Лекции.Орг
 

Категории:


Электрогитара Fender: Эти статьи описывают создание цельнокорпусной, частично-полой и полой электрогитар...


Деформации и разрушения дорожных одежд и покрытий: Деформации и разрушения могут быть только покрытий и всей до­рожной одежды в целом. К первым относит...


ОБНОВЛЕНИЕ ЗЕМЛИ: Прошло более трех лет с тех пор, как Совет Министров СССР и Центральный Комитет ВКП...

Кинетическая энергия вращающего тела. Момент инерции



Рассмотрим вращательное движение твердого тела относительно неподвижной и проходящей через него оси. Разобьем это тело на множество элементарных объемов, масса каждого из которых равна Dmi и радиус вращения ri (Рис.3).

Рис.3.

Кинетическая энергия i – го элемента равна

(1)

Кинетические энергии различных элементов будут разными, т.к. различны их линейные скорости. Чтобы рассчитать полную энергию вращательного движения твердого тела, необходимо просуммировать энергии всех его элементов:

(2)

или , (3)

т.к. линейная скорость вращения связана с угловой скоростью ui=wri.

Поскольку угловая скорость w одинакова для всех элементов тела, ее можно вынести за знак суммы:

. (4)

Величина называется моментом инерции твердого тела, а - моментом инерции одного элемента (материальной точки), размерами которого можно пренебречь по сравнению с его радиусом вращения. Момент инерции тела равен сумме моментов инерции элементов, составляющих это тело:

. (5)

Тогда формула для кинетической энергии вращательного движения твердого тела принимает вид:

. (6)

Момент инерции не зависит от скорости вращения тела и характеризует инертность тела при вращательном движении: чем больше I, тем большую энергию надо затратить для достижения заданной угловой скорости. Это следует из формулы (6). Значение момента инерции определяется не только массой тела, но и ее распределением относительно оси вращения. Для тонкостенного полого цилиндра (толщина которого много меньше его радиуса R) момент инерции, согласно (5), будет равен:

. (7)

В случае непрерывного распределения массы сумма в определении (5) сводится к интегралу:

, (8)

где dm – масса материальной точки тела, r - плотность в определенной точке тела, dV – элементарный объем. Интегрирование производится по всему объему тела.

В качестве примера рассчитаем момент инерции сплошного цилиндра высотой h относительно его геометрической оси. Для этого разобьем цилиндр на отдельные полые концентрические цилиндры бесконечно малой толщины dr с внутренним радиусом r (рис.4).

Рис.4.

Так как радиусы точек бесконечно тонкого цилиндра равны между собой, то его момент инерции можно рассчитать по формуле:

, (9)

где dm – масса всего элементарного цилиндра. Выразим массу полого элементарного цилиндра через его объем dV и плотность r:

. (10)

Следовательно, момент инерции элементарного цилиндра равен:

, (11)

а всего цилиндра:

, (12)

где R – радиус цилиндра. Производя интегрирование и подставив пределы, получим:

. (13)

Но phR2 - объем цилиндра, а его масса m=rV=phrR2. Тогда его момент инерции равен:

. (14)

Без расчета приведем формулы моментов инерции однородного шара относительно оси, проходящей через его центр:

(15)

и для однородного стержня относительно перпендикулярной ему оси, проходящей через его центр:

, (16)

где l – длина стержня, R – радиус шара, m – массы этих тел.

Для расчета момента инерции тела относительно оси, не проходящей через его центр масс, нужно воспользоваться теоремой Штейнера, которая формулируется следующим образом: Момент инерции относительно произвольной оси равен моменту инерции I0 относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния, между осями:

. (17)





Дата добавления: 2015-10-06; просмотров: 219 | Нарушение авторских прав


Рекомендуемый контект:


Похожая информация:

  1. D)в срок не позднее 72 часов, с момента получения
  2. I. ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ МОМЕНТ
  3. I.ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ МОМЕНТ
  4. I.ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ МОМЕНТ. 1. Сформировать знания о значении процесса питания
  5. I.ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ МОМЕНТ. 1. Сформировать знания о строении сердечно-сосудистой системы
  6. II. 1. Момент силы относительно точки
  7. II. 2. Момент силы относительно оси
  8. II. 3.Пара сил. Момент пары сил
  9. II. ОБЗОР. В настоящее время известно, что при ЧМТ непосредственно в момент травмы происходит только часть от всего повреждения мозга
  10. III. Методика измерений и расчетные формулы. I. Цель работы: исследование особенностей проявления закона сохранения энергии и определение моментов инерции металлических колец
  11. III. Методика измерений и расчетные формулы. I. Цель работы: ознакомление с экспериментальным методом определения моментов инерции тел с помощью упругих крутильных колебаний
  12. III. Методика измерений и расчетные формулы. I.Цель работы: проверка опытным путем основного закона динамики вращательного движения с помощью маятника Обербека и определение момента инерции


Поиск на сайте:


© 2015-2019 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.003 с.