Равнодействующая системы сходящихся сил в прост­ранстве. Условия и уравнения равновесия

Силы, не лежащие в одной плоскости, составляют пространствен­ную систему. Если линии действия все сил пересекаются в одной точ­ке, то пространственную систему называют системой сходящихся сил.

Пусть в точке А твердого тела приложены силы , , ,…,  (рис.6.1) и требуется найти величину и направление их равнодейст­вующей .

                      

                                               Рис.6.1

 

Любые две силы заданной системы располагаются в одной плос­кости, поэтому их равнодействующая определяется по правилу параллелограмма или треугольника сил

(см. § 5). Осуществляя пос­ледовательное сложение заданных сил по правилу силового треуголь­ника, получим многоугольник ABCDE, стороны которого геометри­чески равны заданным силам и не лежат в одной плоскости. Замыкаю­щая сторона АE этого многоугольника является равнодействующей всех сил рассматриваемой системы. Следовательно, равнодействующая системы сходящихся сил расположенных в пространстве, равна их геомет­рической сумме:

 

                                = + + +…+ =                                                  (6.1)

Если при построении силового многоугольника соблюдается масш­таб сил μ_{с ,}  параллельность его сторон линиям действия заданных сил, то модуль равнодействующей можно определить измерением замы­кающей стороны АЕ многоугольника сил в принятом масштабе, т.е.

                                                   R = μ_{с ,∙}АЕ                                                                 (6.2)         

При построении многоугольника сил может оказаться, что конец вектора, геометрически равного последней силе _, совпадает с на­чалом первой силы, т.е. с точкой А. В этом случае, замыкающая сто­рона многоугольника отсутствует, а сам многоугольник является зам­кнутым. Все стороны этого многоугольника имеют одинаковые направления при обходе его контура по ходу часовой стрелки или против. Условие, при котором многоугольник сил замкнут, является геометрическим условием равновесия пространственной системы сил.

В частном случае равнодействующая трех сил, не лежащих в одной плоскости (рис.59), определяется диагональю параллелепипеда, пос­троенного на этих силах. В самом деле, при сложении сил  и   получаем их равнодействующую , которая выражается диагональю параллелограмма .

                                 = +

 Полученная сила   лежит в одной плоскости с силой . Поэтому их равнодействующая   определится диагональю  параллелограмма , т.е. 

 

              = + ,      или     = + +                                   (6.3)                                                                                       

                             

 

                                                   Рис.6.2

 

Из рисунка 6.2 видно, что диагональ   параллелограмма совпадает с диагональю параллелепипеда, построенного на трех заданных силах.

Правило сложения трех сил, расположенных в разных плоскостях называется правилом параллелепипеда сил. Используя это правило мож­но разложить любую силу на три взаимно перпендикулярные составляю­щие. Для этого удобно совместить начало прямоугольной системы коор­динат с началом вектора силы, а из его конца опустить перпендику­ляры к координатным плоскостям и осям.

Вернемся теперь к равнодействующей  системы сходящихся сил, найденной геометрическим путем на рис.6.1 и разложим её три взаим­но перпендикулярные составляющие, направленные вдоль координатных осей х, у, z (рис.6.3). Легко заметить, что найденные составля­ющие равны проекциям равнодействующей   на координатные оси.

Обо­значим углы между равнодействующей   и осями х, у, z соответственно через α, β, γ. Тогда проекции равнодействующей на ука­занные оси будут определяться выражениями:

                 , ,                                             (6.4)

                              

                                             Рис.6.3

                                                                                                          

Выражения (6.4) позволяют также определить направление равнодейст­вующей в пространстве, т.е. углы α, β, γ, если известны её модуль R, и её проекции X, Y, Z на координатные оси.

Поскольку проекции равнодействующей являются ребрами прямо­угольного параллелепипеда, а сама равнодействующая - его диаго­налью, то модуль R определится известным выражением:

                                                                                             (6.5)                                             

В § 9 было установлено, что проекция равнодействующей на любую ось равна алгебраической сумме проекций всех сил на ту же ось, т.е.

 

                       ,  ,                                          (6.6)

                                                                                     

Докажем условия, при которых пространственная система сходя­щихся сил будет находиться в равновесии. Как установлено ранее, пространственная система сходящихся сил приводится к одной рав­нодействующей . Если равнодействующая заданных сил равна нулю, то под действием таких сил твердое тело находится в равновесии. Из выражения (6.4) следует, что равнодействующая   может быть равной нулю только в том случае, когда её проекции на каждую из трех взаимно перпендикулярных осей одновременно равны нулю, т.е. Х= 0, Y=0 и Z=0. Учитывая равенства (6.6), получаем следую­щие условия равновесия пространственной системы сходящихся сил:

                     ,     ,                                         (6.7)                                      

Итак, для равновесия пространственной системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы одновременно были равными нулю алгебраические суммы проекций всех сил на три взаимно перпендику­лярные оси x, у и z.

Уравнения равновесия вытекают из условий (6.7) при подробном вычислении их левых частей путем суммирования проекций всех задан­ных сил и неизвестных реакций связей рассматриваемого тела на со­ответствующие координатные оси. В случае, когда все силы равновес­ной системы известны, уравнения равновесия обращаются в тождест­ва

0 = 0.