Вопрос 13. Дьёдонне. Абстракция и математическая интуиция.

Станиченко Марат

Чувственный опыт является источником многих математических понятий, однако свойства данных понятий, наделяемые математиками, зачастую выходят за рамки чувственного опыта и даже более, многие изучаемые объекты вообще не имеют чувственного эквивалента (группы, кольца, поля). «Ориентация» в мире подобных понятий может осуществляться за счет хорошего знания и интуиции. Одним из важнейших источников математического развития, по мнению автора, является тип интуции, названный «переносом интуиции» (математическая индукция, предельные переходы от конечного к бесконечному (конечные суммы в интегралы)).

Математики единодушно признают основополагающую роль, которую воображение играет в математическом творчестве. Логика — это необходимый и скучный инструмент; ею надо уметь должным образом владеть, так как она позволяет следить за доказательством и проверять его... но не изобретать! Источником основных математических понятий, таких, как число или пространство, является чувственный опыт. Однако, математические объекты, претендующие на выражение этих опытных понятий, наделяются математиками такими свойствами, которые явно выходят за пределы опыта. Понятия неограниченно продолжаемого натурального ряда чисел, бесконечной прямой и т. д. могут служить примерами концепций, не имеющих непосредственного экспериментального обоснования. Таким образом, выбор аксиом производится математиками довольно произвольно, часто из эстетических соображений или, по Пуанкаре, из соображений удобства; они вовсе не навязываются извне некоторыми явлениями или чувственной интуицией, которую мы можем иметь по отношению к ним. Более того, начиняя с конца XVI - XVII века математики разрушили классическое представление о числе и пространстве и начали исследовать объекты, не имеющие никакого чувственного эквивалента. Никто никогда не видел группы, кольца, тела, модуля. При этом использование интуиции при обращении с данными понятиями для вывода новых фактов может приводить как к истинными, так и к ложным результатам (то что интуитивно кажется истинным может таковым и не быть). Однако, хорошее знание темы, полученное, например, при тщательном ее изучении, безусловно, помогает математикам не совершать ошибок, а значит, интуиция может быть плодом хорошего знания темы.

Другим, важным, по мнению автора, типом интуиции является тип, названный Дьедонне “переносом интуиции”. Этот тип интуиции он считает основным и являющимся одним из наиболее важных источников математического развития. Дьедонне выделяет несколько типов такого переноса и поясняет свою мысль рядом примеров:

ñ переносы, которые можно назвать тривиальными; классическим примером может служить в геометрии переход от пространства R^2 к R^n. Происходит перенос от случая тривиального, элементарного, интуитивного в самом обычном смысле, к случаю, где больше нет чувственной интуиции, но где существует эта перенесенная математическая интуиция.

ñ более сложные вида переноса, одним из которых является переход от конечного к бесконечному. Переход не осущеcтвляется без изменений, как есть, некоторые факты для конечного случая неверны для бесконечного. Другими словами, необходимо было в некотором смысле приручить эту интуицию, перенесенную из конечного в бесконечное; ее нельзя было оставить без изменений, а надо было научиться с нею соответственным образом обращаться.

ñ наиболее сложный вид переноса, при котором интуиция переносится не просто от одного случая, более простого в некотором смысле, на более сложный, а синтез и нескольких интуиций и перенос одной в область, где “господствует” другая. (грубо говоря, перенос приемов из одной математической области в другую, рождение новых теорий и областей математики).

Первый вывод, который автор делает в заключение, состоит в том, что в математике, безусловно, нет одной интуиции; в ней есть целая серия разнообразных установок, порою неожиданно между собою взаимодействующих. Второй вывод: математические интуиции не постоянны; они непрерывно пополняются новыми вкладами в науку, новыми результатами, новыми идеями. Почти каждый год появляется незаурядный молодой математик, показывающий новый способ перенесения интуиции из одной области в область, совершенно от нее отличную. Наконец, в-третьих, прогресс интуиции вопреки тому, что можно было бы предположить, идет рука об руку с прогрессом абстракции. Чем более абстрактно явление, тем больше оно обогащает интуицию, потому что абстракция устраняет из теории все несущественное. Если вы вводите абстракцию умело и ведомы своим чутьем (интуицией, если угодно), то вы отбрасываете несущественные отношения. При этом остается скелет, и в этом скелете вам иногда удается обнаружить структуры, которые иначе вам увидеть бы не удалось. Если бы вы не ввели абстракцию, деревья заслонили бы от вас лес, детали помешали бы вам увидеть существенное. Прогресс математической интуиции, которую Дьедонне попытался определить, всегда сопутствует прогрессу математической абстракции.