Лекции.Орг


Поиск:




Категории:

Астрономия
Биология
География
Другие языки
Интернет
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Механика
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Транспорт
Физика
Философия
Финансы
Химия
Экология
Экономика
Электроника

 

 

 

 


Шаг 4. Интегрирование простейших рациональных дробей




Простейшие дроби, полученные при разложении произвольной правильной рациональной дроби, интегрируются с помощью следующих шести формул:

1.

 

2.

У дробей с квадратичным знаменателем сначала необходимо выделить полный квадрат:

где Затем применяются следующие формулы:

3.

 

4.

 

5.

Интеграл может быть вычислен за k шагов с помощью формулы редукции

6.

 

 

4. Интегрирование иррациональных функций.

 

5. Интегрирование тригонометрических функций.

 

В данном разделе мы рассмотрим 8 специальных классов интегралов от тригонометрических функций. Для каждого класса применяются определенные преобразования и подстановки, позволяющие получить аналитическое решение.

 

1. Интегралы вида

Для решения данных интегралов применяются формулы преобразования произведения тригонометрические функций в сумму или разность:

·

 

·

 

·

2. Интегралы вида

Здесь и везде ниже предполагается, что m и n - натуральные числа. Для вычисления таких интегралов используются следующие подстановки и преобразования:

  1. Если степень косинуса n - нечетная (при этом степень синуса m может быть любой), то используется подстановка .

 

  1. Если степень синуса m - нечетная, то используется подстановка .

 

  1. Если степени m и n - четные, то сначала применяются формулы двойного угла

чтобы понизить синуса или косинуса в подынтегральном выражении. Затем, если необходимо, применяются правила a) или b).

 

3. Интегралы вида

Степень подынтегрального выражения в данном интеграле можно понизить с помошью тригонометрического соотношения и формулы редукции

4. Интегралы вида

Здесь степень подынтегрального выражения понижается с помошью соотношения и формулы редукции

5. Интегралы вида

Данный тип интеграла упрощается с помощью следующей формулы редукции:

6. Интегралы вида

Аналогично предыдущим пунктам, интеграл упрощается с помощью формулы

7. Интегралы вида

  1. Если степень секанса n - четная, то c помошью соотношения секанс выражается через тангенс. При этом множитель отделяется и используется для преобразования дифференциала. В результате весь интеграл (включая дифференциал) выражается через функцию tg x.

 

  1. Если обе степени n и m - нечетные, то отделяется множитель sec x tg x, необходимый для преобразования дифференциала. Далее весь интеграл выражается через sec x.

 

  1. Если степень секанса n - нечетная, а степень тангенса m - четная, то тангенс выражается через секанс с помощью формулы . Затем вычисляются интегралы от секанса.

 

8. Интегралы вида

  1. Если степень косеканса n - четная, то c помошью соотношения косеканс выражается через котангенс. При этом множитель отделяется и используется для преобразования дифференциала. В результате подынтегральная функция и дифференциал выражаются через ctg x.

 

  1. Если обе степени n и m - нечетные, то отделяется множитель ctg x cosec x, необходимый для преобразования дифференциала. Далее интеграл выражается через cosec x.

 

  1. Если степень косеканса n - нечетная, а степень котангенса m - четная, то котангенс выражается через косеканс с помощью формулы . Далее вычисляются интегралы от косеканса.

6. Определенный интеграл и его свойства. Теорема Ньютона-Лейбница

1.. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница. Теорема о независимости интеграла от выбора первообразной (док-во). Следствие. Теорема существования.

Пусть функция f(х) определена на отрезке и a= x0<x1<…<xn=b — произвольное разбиение этого отрезка на n частей. Сумма вида

где

называется интегральной суммой функции f(x) на отрезке [ а, b ].

Предел интегральной суммы Sn при условии, что число разбиений отрезка [ а, b ] неограниченно увеличивается,, а наибольшая из разностей (длин частичных отрезков разбиения) стремится к нулю, называется определенным интегралом от функции f(х) на отрезке [ а, b ] и обозначается символом

т.е.

где f(x) — подынтегральная функция;

а — нижний предел интегрирования;

b - верхний предел интегрирования.

Формулой Ньютона - Лейбница называется равенство вида:


При этом предполагается, что подынтегральная функция f(x) непрерывна при всех значениях x, удовлетворяющих условиям

a £ x £ b.

 





Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-10-01; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 819 | Нарушение авторских прав


Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

Логика может привести Вас от пункта А к пункту Б, а воображение — куда угодно © Альберт Эйнштейн
==> читать все изречения...

2254 - | 2184 -


© 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.007 с.