Элементы теории функций
Определение 1. Пусть заданы множества 
и 
. Отображением множества 
в или функцией, определенной на множестве и принимающей значения в , называется соответствие (закон, правило) 
, по которому каждому элементу 
из сопоставляется один и только один элемент 
из множества .
Запись 
: 
означает, что отображение действует из в . Множество называют исходным множеством отображения или областью определения функции , множество - конечным множеством отображения или областью значения функции.
Примеры.
1. «Месяц рождения» может быть правилом, связывающим элементы множества людей с элементами множества месяцев . Для каждого элемента 
существует единственный элемент 
, т.к. каждый человек родился в каком-то определенном месяце. В приведенном примере имеет место отображение 
множества людей в множество месяцев , т.е. 
.
2. Рассмотрим два соответствия и 
, приведенные на рис. 2. Соответствие (рис. 2а) является отображением, т.к. каждому элементу сопоставляется единственный элемент . Соответствие (рис. 2б) не является отображением, т.к. элементу 
(и элементу 
) сопоставляется не единственный элемент множества .
а) б)
Рис. 2
Определение 2. Отображение 
, определенное равенством 
называется тождественным и обозначается 
, т.е. тождественное отображение : 
оставляет элементы множества на месте.
Определение 3. Отображение 
называется постоянным, если 
для любого элемента из является одним и тем же элементом из :
, где 
.
Определение 4. Пусть задана функция . Элемент 
, соответствующий элементу при отображении , называется образом элемента или значением функции , соответствующим элементу .
Элемент обычно называют аргументом функции .
