Пример 1. Подынтигральная функция представляет собой ра­циональную дробь

1) 2)

3) 4)

5)

Решение:

 

1)

Подынтигральная функция представляет собой ра­циональную дробь. Разложим ее знаменатель на множи­тели: . В разложении правильной дроби на простейшие каждому множителю знаменателя вида соответствует слагаемое

Поэтому в данном случае имеем

 

Приведя правую часть последнего равенства к общему знаменателю и приравняв числители дробей, получим тождество

,

Коэффициенты А, В, С определим с помощью метода частных значений

 

 

откуда А=-1, В=-2, С=2. Подставив найденные коэффициенты в разложении подынтегральной функции на простейшие дроби, получим

2)

 

Ответим, что для нахождения коэффициентов мы ис­пользовали комбинированный метод: метод частных зна­чений и метод неопределенных коэффициентов.

 

 

4)

Подынтегральной функцией является правильная дробь, разложение которой в сумму простейших имеет вид:

Приводя правую часть к общему знаменателю, получаем:

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х, что приведет к линейной системе относительно A,B,C,D,E:

x ⁴: A + B = 0

x ³: -2 B + C = 0

x ²: 2 A + B – 2 C + D = 2

x: -2 B + C – 2 D + E = 2

x ⁰: A – 2 C – 2 E = 13.

Отсюда A = 1, B = -1, C = -2, D = -3, E = -4. Следовательно,

, где

Таким образом, окончательный результат имеет вид:

5)

Так как подынтегральная функция является неправильной дробью, то путем деления числителя на зна­менатель можно представить ее в виде суммы целого мно­гочлена и правильной рациональной дроби: