Момент силы относительно оси

Для возможности изучения эффекта действия на тело сил, как угодно расположенных в пространстве, вводится понятие момента си­лы относительно оси.

                      

                                                 Рис.6.4

 

Пусть заданы ось n   исила , приложенная к телу в точке А. Для определения момента силы относительно оси n, проведем плос­кость П, перпендикулярную к заданной оси n   и обозначим точку пе­ресечения плоскости с осью буквой O (рис.6.4).

Пользуясь правилом треугольника сил, разложим заданную силу  на две составляющие, одна из которых    параллельна плоскости П, а другая    параллельна оси n, т.е. перпендикулярна указан­ной плоскости. Из рисунка 6.4 видно, что составляющая  равна проек­ции заданной силы на плоскость: . Очевидно, что момент заданной силы относительно оси n -, характеризующий эффект её вращательного воздействия, равен сумме моментов составляющих сил относительно той же оси. Но составляющая  параллельна оси n и, следовательно, не может осуществить поворот тела относительно этой оси (т.е. её момент относительно оси n равен нулю), а момент сос­тавляющей  относительно оси n равен моменту силы  относи­тельно точки пересечения этой оси с плоскостью.

Таким образом, момент силы относительно некоторой оси равен моменту её проекции на плоскость перпендикулярную к этой оси, от­носительно точки пересечения оси с плоскостью, т.е:

                                                                                     (6.8)      

Момент силы относительно оси принимается положительным, если её проекция на плоскость перпендикулярную к оси стремится повер­нуть тело против часовой стрелке, если действие силы рас­сматривать со стороны положительного направления оси.

Возможны три частных случая расположения силы и оси в прост­ранстве:

I. Сила  действует в плоскости, перпендикулярной к оси n (рис.6.5). В этом случае момент заданной силы относительно оси п равен моменту той же силы относительно точки пересечения плоскос­ти с осью, т.е.

                            

                                              Рис.6.5

 

       2. Сила  параллельна оси n (рис.62). Момент этой силы от­носительно заданной оси равен нулю, так как равна нулю её проекция на плоскость П, перпендикулярную к оси п.

3. Линия действия силы  пересекает ось n в точке С. В
этом случае линия действия проекции заданной силы на плоскость П пересечет ось n в точке О (рис.62). Поэтому момент силы  относительно оси n равен нулю.

 

Приведение пространственной системы произвольно

Расположенных сил к заданному центру.

Условия равновесия

Согласно теореме Пуансо, всякая сила может быть перенесена параллельно её линии действия в любую точку тела. При этом, дейст­вие заданной силы заменяется действием такой же силы, приложенной в центре приведения и действием присоединенной пары сил, момент которой равен моменту заданной силы относительно центра приведения.

        

                                                   Рис.6.6

Пусть твердое тело загружено силами , , ,…, , не лежащими в одной плоскости (рис.6.6). Возьмем точку О тела в качестве центра приведения и приложим в ней по две взаимно уравновешенные силы  и ,  и ,...  и соответственно равные и параллельные заданным силам. В результате получаем пространственную систему сходящихся сил ,  ,…,  - и пространственную систему пар (, ), (, ),...,(, ).

Равнодействующая сходящихся сил ,  ,…,  равна их геометрической сумме и называется главным вектором заданных сил.

                        

                                      =  +  + …+

 

Напомним, что главный вектор и равнодействующая произвольной системы сил имеют одинаковые модули и направления, параллельны между собой, но их линии действия не совпадают.

Модуль главного вектора определяется по формуле (4.7), а его проекции на координатные оси по формулам (4.8).

Приведенные пары (, ), (, ),...,(, ) расположены в раз­ных плоскостях и их действие на тело можно заменить действием од­ной результирующей пары, расположенной в новой плоскости. Момент этой пары  называется главным моментом заданной системы сил относительно выбранного центра.

Если воспользоваться понятием момента силы как вектора, имеющего в пространстве три взаимно перпендикулярные составляющие, то модуль главного момента определится выражением:

                                                                                              (6.9)

где , , - проекции вектора главного момента на координатные оси x, y и z соответственно.

Опуская доказательство, укажем, что проекция вектора главного момента на любую ось равна алгебраической сумме моментов всех за­данных сил относительно той же оси, т.е:

                    , ,                               (6.10)

 

Таким образом, произвольная система сил в пространстве приво­дится к главному вектору, равному геометрической сумме заданных сил и приложенному в центре приведения и к главному моменту этих сил относительно центра приведения.

Для равновесия системы сил, произвольно расположенных в прост­ранстве необходимо, чтобы главный вектор и главный момент этой сис­темы были одновременно равными нулю, т.е:

                             = 0 и                                                                  (6.11)

 

Используя формулы (6.5) и (6.9) с учетом зависимостей (6.6) и (6.10), устанавливаем, что равенства (6.11) возможны при выполнении следующих шести условий:

          ,     ,                   

             , ,                                       (6.12)

Следовательно, система произвольно расположенных сил в прост­ранстве находится в равновесии в том случае, когда одновременно равны нулю алгебраические суммы проекций всех сил на три взаимно перпендикулярные оси и алгебраические суммы моментов всех сил относительно тех же осей.

Из условий (6.12) вытекают уравнения равновесия, решение которых дает возможность вычислить шесть неизвестных параметров системы сил, под действием которой тело находится в равновесии. Обычно в задачах статики неизвестными являются величины и направления реак­ций опорных связей. Если же система сил имеет более шести неиз­вестных параметров, то задача является статически неопределимой. Решение таких задач рассматривается в статике сооружений.