Рассмотрим вращательное движение твердого тела относительно неподвижной и проходящей через него оси. Разобьем это тело на множество элементарных объемов, масса каждого из которых равна Dmi и радиус вращения ri (Рис.3).
|
| Рис.3. |
Кинетическая энергия i – го элемента равна
(1)
Кинетические энергии различных элементов будут разными, т.к. различны их линейные скорости. Чтобы рассчитать полную энергию вращательного движения твердого тела, необходимо просуммировать энергии всех его элементов:
(2)
или 
, (3)
т.к. линейная скорость вращения связана с угловой скоростью ui=wri.
Поскольку угловая скорость w одинакова для всех элементов тела, ее можно вынести за знак суммы:
. (4)
Величина 
называется моментом инерции твердого тела, а 
- моментом инерции одного элемента (материальной точки), размерами которого можно пренебречь по сравнению с его радиусом вращения. Момент инерции тела равен сумме моментов инерции элементов, составляющих это тело:
. (5)
Тогда формула для кинетической энергии вращательного движения твердого тела принимает вид:
. (6)
Момент инерции не зависит от скорости вращения тела и характеризует инертность тела при вращательном движении: чем больше I, тем большую энергию надо затратить для достижения заданной угловой скорости. Это следует из формулы (6). Значение момента инерции определяется не только массой тела, но и ее распределением относительно оси вращения. Для тонкостенного полого цилиндра (толщина которого много меньше его радиуса R) момент инерции, согласно (5), будет равен:
. (7)
В случае непрерывного распределения массы сумма в определении (5) сводится к интегралу:
, (8)
где dm – масса материальной точки тела, r - плотность в определенной точке тела, dV – элементарный объем. Интегрирование производится по всему объему тела.
В качестве примера рассчитаем момент инерции сплошного цилиндра высотой h относительно его геометрической оси. Для этого разобьем цилиндр на отдельные полые концентрические цилиндры бесконечно малой толщины dr с внутренним радиусом r (рис.4).
|
| Рис.4. |
Так как радиусы точек бесконечно тонкого цилиндра равны между собой, то его момент инерции можно рассчитать по формуле:
, (9)
где dm – масса всего элементарного цилиндра. Выразим массу полого элементарного цилиндра через его объем dV и плотность r:
. (10)
Следовательно, момент инерции элементарного цилиндра равен:
, (11)
а всего цилиндра:
, (12)
где R – радиус цилиндра. Производя интегрирование и подставив пределы, получим:
. (13)
Но phR2 - объем цилиндра, а его масса m=rV=phrR2. Тогда его момент инерции равен:
. (14)
Без расчета приведем формулы моментов инерции однородного шара относительно оси, проходящей через его центр:
(15)
и для однородного стержня относительно перпендикулярной ему оси, проходящей через его центр:
, (16)
где l – длина стержня, R – радиус шара, m – массы этих тел.
Для расчета момента инерции тела относительно оси, не проходящей через его центр масс, нужно воспользоваться теоремой Штейнера, которая формулируется следующим образом: Момент инерции относительно произвольной оси равен моменту инерции I0 относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния, между осями:
. (17)
