Типовые примеры. Методика их решения

 

По характеру связей твердого тела, загруженного пространствен­ной системой сил, основные задачи статики можно разделить на нес­колько групп:

1. Задачи о равновесии тела, закрепленного при помощи шести стержней, соединенных шарнирами, как с телом, так и с опорами.

2. Задачи о равновесии тела, имеющего ось вращения, которая закреплена с помощью цилиндрических подшипников. Подшипниками называют опорные устройства, позволяющие телу свободно вращаться вокруг оси, но препятствующие его свободному смещению в двух или в трех взаимно перпендикулярных направлениях. В последнем случае подшипник называют упорным или подпятником.

3. Задачи о равновесии тела, закрепленного при помощи сферического шарнира и дополнительных шарнирно стержневых связей.

4. Задачи о равновесии тела, опирающегося при помощи цилиндрических катков на плоскость или на специальные направляющие.

Решение задач любой группы следует начинать с анализа связей тела, с установления их характера и направлений сил, с которыми эти связи действуют на рассматриваемое тело. После этого необходи­мо выбрать рациональные направления координатных осей, записать условия равновесия и составить на их основе уравнения, решение ко­торых позволяет найти величины и истинные направления реакций свя­зей рассматриваемого тела.

Пример 6.1. Однородная плита весом G = 300 кН загружена го­ризонтальной силой F = 500 кН и удерживается в равновесии при помощи шести стержней, шарнирно соединенных с плитой в точках А, В, C, D и закрепленных шарнирно в неподвижных точках A₁, B₁, D₁. Тре­буется определить реакции опорных стержней. Необходимые размеры указаны на рис.6.8.

                

                                               Рис.6.8

 

Решение. Известно, что реакция шарнирно закрепленного с двух сторон стержня направлена вдоль его оси. Используя это свойство, устанавливаем направления неизвестных реакций , , , ,  ,  , действующих на плиту (рис.6.8).                                   

Выбираем прямоугольную систему координат с началом в точке А и её оси направляем так, чтобы наибольшее число сил было расположено в координатных плоскостях.

Так как плита находится в равновесии под действием заданных сил и реакций связей, то должны выполняться шесть условий равновесия:

                  ,     ,                   

           , ,           

 

Найдем проекции каждой силы на координатные оси и её моменты относительно тех же осей. Рассмотрим, к примеру, силу    Её проекции на оси х. и y равны нулю, так как линия действия этой силы перпендику­лярна к указанным осям. Проекция силы на ось z равна её модулю и имеет положительный знак, так как сила и ось z имеют одинаковые направления. Моменты рассматриваемой силы относительно всех координатных осей равны нулю, так как сила приложена в начале координат.

Рассуждая аналогично, устанавливаем проекции каждой силы на ко­ординатные оси, а также их моменты относительно тех же осей.

Для удобства и большей наглядности решения задачи все вычисления сведем в таблицу 6.1.

                                         Таблица 6.1  

Силы	Проекции сил на оси координат
1	2	3	4
	0	0	N1
		0
	0	0	N3
	0
	0	0	N5
		0	-∙
	0	-F	0
	0	0	-G
Силы	Моменты сил относительно координатных осей
1	5	6	7
	0	0	0
	0	4∙	0
	0	4∙N3	0
	0	0	0
	4∙N5	0	0
	4∙	4∙	-4∙
	0	0	4F
	-2∙G	-2∙G	0

          

Суммируя по вертикалям выражения столбцов 2,3...7 этой таблицы, получаем следующие шесть уравнений с шестью неизвестными:

1)  + = 0;

2)  - F = 0;

3) N ₁ + + N ₃ + + N ₅ + -G = 0;

4) 4 N ₅ + 4 - 2G = 0;

5) 4 + 4 N ₃ + 4 -2G = 0;

6) 4 - 4 F = 0.

После подстановки в эти уравнения значений заданных сил F = 500 кН

и G = 300 кН и решения их в приведенной ниже последовательности, находим:

- из уравнения 2)  кН.

- из уравнения 6)  кН.

- из уравнения 1)  кН.

- из уравнения 4) N₅ = G/2-  =150-500=-350 кН.

- из уравнения 5) N₃ = G/2- - =150 кН.

- из уравнения 3) N₁ = 0.

Направления реакций , , , имеющих положительные знаки, на рис.6.8 показаны правильно, а направления реакций и , имеющих отрицательные знаки, в дейст­вительности противоположны направлениям, показанным на том же рисунке. При изме­нении направлений сил N₂ и N₅ следует одновременно исключить их отри­цательные знаки их модулей, т.е. принять: N₂ = 500  кН. и N₅ = 350 кН.                                                                       

 

Пример 6.2. Подъемный поворотный кран установлен на трехколес­ной тележке ABC (рис.6.9) и поднимает груз F = 30 кН. Вес крана с противовесом приложен в точке О и равен по модулю G = 120 кН. Требуется определить давления колес на рельсы, когда плоскость кра­на параллельна линии АВ. Необходимые размеры показаны на рисунке 6.9.

                       

                                                       Рис.6.9

Решение. Под действием вертикальных сил  и   возникают вер­тикальные реакции, приложенные в точках контакта колес с рельсами. В результате кран находится в равновесии под действием пяти парал­лельных сил: , , , и . Для равновесия этих сил необходимо выполнить следую­щие три условия:

 

                         , ,

 

Рациональные направления осей системы координат показаны на рис.6.9. Проецируя все силы на вертикальную ось z,и составляя алгебраические суммы моментов относительно осей x и y, полу­чаем следующие уравнения равновесия:

1) V_A + V_B + V_C – F –G = 0;

2) – V_A ∙1+ V_B∙∙ 1 – F ∙3+ G ∙0,5 = 0;

3) – V_C ∙1,8 + (F + G)∙0,9 = 0.

 

Из уравнения 3) находим V_C = 75 кН. Затем решаем систему двух уравнений 1)и 2) и определяем V_A = 22,5 кН., V_B = 52,5 кН.