В соответствии с принятой моделью сверхзвуковой одиночной струи за начальное сечение изобарического участка и конец газодинамического взято сечение а–а, являющееся концом первой бочки. Если отдельные сверхзвуковые струи, входящие в блок, взаимодействуют на газодинамическом участке, то блочная струя заменяется эквивалентной по расходу и тяге одиночной струей. Таким образом, при расчете распределений газодинамических параметров в начальном сечении изобарического участка как одиночных, так и блочных струй достаточно найти параметры в одиночной эквивалентной струе.
Существуют два пути решения поставленной задачи. Первый путь – численное решение полной системы дифференциальных уравнений газовой динамики, описывающей течение турбулентного потока. Основное достоинство такого подхода – возможность определения требуемых значений газодинамических параметров в любой точке газодинамического участка, в том числе и в сечении а–а, недостаток – сложность и трудоемкость вычислений. Для упрощения вычислений часто пренебрегают трением в газе, что не позволяет учитывать развитие пограничных слоев на поверхностях тангенциальных разрывов. Это приводит к большим ошибкам при расчете распределений параметров в начальном сечении изобарического участка. Другой источник ошибок при использовании численных методов – это принимаемое допущение о неизменности термодинамических характеристик (показателей адиабаты, теплоемкостей, газовых постоянных и т.д.).
Второй путь основан на применении законов сохранения в интегральной форме, использовании некоторых экспериментальных результатов и априорно задаваемых профилей газодинамических параметров в начальном сечении изобарического участка. Назовем эти методы полуэмпирическими. Так как полуэмпирические методы опираются на опытные соотношения, они свободны от недостатков численных методов, но дают ограниченную информацию о распределении газодинамических параметров в области, занятой волновым участком струи. Заметим, что полуэмпирические методы позволяют учесть изменение термодинамических характеристик. В рамках поставленной задачи для определения параметров в начальном сечении изобарического участка удобнее использовать полуэмпирические методы, имея в виду, что их точность в сечении, проходящем через конец первой бочки, та же, что и численных (а в некоторых случаях даже выше), но вычислительный алгоритм проще.
Построим полуэмпирическую модель определения параметров в конце первой бочки, которая учитывает изменение термодинамических характеристик в процессе движения газа, а также перераспределение параметров в конце первой бочки из-за турбулентного смешения в зонах тангенциальных разрывов. Область, занятую струей в сечении а–а, разделим в общем случае на две подобласти: внутреннюю и внешнюю, в каждой из которых распределения газодинамических параметров пока принимаем однородными. Внутренняя подобласть, ограниченная пунктирными линиями на рис. 4.6, включает в себя часть потока, которая проходит через маховский диск. Естественно, что внутренняя подобласть вводится лишь тогда, когда есть маховский диск и его диаметр не слишком мал по сравнению с диаметром выходного сечения сопла d вых (в практических расчетах внутреннюю подобласть следует вводить при d мд / d вых >0,15, где d мд – диаметр маховского диска).
Определение параметров во внутренней подобласти. Параметры во внутренней подобласти вычисляются следующим образом. Предполагаем на основании имеющихся экспериментальных данных, что до значений чисел Маха на срезе сопла Мвых ≤ 4 поток за маховским диском ускоряется и в некотором сечении, называемом звуковым, скорость потока достигает скорости звука, а статическое давление сравнивается с величиной 
. Тогда, совмещая звуковое сечение с сечением а–а и принимая во внимание постоянство полного теплосодержания в пределах первой бочки при отсутствии перемешивания с окружающей средой:
, (4.3.1)
получим следующую замкнутую систему уравнений для определения газодинамических параметров во внутренней подобласти:
, 
,
, 
,
, 
,
, 
, (4.3.2)
, 
,
, 
,
, 
,
где индексом «вн» обозначены параметры во внутренней подобласти; 
, 
, 
– таблично заданные функции, найденные ранее при подготовке исходных данных, а – скорость звука, 
– давление, замеряемое трубкой Пито. Предполагается, что скорость в сечении а–а проецируется только на продольную ось,
т.е. 
.
Система уравнений (4.3.2) решается методом последовательных приближений путем подбора величины , соответствующей значению 
, например методом половинного деления. Примем такую последовательность действий: устанавливаем первоначальный интервал возможных значений теплосодержаний во внутренней подобласти 
, делим этот интервал пополам и полученное в первом приближении значение 
используем для последовательного решения уравнений системы (4.3.2) и вычисления в первом приближении значений 
, 
, 
, 
и т.д. Если полученное в первом приближении значение 
, то верхняя граница интервала возможных величин переносится в точку , в противоположном случае нижняя граница этого интервала переносится в точку . Далее процесс деления интервала возможных значений повторяется до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность определения газодинамических параметров во внутренней подобласти. Отметим, что в действительности звуковое сечение не совпадает с принятым в нашей модели сверхзвуковой струи положением начального сечения изобарического участка, а находится за этим сечением вниз по потоку, но вызываемая этим обстоятельством ошибка в определении газодинамических параметров на изобарическом участке струи незначительна.
Определение размеров внутренней подобласти. Определим диаметр внутренней подобласти 
, равный, пo предположению, диаметру звукового сечения. Так как внутренняя подобласть формируется потоком, прошедшим через маховский диск, то сначала следует найти размеры маховского диска. Для нахождения его диаметра в первой бочке сверхзвуковой нерасчетной струи, истекающей в затопленное пространство, воспользуемся приближенными экспериментальными соотношениями:
(4.3.3)
, 
,
, (4.3.4)
, 
, 
,
где 
– угол полураствора сопла. Соотношение (4.3.4) справедливо также для течений с отрывом в сопле, если вместо параметров на срезе взять параметры в сечении отрыва. Формула (4.3.4) получена при аппроксимации экспериментальных данных для струй, истекающих из конических сопл. При определении 
в перерасширенных струях, истекающих из профилированных сопл, рекомендуется зависимость
, (4.3.5)
, 
.
Однако в пределах точности рассматриваемой расчетной модели и обработки экспериментальных данных зависимость (4.3.4) может быть использована для встречающихся на практике углов при расчете струй, истекающих как из конических, так и из профилированных сопл.
Рассмотрим влияние числа Маха спутного потока 
на размеры маховского диска. Если величина 
, значения находятся по соотношениям (4.3.3), (4.3.4). Дальнейшее повышение приводит в недорасширенных струях 
к уменьшению значений , и если 
, 
, то 
можно принять равным нулю. Для промежуточных значений 
, величину будем определять приближенно, считая, что в указанном диапазоне значений меняется линейно от величины, даваемой формулой (4.3.3), которой ставится в соответствие значение 
, до нуля при 
. При 
в перерасширенных струях следует учитывать фактическое увеличение нерасчетности n и приближение ее к единице из-за разрежения, возникающего при обтекании сужающейся части струи. В результате этого процесс выравнивания статического давления по длине струи затягивается. Приближенно статическое давление во внешнем потоке у границы струи на участке сужения можно оценить по формуле Прандтля–Майера и тем самым учесть влияние спутного потока на перераспределение параметров в первой бочке. Но, принимая во внимание, что в прикладных задачах комбинация малых нерасчетностей с большими значениями встречается достаточно редко, ограничимся в разрабатываемом алгоритме использованием формулы (4.3.4) при всех значениях .
Таким образом, соотношения (4.3.3), (4.3.4) и сформулированные выше рекомендации дают возможность приближенно найти значения в диапазоне изменения параметров на срезе сопла и в окружающей среде, с которыми приходится сталкиваться на практике. В заключение отметим две особенности зависимостей (4.3.3), (4.3.4): получение отрицательных значений при некоторых сочетаниях значений 
и n, что трактуется как равенство нулю, и отсутствие в указанных формулах показателя адиабаты 
ввиду его незначительного влияния на .
Диаметр звукового сечения, равный, по предположению, диаметру внутренней подобласти , связан с величиной условием постоянства расхода в трубке тока, проходящей через маховский диск:
, (4.3.6)
где 
и 
– площади маховского диска и звукового сечения, 
– число Маха непосредственно за центральным скачком уплотнения, которое в свою очередь связано с числом Маха перед центральным скачком уплотнения 
и с коэффициентом потерь полного напора 
соотношениями
, (4.3.7)
, (4.3.8)
где 
, 
– давление адиабатически заторможенного потока перед маховским диском, определяемое по известным параметрам на срезе сопла:
, (4.3.9)
– давление адиабатически заторможенного потока за маховским диском, совпадающее с 
, так как течение газа от маховского диска и до звукового сечения во внутренней подобласти дозвуковое. Считая течение за маховским диском изоэнтропическим и учитывая, что в сечении а – а во внутренней подобласти 
, а 
, получим формулу для нахождения давления заторможенного потока:
. (4.3.10)
Показатель адиабаты в (4.3.6) – (4.3.10) принимается равным показателю адиабаты во внутренней подобласти , полученному ранее при решении (4.3.2). Алгоритм решения системы (4.3.6) – (4.3.10): по формулам (4.3.9) и (4.3.10) находят и ; определяют коэффициент потерь полного напора ; методом половинного деления при подборе числа Маха за центральным скачком уплотнения в возможном диапазоне его изменения 
решают уравнения (4.3.7), (4.3.8), неявным образом определяющие и ; по формуле (4.3.6) вычисляют диаметр и площадь внутренней подобласти.
Итак, приведенные уравнения и алгоритмы их решения позволяют определить размеры не только внутренней подобласти в начальном сечении изобарического участка, но и маховского диска, а также параметры потока до и после него.
Определение параметров во внешней подобласти и размеров струи в начальном сечении изобарического участка. Запишем систему уравнений, определяющую газодинамические параметры и размеры наружной подобласти в конце первой бочки. В соответствии с законами сохранения массы и количества движения
, (4.3.11)
(4.3.12)
где индексом «н» обозначаются параметры в наружной подобласти. Как и для внутренней подобласти, предполагается, что продольная составляющая скорости в наружной подобласти 
равна значению самой скорости 
.
Дополняя систему (4.3.11), (4.3.12) условием постоянства полного теплосодержания:
, (4.3.13)
предположением о равенстве статического давления в конце первой бочки давлению :
(4.3.14)
и таблично заданными функциями
, 
, 
, (4.3.15)
получим замкнутую систему для нахождения во внешней подобласти плотности 
, скорости , теплосодержания 
,температуры 
, газовой постоянной 
, показателя адиабаты, а также площади наружной подобласти 
.
Схема решения системы (4.3.11)–(4.3.15) проста: разделив (4.3.12) на (4.3.11), находим скорость ; подставив ее значение в (4.3.13), получим теплосодержание ; далее из (4.3.15) находим последовательно значения , и 
; затем из (4.3.14) определяем плотность и, наконец, из (4.3.11) – площадь .
Теперь газодинамические комплексы 
, скорость звука 
, число Маха 
и некоторые вспомогательные комбинации газодинамических параметров 
во внешней зоне струи в сечении а–а, диаметр струи в этом сечении 
, среднемассовое по начальному сечению изобарического участка струи число Маха 
:
(4.3.16)
и параметр 
, характеризующий отношение средних плотностей в окружающей среде и сечении а–а,
, (4.3.17)
выражаются через известные величины:
, 
,
, 
, 
,
, 
, 
, (4.3.18)
, 
,
.
О точности определения геометрических размеров струи, а следовательно, косвенно и о точности определения средних значений газодинамических параметров в конце первой бочки, можно судить, сравнивая приведенные в табл. 4.1 данные расчета 
по изложенной методике с результатами обработки теневых фотографий затопленных воздушных одиночных сверхзвуковых струй и – для некоторых режимов – эпюр . При обработке эпюр за идеальную границу струи принималась условно линия, на которой скоростной напор 
составлял 
. При обработке теневых фотографий устанавливалась точка в конце первой бочки, где начиналось резкое изменение кривизны отраженного скачка, что свидетельствовало о переходе к зоне значительных градиентов скорости. Эта точка считалась лежащей на внутренней границе наружного пограничного слоя. Точка пересечения условной идеальной границы струи с сечением а–а приближенно находилась как средняя между точками на внутренней и наружной границах внешнего пограничного слоя.
Т а б л и ц а 4.1
Диаметры маховского диска и начального сечения изобарического участка в затопленных 
воздушных струях 
| Мвых | n |
| ||
Расчет
, которая расположена между срезом сопла и концом первой бочки, возникают две поверхности тангенциального разрыва скорости: первая – идеальная граница струи и вторая – внутренняя граница раздела, зарождающаяся на кромке маховского диска (пунктирная линия на рис. 4.6). На этих поверхностях вследствие турбулентного перемешивания развиваются пограничные слои, которые существенно меняют распределения газодинамических параметров в начальном сечении изобарического участка.
– длину наружной идеальной границы струи от среза сопла до сечения a – а, 
– длину внутренней границы раздела от кромки маховского диска до сечения a – а и 
– расстояние от среза сопла до сечения а–а. Относительно малые величины 
и 
позволяют упростить расчетную модель и считать, что тепловые, диффузионные и динамические внешние и внутренние пограничные слои не пересекаются. 
, 
,
по сечению этих слоев предполагаются линейными. Тогда, учитывая связь толщин пограничных слоев с длиной зоны смешения, получим толщины внешнего и внутреннего пограничных слоев в конце первой бочки. Далее налагаем на найденное нами ранее без учета турбулентного смешения ступенчатое распределение комплексов 
пограничные слои. В результате получим эпюры распределений комплексов 
по начальному сечению изобарического участка, которые в свою очередь позволяют найти все остальные значения газодинамических параметров и их комбинаций и уточнить величины 
) распределения газодинамических параметров и геометрические размеры, определяемые по схеме, изложенной ранее.
за срез сопла. Начиная с конца первой бочки, распределения газодинамических параметров в реальной струе и эквивалентной изобарической в модели эквивалентной струи предполагаются одинаковыми.
. Однако, по мере отхода от начального сечения вниз по потоку, разность между опытными и расчетными значениями газодинамических параметров во всех точках сечения струи, в том числе и вблизи оси, быстро убывает.
в конце первой бочки сверхзвуковой нерасчетной воздушной струи, истекающей в затопленное пространство, в зависимости от 
– отношения расстояния от оси струи к радиусу среза сопла. Параметры на срезе сопла и в окружающей среде: число Маха на срезе сопла Мвых=1,5; нерасчетность n =5; давление окружающей среды 
Н/м2. Профили 
