Контрольні завдання

Задача 1.а. Розв’язати систему лінійних рівнянь (варіанти 1-30) трьома способами: а) методом Гаусса; б) за формулами Крамера; в) методом оберненої матриці (з цією метою ввести необхідні позначення і записати систему у вигляді матричного рівняння, розв’язком якого буде стовпець невідомих; для перевірки обчислень оберненої матриці скористатися її означенням).

 

1.	-3x + 2y - 4z = 15; 4x - 5y + 3z = -27; 5x + 3y - 4z = 28.	2.	-4x - 3y + 2z = -12; -5x - 4y + 5z = -22; -2x + 3y - z = -9.
3.	3x + 2y + 4z = -9; 2x - 2y + 5z = 2; 4x - y + 4z = -11.	4.	4x + 4y + z = -27; -5x + 5y + 4z = -1; 2x - y - 3z = -5.
5.	4x + y - 3z = -34; -5x - 2y + 2z = 41; 2x - 4y - 3z = 1.	6.	5x + 4y + 4z = -3; -5x - 3y + 4z = -1; 5x - 2y - 2z = -21.
7.	4x + 4y - 4z = 4; -5x - y + 3z = 11; -5x + 3y - 2z = 21.	8.	2x - 5y - 5z = -1; -5x - 3y + z = 26; 5x - 2y - 2z = -13.
9.	3x + 3y + 3z = -27; -2x - 5y + 5z = -2; -2x + 2y + z = -17.	10.	4x + 4y - 5z = -17; -5x - 3y + 2z = -4; -4x + 4y + 3z = -9.
11.	4x - 2y - 3z = -13; 2x + 5y + 3z = -32; -4x - 2y - 5z = 25.	12.	3x - y + 5z = -10; 4x + 5y + 4z = -19; 4x + 4y - 2z = 14.
13.	3x - 4y - 3z = 21; -5x + 5y - 2z = -44; 3x - 2y + z = 23.	14.	5x + 2y - 3z = -37; -5x + 2y + z = 21; 2x + 4y + z = -20.
15.	3x - 2y + 4z = 31; 4x + 2y - 2z = 10; -3x - 5y + 2z = 1.	16.	-3x - y - 5z = 1; -4x + 3y + 5z = 16; 3x - 5y - 4z = -7.
17.	5x - 3y - 2z = -2; 2x + 5y - 2z = 29; 5x + 5y + z = 41.	18.	-3x + 4y + z = 1; -4x - y - 5z = 33; 2x - 4y - 3z = 9.
19.	3x - 2y + 3z = -15; -3x - 3y - 4z = 5; -4x - 4y - 3z = -5.	20.	-3x + y - 5z = 2; 4x + 5y - 5z = 7; 2x - 3y + 2z = 12.
21.	-5x - y - 4z = 44; 2x + 3y - 4z = 13; -2x + 5y + 2z = 5.	22.	2x + 3y - 4z = -3; 5x - 5y + 5z = 40; 2x + y + 5z = 31.
23.	-3x - 5y + 3z = 31; -5x + 2y + 2z = 3; -3x + 3y + 5z = -11.	24.	-5x - 2y - 4z = -2; -5x - 4y - 3z = 1; 4x + 3y + 4z = -2.
25.	3x - 5y + z = -17; 2x - 5y + 3z = -6; 3x - 4y - 2z = -25.	26.	4x - y + 2z = 18; 2x - 3y + 3z = 8; -4x - y - 5z = -28.
27.	3x - 3y + 4z = 8; 2x - 3y - 3z = 33; 3x - 3y - 2z = 32.	28.	-2x + 3y - 3z = 2; -3x - 2y + 5z = 19; 5x + 3y - 4z = -27.
29.	-2x + 5y - 2z = -24; -4x - 2y + 3z = 7; 2x + y - 5z = -7.	30.	2x - 2y - z = 3; 3x + 4y - 5z = 1; -5x - 4y + 3z = -15.

 

Задача 1.б. Дослідити СЛР на сумісність і знайти розв’язки, якщо вони існують.

 

Задача 1.в. Розв’язати систему лінійних зшвнянь методом Гаусса.

Варіант 1 3.681X1 - 4.425X2 + 7.642X3 - 3.463X4= 9.313 -4.142X1 - 2.628X2 - 4.196X3 + 5.170X4= 9.533 -2.725X1 - 6.801X2 - 2.162X3 + 4.207X4= -0.615 9.801X1 - 1.434X2 - 8.958X3 - 9.868X4= -5.260

Варіант 2 -3.958X1 + 1.512X2 - 8.600X3 + 0.096X4= 3.251 -4.398X1 - 6.249X2 - 5.512X3 + 1.210X4= -0.945 -3.476X1 - 4.553X2 - 7.078X3 + 9.401X4= 5.191 -7.794X1 + 9.536X2 - 5.179X3 + 6.712X4= -7.144

Варіант 3 1.917X1 + 1.231X2 - 3.034X3 + 7.783X4= -0.543 -6.542X1 - 1.236X2 - 8.218X3 - 6.194X4= -2.751 6.008X1 - 8.470X2 - 8.697X3 - 8.897X4= -8.304 6.378X1 - 4.637X2 + 4.292X3 - 7.115X4= -2.036

Варіант 4 -8.201X1 - 9.515X2 + 4.378X3 - 0.351X4= -5.143 -5.534X1 - 2.996X2 - 1.726X3 - 9.871X4= 0.951 7.999X1 + 0.869X2 - 5.663X3 - 7.375X4= -0.812 3.725X1 + 8.007X2 - 2.916X3 - 6.664X4= -2.538

Варіант 5 1.067X1 + 3.809X2 - 5.114X3 - 9.031X4= -7.272 -4.157X1 + 3.701X2 + 5.717X3 + 0.028X4= -3.803 -4.724X1 + 5.333X2 - 9.564X3 - 4.327X4= -5.141 8.394X1 - 1.890X2 - 3.166X3 - 9.602X4= -8.883

Варіант 6 0.893X1 + 5.862X2 - 6.596X3 - 8.056X4= 3.547 -6.431X1 + 7.731X2 + 6.375X3 - 8.256X4= -5.859 0.134X1 + 3.569X2 + 6.317X3 - 8.725X4= 1.981 -6.815X1 + 6.510X2 - 7.946X3 - 1.150X4= -7.049

Варіант 7 2.815X1 - 7.646X2 - 6.995X3 + 3.399X4= -5.249 -4.158X1 - 5.249X2 - 5.741X3 - 3.833X4= -5.139 -6.054X1 - 5.388X2 - 5.679X3 + 6.817X4= -5.111 -3.891X1 - 5.209X2 - 9.367X3 + 7.959X4= -9.982

Варіант 8 9.984X1 - 6.794X2 - 5.896X3 + 9.862X4= -9.804 -3.220X1 - 8.652X2 + 6.060X3 - 2.786X4= -9.648 -8.168X1 + 1.292X2 + 4.412X3 - 4.068X4= -6.622 -1.509X1 + 1.498X2 - 8.996X3 - 0.677X4= 6.045

Варіант 9 6.780X1 + 6.227X2 + 0.133X3 - 3.933X4= 6.629 -9.701X1 - 9.705X2 - 8.332X3 - 1.893X4= -6.501 -3.926X1 - 9.092X2 + 1.859X3 + 5.973X4= -5.174 -3.431X1 + 1.346X2 + 6.975X3 + 4.825X4= -4.748

Варіант 10 0.917X1 - 3.243X2 + 7.527X3 + 9.556X4= -0.222 -6.892X1 - 8.607X2 - 2.539X3 + 4.458X4= -0.035 -4.596X1 - 9.738X2 - 3.964X3 + 4.529X4= 6.881 -9.856X1 - 6.934X2 - 9.846X3 - 8.484X4= 3.696

Варіант 11 -5.253X1 - 9.071X2 - 3.960X3 + 1.717X4= -3.470 3.019X1 - 2.433X2 + 9.716X3 + 0.880X4= 2.486 3.738X1 + 2.640X2 - 6.742X3 - 8.617X4= -7.706 -6.519X1 - 8.621X2 - 1.401X3 + 6.562X4= -8.523

Варіант 12 -3.849X1 - 6.298X2 + 0.456X3 - 5.146X4= -4.117 -8.976X1 + 6.111X2 - 8.514X3 - 3.188X4= -8.191 -8.605X1 - 0.822X2 - 7.741X3 - 6.778X4= -6.269 6.888X1 + 1.331X2 - 0.773X3 + 8.717X4= -4.840

Варіант 13 -1.482X1 + 6.658X2 + 7.998X3 + 4.923X4= -9.898 6.737X1 - 2.874X2 - 6.432X3 - 5.811X4= -2.626 -6.219X1 - 2.772X2 - 2.434X3 - 6.877X4= 5.550 4.642X1 + 6.562X2 - 2.724X3 - 6.679X4= -1.342

Варіант 14 -1.281X1 - 1.954X2 - 0.488X3 - 0.208X4= -1.808 0.903X1 + 2.833X2 + 4.167X3 - 4.456X4= 4.576 -7.571X1 - 7.427X2 + 8.728X3 + 8.896X4= -2.714 9.281X1 - 2.525X2 - 1.071X3 - 9.702X4= 6.040

Варіант 15 -0.492X1 + 8.095X2 - 5.811X3 - 1.096X4= 5.478 3.365X1 - 9.676X2 + 3.101X3 + 3.128X4= -1.427 -9.944X1 + 2.277X2 + 9.601X3 - 0.851X4= 7.054 4.851X1 + 2.404X2 - 5.224X3 - 8.136X4= 5.614

Варіант 16 4.359X1 - 2.271X2 + 5.041X3 - 8.600X4= -0.695 1.102X1 + 5.492X2 - 5.900X3 + 9.261X4= 7.585 -7.360X1 - 4.594X2 - 3.866X3 - 7.838X4= -6.070 -1.806X1 - 0.743X2 + 9.852X3 - 5.126X4= -7.894

Варіант 17 -8.141X1 - 3.238X2 + 9.762X3 - 7.753X4= -9.037 7.099X1 - 3.721X2 + 0.251X3 - 6.981X4= -6.020 9.160X1 + 5.789X2 - 5.053X3 - 4.199X4= 9.671 1.982X1 + 7.959X2 - 7.683X3 + 6.439X4= -7.467

Варіант 18 -7.245X1 - 4.746X2 - 7.518X3 + 3.840X4= -9.634 4.383X1 + 0.230X2 - 5.712X3 + 8.494X4= 2.931 6.697X1 - 8.895X2 - 8.425X3 - 8.813X4= -2.491 -6.706X1 + 2.978X2 - 5.414X3 - 8.411X4= -4.405

Варіант 19 -5.490X1 + 2.072X2 - 5.387X3 - 1.754X4= -3.051 -3.202X1 + 2.506X2 + 3.695X3 + 3.596X4= 5.541 -8.164X1 - 9.165X2 - 6.115X3 + 3.521X4= -4.344 -8.026X1 - 3.997X2 - 2.761X3 - 4.021X4= -6.125

Варіант 20 -1.494X1 - 1.694X2 - 1.682X3 - 8.476X4= -3.308 -1.306X1 + 6.988X2 - 0.571X3 + 7.312X4= -3.014 1.543X1 - 7.812X2 - 0.382X3 - 4.658X4= -8.800 3.068X1 - 7.369X2 - 4.622X3 - 7.091X4= -2.363

Варіант 21 3.182X1 - 4.081X2 - 5.773X3 + 8.682X4= -8.010 -7.375X1 - 4.511X2 - 3.902X3 - 5.656X4= -0.500 -5.677X1 - 8.855X2 + 5.007X3 - 7.731X4= 9.878 1.512X1 + 4.616X2 - 6.371X3 - 4.611X4= -3.285

Варіант 22 0.428X1 + 9.616X2 + 6.036X3 - 3.468X4= 6.609 -7.557X1 - 3.882X2 - 1.792X3 - 9.518X4= -6.300 9.471X1 - 9.109X2 + 4.793X3 - 5.208X4= 6.874 -6.201X1 + 7.569X2 - 2.278X3 - 7.187X4= -0.714

Варіант 23 -5.813X1 + 7.630X2 + 5.929X3 - 2.214X4= -6.796 -5.136X1 - 3.579X2 + 5.374X3 - 6.675X4= 2.161 9.217X1 - 1.282X2 + 3.215X3 + 7.435X4= 7.311 -6.873X1 + 1.622X2 - 7.050X3 - 7.614X4= -2.487

Варіант 24 -3.514X1 - 8.579X2 - 8.191X3 - 7.556X4= -9.006 -3.326X1 - 1.575X2 - 4.410X3 - 1.930X4= -6.694 -4.042X1 - 0.211X2 - 8.169X3 - 6.680X4= -8.012 -7.011X1 - 7.126X2 + 0.500X3 - 7.579X4= 9.937

Варіант 25 6.311X1 - 9.332X2 + 7.164X3 - 3.499X4= 9.060 -1.190X1 - 3.289X2 - 6.024X3 - 5.371X4= -1.914 -9.479X1 - 2.213X2 - 5.868X3 + 4.301X4= -4.296 3.827X1 - 8.897X2 - 5.339X3 - 2.483X4= 8.494

Варіант 26 0.733X1 - 1.591X2 - 9.246X3 + 6.641X4= 8.925 -2.679X1 - 7.656X2 - 6.556X3 - 8.759X4= -2.914 9.175X1 + 7.572X2 - 2.851X3 - 1.038X4= -7.309 -1.370X1 - 3.854X2 - 8.096X3 + 4.387X4= 1.420

Варіант 27 0.308X1 + 3.431X2 - 1.460X3 + 0.531X4= -5.597 -8.806X1 - 1.331X2 - 6.545X3 - 0.041X4= 0.652 -4.705X1 + 6.137X2 - 6.115X3 + 0.436X4= 9.469 -6.751X1 - 6.781X2 - 3.157X3 - 3.094X4= 6.662

Варіант 28 -6.960X1 - 3.971X2 + 8.160X3 + 3.154X4= -8.119 -2.934X1 + 1.010X2 - 8.832X3 + 5.985X4= 7.871 -3.528X1 - 6.058X2 + 1.384X3 - 5.378X4= 8.039 -9.502X1 - 4.212X2 + 9.937X3 + 5.340X4= 6.834

Варіант 29 0.516X1 + 1.168X2 + 5.848X3 - 7.526X4= 2.715 -9.195X1 - 3.881X2 - 9.791X3 - 2.940X4= -8.143 -5.059X1 - 5.637X2 + 9.493X3 + 7.762X4= -6.830 4.054X1 + 6.444X2 - 3.172X3 - 2.123X4= -2.320

Варіант 30 6.340X1 + 2.731X2 - 6.129X3 + 5.436X4= -6.051 -4.035X1 + 6.198X2 + 3.685X3 - 5.727X4= -8.036 -4.869X1 - 8.315X2 - 0.896X3 + 1.293X4= 6.021 5.346X1 + 7.673X2 + 6.335X3 + 4.153X4= -7.508

Задача 2. Відомі координати векторів (за варіантами 1-30) в деякому ортонормованому базисі. Необхідно:

1. обчислити

2. знайти координати одиничних векторів і , колінеарних

вектору

3. обчислити , , ;

4. обчислити роботу А сили при переміщені матеріальної

точки з точки D(5,9,-8) у точку E(4,7,-6);

 

5. знайти координати одного з векторів , ортогональних

кожному з векторів і

6. обчислити модуль векторного добутку

7. знайти момент сили відносно точки P(-2,3,5), якщо

сила прикладена до важеля PQ у точці Q(-1,2,8);

 

8. обчислити мішаний добуток векторів

9. обчислити площу S трикутника, побудованого на

векторах і

10. обчислити , де та з’ясувати, який

геометричний зміст має величина Н;

 

11. обчислити об’єм V піраміди, побудованої на векторах

(для контролю використати формулу );

12. Підібрати такі значення числового параметру t, щоб вектори

, були ортогональні;

 

13. упевнитися, що система векторів утворює базис, та

знайти координати вектора у цьому базисі.

 

Задача 3. Відомі координати вершин трикутника ABC (за варіантами 1-30). Необхідно:

1. знайти координати нормального вектора і кутовий коєфіцієнт прямої ВС;

2. з’ясувати, чи є трикутник АВС прямокутним;

3. скласти рівняння прямої АА₁, паралельної до прямої ВС;

4. скласти рівняння висоти АН;

5. скласти рівняння медіани ВМ;

6. обчислити координати точки перетину Е прямих АН і ВМ;

7. обчислити довжину h висоти АН двома способами: як відстань від точки А до прямої ВС і як модуль проекції вектора СА на вектор ;

8. обчислити площу S трикутника АВС трьома способами за формулами: (з цією метою перейти у тривимірний простір, поклавши треті координати векторів і равнимі 0); (остання формула застосовується тільки при умові );

9. обчислити і (для контролю використати тотожність );

10. скласти рівняння бісектриси AF внутрішнього кута А трикутника АВС (пропонуємо використати рівність відстаней від довільної точки N(х,у) бісектриси до сторін кута; для контролю обчислити кути );

11.накреслити трикутник АВС за координатами його вершин, побудувати прямі АА₁, АН, ВМ і AF за їх рівняннями та перевірити відповідність координат точки Е малюнку.

Задача 4. Відомі координати точок А, В, С, D (за варіантами 1-30). Необхідно:

1. побудувати піраміду АВСD за координатами її вершин;

2. скласти рівняння площини АВС;

3. обчислити кут між площинами АВС і хОу;

4. обчислити кут між площиною АВС і віссю Оz;

5. вказати взаємне розміщення осі Оу і площини АВС (тобто з’ясувати, чи паралельні Оу і АВС, чи Оу належить до АВС, чи Оу і АВС перетинаються в єдиній точці);

6. скласти рівняння площини (Р), що проходить через точки В і С перпендикулярно до площини хОу;

7. скласти канонічне рівняння перпендикуляра АF до площини (Р) (точка F - основа перпендикуляра);

8. обчислити координати точки F;

9. обчислити довжину АF трьома способами: як відстань між точками А і F, як модуль проєкції вектора на нормальний вектор площини (Р), а також як відстань А до площини (Р);

10. скласти рівняння площини (Q), що проходить через пряму АD паралельно до прямої ВС;

11. обчислити відстань між прямими ВС і АD;

12. скласти рівняння прямої ВС та обчислити координати точки перетину Е прямої ВС з площиною хОу;

13. скласти параметричні рівняння проекції прямої ВС на площину хОу;

14. обчислити відстань від осі Оz до прямої ВС;

15. обчислити відстань від осі Оz до площини ВОС.

 

Задача 5. Дано рівняння деяких ліній. Необхідно:

1. визначити типи лінії;
2. побудувати лінії за їх рівнянням.

 

Задача 6. Визнаити типи поверхонь, поданих вказаними рівняннями (варіант 1-30). Схематично зобразити ці поверхні та їх перерізи координатними площинами.

 

Задача 7. Зобразити кожне з тіл, обмежених даними поверхнями.

Задача 8. За варіантами 1 - 30 дано полярне рівняння лінії ( -полярний кут, - полярний радіус). Необхідно:

а) побудувати за точками задану лінію;

б) використовуючи зв’язок між полярними та прямокутними координатами, рівняння перетворити в рівняння у прямокутних координатах.

Вказівка. Скласти таблицю значень і :

				…
				…

 

Куту надавати значень або інших. Додатково обчислити , для якого = 0. Потім обрати полюс, полярну вісь, масштаб, побудувати точки (при умові ) і сполучити ці точки плавною лінією. Для перевірки обчислень, рівняння шляхом виділення повних квадратів звести до вигляду

 

1.	.	2.	.
3.	.	4.	.
5.	.	6.	.
7.	.	8.	.
9.	.	10.	.
11.	.	12.	.
13.	.	14.	.
15.	.	16.	.
17.	.	18.	.
19.	.	20.	.
21.	.	22.	.
23.	.	24.	.
25.	.	26.	.
27.	.	28.	.
29.	.	30.	.

 

Задача 9. Побудувати за точками лінію, задану полярним рівнянням (Для контролю визначити інтервали монотонності та симетрію значень відносно .)

1.	.	2.	.
3.	.	4.	.
5.	.	6.	.
7.	.	8.	.
9.	.	10.	.
11.	.	12.	.
13.	.	14.	.
15.	.	16.	.
17.	.	18.	.
19.	.	20.	.
21.	.	22.	.
23.	.	24.	.
25.	.	26.	.
27.	.	28.	.
29.	.	30.	.

 

Задача 10. Дано комплексні числа . Обчислити вираз Для контролю перевірити рівність .

1.			2.
3.			4.
5.			6.
7.			8.
9.			10.
11.			12.
13.			14.
15.			16.
17.			18.
19.			20.
21.			22.
23.			24.
25.			26.
27.			28.
29.			30.

 

Задача 11. Знайти корені поданого квадратного тричлена на множині комплексних чисел; розкласти в добуток лінійних множників. Перевірку виконати безпосередньою підстановкою коренів в та перетворенням добутку лінійних множників до .

1.		2.		3.
4.		5.		6.
7.		8.		9.
10.		11.		12.
13.		14.		15.
16.		17.		18.
19.		20.		21.
22.		23.		24.
25.		26.		27.
28.		29.		30.

 

Задача 12. Знайти корені поданого квадратного тричлена на множині комплексних чисел. Перевірку коренів виконати за допомогою формул Вієта. Для перевірки скористатися формулами Вієта.

1.		2.		3.
4.		5.		6.
7.		8.		9.
10.		11.		12.
13.		14.		15.
16.		17.		18.
19.		20.		21.
22.		23.		24.
25.		26.		27.
28.		29.		30.

Задача 13. Дано комплексні числа , . Необхідно:

а) використовуючи алгебраичну форму чисел , , обчислити вираз , де ;

б) обчислити іншим способом, виконуючи дії з числами , , в показниковій формі (для контролю відповідь за допомогою формули Ейлера записати в алгебраичному вигляді і порівнняти з результатом пункту а).

 

1.	4-7i	-3+4i	2.	1-i	-7+4i
3.	-5+4i	7-4i	4.	-6-2i	4+I
5.	3-2i	8+2i	6.	2-8i	3+8i
7.	1+2i	6+I	8.	-5-4i	-1+2i
9.	-6-i	-4-5i	10.	6+4i	-2+2i
11.	5-3i	-5-7i	12.	-3-i	2-4i
13.	-7+i	-4-3i	14.	-2+4i	-6-3i
15.	-5-3i	-2-i	16.	-3+5i	4-8i
17.	9+2i	3-7i	18.	-5+2i	1+3i
19.	7+4i	4+3i	20.	-4-5i	3+3i
21.	-6-i	4-2i	22.	-4-2i	5+4i
23.	-3-6i	4+3i	24.	-4+3i	6-7i
25.	-2-3i	-1+5i	26.	-5+3i	1-2i
27.	-4+6i	3-3i	28.	4-5i	2+4i
29.	-5-i	4+4i	30.	-2+5i	-4-3i