Нехай відомі модуль 
і аргумент 
к.ч. 
(див рис.1.5). Зауважимо, що 
- полярні координати точки 
, яка зображає число 
(якщо 
- полярна вісь).
У випадку розміщення осей і 
, вказаному на рис. 1.5, відомі формули переходу від полярних до прямокутних координат точки 
. Додамо ці рівності, помноживши другу на 
:
Остання форма запису комплексного числа називається тригонометричною. Як бачимо, щоб знайти тригонометричну форму, досить обчислити модуль і аргумент к.ч.
Приклади. Записати в тригонометричній формі слідуючі числа:
1) 
2) 
3) 
Розв’язання
1) 
Відповідь: 
2) 
Відповідь: 
3) 
Відповідь: 
.
Розглянемо алгоритм переходу від алгебраїчної до тригонометричної форми к.ч.
Нехай дано к.ч. , на прикладі 
. Для переходу до тригонометричної форми необхідно:
1. Побудувати на площині ХОУ к.ч. 
і встановити, до якої чверті належить 
. На даному прикладі: 
ІІІ четв. Див. рис.
2. Знаходимо модуль к.ч. за формулою (1)
(1)
На прикладі маємо:
3. За допомогою таблиць або мікрокалькулятора знаходимо 
, ураховуючи при цьому властивість
.
На прикладі: 
.
4. За формулою (1.1) § 1.14 знаходимо 
. Для даного прикладу: 
ІІІ чверті. Маємо:
5. Підставимо знайдені 
і у формулу
(2)
Для 
маємо:
Приклади для самостійного розв’язання
Представити у тригонометричній формі числа:
1. 
2. 
3. 
4. 
Відповіді. 1. 
2. 
3. 
4. 
4.16. Множення і ділення к.ч. в тригонометричній формі
Нехай числа 
записані в тригонометричній формі: 
.
Справедливі слідуючі формули:
Таким чином, при множенні (діленні) к.ч. їх модулі множаться (діляться), а аргументи додаються (віднімаються).
З’ясуємо геометричний зміст множення. Нехай 
(рис 1.8). Очевидно, що 
одержано поворотом 
на кут 
з подальшим розтягом (стиском) в 
разів.
Отже, множення к.ч. зводиться до повороту і розтягу (стиску) векторів.
Подібний зміст має і ділення к.ч.
Рис.1.8
Приклад. Використовуючи тригонометричну форму, обчислити добуток чисел 
З’ясувати геометричний зміст операції множення цих чисел.
Розв’язання. 
З геометричної точки зору були виконані слідуючі перетворення (рис.1.9):
1) поворот вектора 
на кут 
результат повороту;
2) стиск (без зміни напряму) вектора 
в 2 рази 
- результат множення.
Рис.1.9
За допомогою рис.1.9 в даному випадку легко перевірити, що 
.
Приклади для самостійного розв’язання
1. Дані числа 
та 
. Необхідно:
1) перетворити їх у тригонометричну форму;
2) знайти їх добуток 
;
3) частку 
;
4) зробити перевірку, виконавши ці дії над 
і 
в алгебраїчній формі.
2. Задовольнити умови прикладу 1, якщо 
, 
.
Відповіді.
1. 1) 
, 
;
2) 
;
3) 
.
2. 1) 
, 
;
2) 
;
3) 
.
4.17. Формула піднесення к.ч.до цілого степеня n
(Формула Муавра): якщо 
то
(1.3)
Приклад. Нехай 
. Обчислити 
.
Розв’язання. 
Подамо в тригонометричній формі: 
застосовуємо формулу (1.3) при 
:
Приклади для самостійного розв’язання
Обчислити: 1. 
2. 
3. 
Відповіді. 1. 
. 2. –1. 3. 104976.
4.18. Формула добування коренів
Формула добування коренів 
го степеня з числа 
(1.4)
де 
символ 
означає корінь арифметичний з дійсного числа 
.
Таким чином, 
при 
має точно 
значень.
Приклад. Знайти всі значення 
.
Розв’язання. Запишемо число 8 в тригонометричній формі:
Застосовуємо формулу (1.4) при 
де 
Одержуємо три значення кореня:
Відповідь: 
Приклади для самостійного розв’язання
Знайти всі значення коренів: 1. 
2. 
3. 
.
Відповіді. 1. 
, де k= 0, 1, 2. При k= 0: 
;
k= 1: 
;
k= 2: 
.
2. 
= 
, де k= 0, 1, 2, 3.
При k= 0: 
;
k= 1: 
;
k= 2: 
;
k= 3: 
.
3. 
,
де k= 0, 1, 2, 3, 4, 5.
