Пульсационные свойства случайных величин 
в заданной точке 
будем характеризовать среднеквадратическим отклонением 
, которое служит мерой величины рассеивания случайных значений комплексов относительно их математических ожиданий. Связь 
с начальными моментами определяется формулой
, (4.6.1)
где 
– математическое ожидание квадрата случайной величины 
.
В реальном процессе турбулентного смешения наблюдаемые величины среднеквадратических отклонений комплексов Li будут меньше тех, что даются формулой (4.6.1), по двум причинам. Во-первых, пульсационные потоки перераспределяются по трем взаимно перпендикулярным направлениям, что уменьшает их в направлении оси x 1 примерно на две трети. Во-вторых, молекулярная вязкость, теплопроводность и диффузия сглаживают пульсации газодинамических параметров. В результате действительные значения среднеквадратических отклонений комплексов 
связаны с величинами соотношениями
, (4.6.2)
где, по опытным данным, коэффициенты 
можно считать постоянными по всему полю струи. В сверхзвуковых струях дополнительное уменьшение пульсаций комплексов вызывается демпфирующим действием пульсаций давления.
Для исследования характеристик пульсационного поля в дозвуковых и сверхзвуковых струях различных типов необходимо знать опытные константы , входящие в (4.6.2).
Все опытные данные свидетельствуют о том, что на интенсивность пульсаций комплексов 
основное влияние оказывает число Маха в начальном сечении изобарического участка. Статистическая обработка опытных данных приводит к таким формулам для определения математических ожиданий величин 
в функции от значения 
:
(4.6.3)
Влияние других факторов на постоянную не обнаружено. По крайней мере, их воздействие соизмеримо с дисперсией воспроизводимости величины по опытным данным.
Постоянные 
и 
могут быть найдены из сопоставления теоретических и экспериментальных распределений температур и концентраций примеси в дозвуковых турбулентных струях. Опыт показывает, что среднеквадратические отклонения температуры и концентрации, отнесенные к избыточным температуре и концентрации на срезе сопла, меньше среднеквадратических отклонений величины 
примерно на 25%. Отсюда получаем соотношения для определения и :
, (4.6.4)
которые остаются справедливыми и для сверхзвуковых струй.
Сопоставление рассчитанных пульсационных полей с опытными показало, что предположение о постоянстве значений является достаточно хорошим приближением к действительности. Исключение составляют лишь точки, лежащие на основном участке струи вблизи ее оси, где предположение о постоянстве значений приводит к завышению (примерно на одну треть) рассчитанных величин среднеквадратических отклонений по отношению к опытным. Так как зона, в которой наблюдаются отклонения результатов расчета от опыта, невелика по объему, то будем считать 
по всему полю струи.
Определение статистических характеристик газодинамических параметров по известным 
и 
требует задания ПВ для всех трех комплексов , а также корреляционных связей между ними. Пусть ПВ для комплексов описываются «обрезанным» нормальным законом
, (4.6.5)
где
(4.6.6)
(4.6.7)
(4.6.8)
Функции ПВ 
являются кусочно-непрерывными: они непрерывны в открытом промежутке 
и терпят разрыв в точках 
и 
. На практике, однако, удобнее пользоваться дискретным распределением случайной величины. Поэтому мы заменим функции их дискретными аналогами:
(4.6.9)
где
(4.6.10)
Величины вероятностей 
и коэффициентов 
были вычислены Чебышевым для различного числа членов 
в рассматриваемом дискретном распределении из условия совпадения максимального числа моментов дискретного и нормального распределений случайной величины.
Распределения вероятностей 
для каждого нормированного комплекса 
содержат по две неизвестные величины: 
и 
. Они находятся из условия совпадения математических ожиданий 
и среднеквадратических отклонений нормированных комплексов для действительных и моделирующих их дискретных распределений:
; 
. (4.6.11)
Так как среднеквадратические отклонения случайной величины для нормального и «обрезанного» нормального законов близки друг к другу на большей части интервала изменения комплекса 
, то будем считать, что
. (4.6.12)
Тогда значения могут быть найдены из первого уравнения (4.6.11) с учетом (4.6.10) и (4.6.12). Отметим, что погрешности вычислений, связанные с предположением (4.6.12), велики только в тех зонах струи, где малы значения комплексов , т.е. на краю струи или на очень больших удалениях от среза сопла. Обычно эти области не представляют практического интереса, и поэтому в них допускаются значительные относительные ошибки при определении статистических характеристик газодинамических параметров. Кроме того, при больших отношениях 
, которые наблюдаются как раз при малых значениях 
, точность нахождения числовых характеристик резко падает еще по одной причине – из-за ошибок при задании ПВ газодинамических комплексов .
Итак, мы получили дискретные плотности распределения вероятностей для нормированных комплексов в виде разложений Чебышева (см. (4.6.9), (4.6.10)). Эти плотности содержат неизвестные параметры и . Мы указали способ их определения по заданным значениям и 
: величины мы приняли равными , а для нахождения значений записали уравнение (первое в системе (4.6.11)), которое неявным образом определяет при заданных величинах .
Теперь мы можем выполнить заключительную операцию: определить математические ожидания и среднеквадратические отклонения газодинамических параметров.
Сделаем еще одно предположение. Будем считать, что газодинамические комплексы статистически связаны друг с другом. Это означает, что нормированные комплексы могут
появляться лишь в таких сочетаниях 
когда индекс 
одинаков для всех трех комплексов (см. (4.6.10)). Указанное предположение согласуется с имеющимися опытными данными.
Итак, пусть заданы дискретные плотности распределения случайных величин в виде (4.6.9), (4.6.10). Значения и считаются известными. Для каждого сочетания где индекс пробегает значения от 
до 
, мы находим величины
. (4.6.13)
По методике, изложенной в подразд. 4.5, для каждого сочетания комплексов 
находим массив газодинамических параметров 
.
Теперь мы завершаем решение поставленной в данном разделе задачи определением математических ожиданий 
и среднеквадратических отклонений 
случайных величин 
:
; 
; (4.6.14)
.
В зонах струи, где 
велико, более точные результаты могут быть получены из градиентных соотношений типа (3.1.6).
