которого по рычагу 2 задается величина момента силы.

4. Диск с угловой шкалой для определения угла поворота оси гироскопа в горизонтальной плоскости при прецессии.

5. Блок измерений и управления.

 

Рис.6.

Задание

1. Определить модуль момента силы тяжести для нескольких положений груза z на рычаге гироскопа:

,

где m - масса груза, z_р - координата груза по метрической шкале рычага, когда гироскоп уравновешен.

2. Для каждого положения груза определить время поворота оси гироскопа Δ t на заданный угол Δ φ и вычислить угловую скорость прецессии:

.

3. Вычислить величину момента импульса гироскопа для каждого из измерений:

.

4. Вычислить среднее значение момента импульса гироскопа:

, где N – число измерений.

5. Вычислить момент инерции гироскопа по формуле I = L/w (w -угловая скорость вращения гироскопа, w = 2pn, n - число оборотов двигателя в единицу времени) и определить абсолютную и относительную ошибки в определении момента инерции гироскопа.

Контрольные вопросы

1. Что такое момент импульса материальной точки относительно точки?

2. Основной закон динамики вращательного движения.

3. Что такое момент силы относительно точки?

4. Момент импульса абсолютно твердого тела.

5. Момент инерции твердого тела относительно данной оси.

6. Сформулируйте закон сохранения момента импульса.

7. Что такое гироскоп?

8. Что такое гироскопический эффект?

9. Что называется прецессией гироскопа и при каких условиях она наблюдается?

10. Чему равна угловая скорость прецессии?

Литература

1. Савельев И.В. Курс общей физики. Учеб. пособие. В 3-х т. Т.1 Механика. Молекулярная физика. М.: Наука. Гл.ред. физ.мат. лит., 19873. -432 с.

2. Трофимова Т.И. Курс физики. Учеб. пособие для вузов. М.: Высш. Шк., 2003. -541 с.