Композиция отображений

Определение. Пусть заданы два отображения

: , :

причем . Тогда определена композиция: : отображений и равенством .

Композиция является отображением, так как однозначно определен элемент , , и, следовательно, однозначно определен элемент .

Примеры.

1. : , .

, .

Проверим, определены ли композиции и .

В виду того, что , то композиция определена

, .

В силу того, что не является подмножеством множества , являющегося областью определения функции , то композиция не определена.

2. Пусть заданы два отображения и

Здесь , поэтому композиция определена. Отображение переводит элемент в элемент , отображение переводит элемент в элемент , поэтому, аналогично , , .

Теорема. Операция композиции отображений ассоциативна, т.е. если , , , то

. (1)

Доказательство. Отметим, что отображения и определены (проверить самостоятельно). Далее, равенство (1) означает, что

.

Мы получили тождество, поэтому (1) доказано. Равенство (1) означает, что в выражении скобки можно расставлять произвольно.