I.2. Аксиомы статики и их следствия

В основе статики лежат несколько аксиом, в которых сформулированы наиболее общие и простейшие законы, которым подчиняются силы, действующие на одно и то же тело, или силы, приложенные к взаимодействующим телам.

Аксиома эквивалентности: две системы сил, прикладываемые к твердому телу по отдельности, эквивалентны тогда и только тогда, если они могут быть получены одна из другой путем добавления или отбрасывания уравновешенной системы сил.

Аксиома равновесия:

1. Система, состоящая из одной силы, приложенной к твердому телу, не может быть уравновешенной. Как известно, тело под действием силы приобретает ускорение и, следовательно, не может находиться в покое.

2. Две силы, приложенные к твердому телу, уравнове -

Рис. I.3 шены тогда и только тогда, когда они имеют общую линию

действия, направлены в разные стороны и равны по модулю.

Система сил, изображенная на рис.I.4, является уравновешенной, если

1 = - 2.

 

Рис. I.4 Рис. I.5

Из этой аксиомы вытекает следствие: не нарушая состояние равновесия тела, точку приложения силы можно переносить вдоль линии ее действия (рис.I.5).

3. Три непараллельные силы, приложен

ные к твердому телу, уравновешены тогда и только тогда, когда линии действия сил пересекаются в одной точке и геометрическая сумма любых двух сил, начало которых

Рис. I.6 перенесено в точку пересечения линий действия сил, равна по величине и противоположна по направлению третьей силе, имея с ней общую линию действия (рис.I.6).

Из этой аксиомы вытекает следствие: две силы, приложенные в одной точке, имеют равнодействующую, т.е. эквивалентны одной силе ( 1, 2) ~ - 3. Другими словами, равнодействующая определяется как диагональ параллелограмма со сторонами, сов

падающими с ₁, ₂ на плоскости

(рис.I.7) или как диагональ параллелепипеда в пространстве и с ребрами, направленными по этим прямым ₁, ₂ ^, ₃ .

 

Аксиома взаимодействия: силы взаимодействия двух тел равны по величине, направлены по одной линии действия в противоположные стороны; т.е. ₁₂ = - ₂₁ .

 

 

Рис. I.7

Заметим, что эти силы взаимодействия не образуют уравновешенную систему, так как приложены к разным телам.

 

 

Рис.I.8

Аксиома связей: тело, которое из данного положения может перемещаться в любом направлении в пространстве, называется свободным. Примером свободного тела является летящий в воздухе самолет. Если перемещения тела в некоторых направлениях ограничены контактирующими с ним другими телами, то такое тело называется несвободным. Тот же самолет, находящийся на взлетной полосе, представляет собой пример несвободного тела, поскольку его перемещения ограничены поверхностью полосы. Ограничения, накладываемые на перемещения тела, называются связями. Значение реакции связи заранее неизвестно и зависит от вида связи, от других приложенных к телу сил и должно определяться в результате решения конкретной задачи. В механике рассмотрение несвободных тел производится на основании аксиомы связей (принципа освобождаемости от связей): несвободное тело можно рассматривать как свободное, если отбросить связи, заменив их действие силами реакций. Тогда при перечислении всех сил, приложенных к телу, необходимо указывать и силы реакций.

На несвободное тело всегда действуют два вида сил: заданные, которые называют активными (силы тяжести, давление на поверхность тела и т.п.) и силы реакций, заменяющие действие опор.

Почти все теоремы и окончательные результаты теоретической механики формулируются для твердого тела или материальной точки, освобожденных от связей. Поэтому очень важно уметь правильно заменять отброшенные связи силами реакций связи.

Рассмотрим некоторые типичные виды связей и укажем возможные направления их реакций; конечно, величины реакций зависят от заданных активных сил, приложенных к телу. При этом мы будем исходить из того, что реакция всегда направлена в сторону, противоположную той, куда данная связь препятствует перемещению. Определение ре

Рис. I.9 акций связей играет при решении задач механики

очень важную роль.

1. Если тело опирается на идеально гладкую (без трения) поверхность (рис.I.9), то точка контакта тела с поверхностью может свободно скользить вдоль поверхности, но не может перемещаться вдоль нормали к поверхности. Сила реакции R _n идеально гладкой поверхности направлена по общей нормали к соприкасающимся поверхностям в сторону от поверхности.

Рис. I.10 а) Если тело имеет гладкую поверхность и опирается на острие, уступ, точки (рис.I.10), то реакция направлена по нормали к касательной плоскости тела в точке опирания от острия (R₁).

б) Если твердое тело острием опирается на поверхность, то реакция направлена по нормали к поверхности в точке опирания от поверхности (R₂).

2. Если тело подвешено на гибкой невесомой нерастяжимой нити (тросе) (рис.I.11а) или опирается на нерастяжимый невесомый стержень (рис.I.11,б), то сила реакции направлена вдоль нити или стержня, так как только именно вдоль нити или стержня невозможно перемещение тела. Но следует иметь в виду, что стержень может работать как на сжатие (тогда реакция направлена в сторону противо-

Рис.I.11 положную сжатию стержня), так и на растяжение (тогда реакция направлена в сторону противоположную растяжению стержня), а нить работает только на растяжение. В случае гибкой весомой связи (канаты, тросы, нити и т.п.) силы реакции связей S₁ и S₂ (силы

Рис.I.12 натяжения) направлены по касательной к

гибкой связи (рис.I.11,в).

3. Идеально цилиндрическая шарнирно-неподвижная опора (рис.I.12,а) – сопряжение двух тел, при котором они имеют общую, неизменно с ними связанную геометрическую ось; не допускает перемещений в любом направлении в плоскости рисунка, но не препятствует повороту вокруг оси, перпендикулярной плоскости рисунка. Реакция приводится к силе, проходящей через ось опоры, и может быть разложена на две составляющие , вдоль положительных направлений координатных осей; составляющая в направлении оси вращения отсутствует. Практически цилиндрический шарнир представляет собой цилиндрическую втулку, в которой находится ось вращения. Опора в виде «петли» - по числу реакций приравнена к такому шарниру.

Цилиндрическая шарнирно-подвижная опора (рис.I.12,б) представляет собой сочета-

Рис.I.13 ние цилиндрического шарнира и гладкой поверхности, вдоль которой опора может перемещаться на катках. Такая опора препятствует перемещению закрепленной точки тела только по нормали к плоскости перемещения опоры, поэтому реакция имеет только одну нормальную составляющую.

4. Идеальный сферический шарнир – такое сопряжение двух твердых тел, при котором они имеют общую неизменно связанную с обоими телами точку - центр сферического шарнира. Реакция приводится к силе, проходящей через центр шарнира (рис.I.13, а). Практически такая опора реализуется посредством сферы и полой сферической поверхности одного и того же радиуса, насаженных друг на друга, причем сфера неизменно связана с одним телом, а полая сферичеcкая поверхность - с другим.

Опора в виде подпятника (рис.I.13, б) в отличие от цилиндрического шарнира, может воспринимать не только радиальные, но и осевую силу.

Реакции сферического шарнира и подпятника могут иметь любое направление, и их обычно представляют в виде

Рис.I. 14 трех составляющих R_Х, R_У, R_Z в сторону положительных направлений координатных осей.

5. Жесткая заделка. Рассмотрим жестко заделанную в опоре балку (рис.I.14). К части балки А, со стороны опоры приложены поверхностные

силы, определение которых представляет очень трудную задачу. Но систему этих сил можно привести к точке А и заменить их силой _A (R_АХ, R_АУ) (главный вектор элементарных сил, приложенных к поверхности), и парой сил с моментом _зад - (главный момент относительно точки А элементарных сил). Момент _зад в рассматриваемом случае называют моментом заделки. Таким образом, при жесткой заделке, в отличие от шарнира, возникает не только неизвестная по величине и направлению реакция _A, но еще и неизвестный заранее момент заделки _зад.

В механических системах, образованных путем сочленения нескольких твердых тел, наряду с внешними связями (опорами) имеются внутренние связи. В таких случаях для определения реакций внутренних связей рассекают систему на две подсистемы и заменяют внутренние связи соответствующими реакциями. На (рис.I.15) два тела соединены шарниром в точке С. Если тело расчленить, то действие левой части на правую

Рис.I.15 можно заменить на реакцию _С. Ясно, что действие правой части на левую будет равно по величине, но противоположно по направлению (по аксиоме взаимодействия).

 

Силы взаимодействия между отдельными частями данного тела называют внутренними, а силы, действующие на данное тело и вызванные другими телами, называются внешними силами. Из этого следует, что реакции связей для данного тела являются внешними силами.

Для определения внутренних сил в некотором сечении тела оно мысленно рассекается на две части, и тогда для каждой из частей внутренние силы в сечении рассматриваются как внешние.

Схема, на которой тело полностью освобождено от связей, а силы, действующие на него, представлены векторами (или соответствующими составляющими в сторону положительных направлений координат), называется силовой схемой тела. Построение силовой схемы – первый шаг в решении любой задачи статики.

Сформулированные аксиомы являются основанием, на котором строится вся статика сил, приложенных к твердому телу.

 

ГЛАВА II. МОМЕНТЫ СИЛЫ