Определение первого и второго начальных моментов газодинамических комплексов на изобарическом участке

Перейдем к определению математических ожиданий начальных моментов газодинамических комплексов в произвольной точке на изобарическом участке струи.

Имея в виду унификацию расчетных соотношений и согласование их с решениями, получаемыми по модели Рейхардта, введем новые переменные

. (4.4.1)

Кроме того, нормируем комплексы , поделив их на максимальные по модулю величины в сечении а – а: . В результате значения будут меняться в интервале . С учетом этих преобразований уравнения (4.1.7) – (4.1.9) сведутся к следующим выражениям для математических ожиданий и в точке :

, (4.4.2)

, (4.4.3)

где k =1 при определении и k =2 при определении .

На больших удалениях от среза одиночного сопла или выходных сечений блока сопл () из-под знака интеграла в формуле (4.4.2) можно вынести функцию . В результате для этого предельного случая найдем распределения по сечению b – b струи, характерные для точечного источника:

, (4.4.4)

, (4.4.5)

где – математическое ожидание комплекса в сечении b – b на оси.

Соотношения (4.4.2) и (4.4.3) легко обобщаются на блочные струи. Если отдельные струи блока взаимодействуют только на изобарическом участке, то выполняется принцип сложения решений:

, (4.4.6)

где – значение в заданной точке от воздействия всех струй блока; – значение в заданной точке от воздействия только j -й струи; N – число струй в блоке.

Основные соотношения для круглых струй. Теперь займемся вычислением интегралов (4.4.2), (4.4.3) для круглых струй. Введем цилиндрическую систему координат (рис. 4.8):

; ; . (4.4.7)

Рис. 4.8

Поместим начальное сечение а – а в плоскость , а ось струи совместим с координатной осью . Тогда, подставляя (4.4.7) в (4.4.2), после несложных преобразований получим

(4.4.8)

где – диаметр струи в начальном сечении. Будем отсчитывать полярный угол от плоскости, проходящей через точку , и учтем известную зависимость

, (4.4.9)

где – функция Бесселя первого рода нулевого порядка от мнимого аргумента. Так как – четная функция от , то

, (4.4.10)

. (4.4.11)

Если величины распределены равномерно по начальному сечению, т.е. =1, , и линейные размеры отнесены к , то (4.4.11) можно записать в виде

, (4.4.12)

. (4.4.13)

На оси струи интеграл выражается через элементарные функции:

. (4.4.14)

Приведем интеграл в правой части (4.4.11) к виду, удобному для вычисления. Преобразуем подынтегральное выражение:

(4.4.15)

и введем для сокращения записи новые переменные:

, . (4.4.16)

Тогда

(4.4.17)

Функция Бесселя нулевого порядка от мнимого аргумента находится с помощью асимптотических разложений:

при

, (4.4.18)

при

. (4.4.19)

Соответственно функция с учетом (4.4.18), (4.4.19) представляется в виде:

при

, (4.4.20)

при

. (4.4.21)

Исследование соотношений (4.4.20), (4.4.21) показало, что для обеспечения относительной погрешности вычисления функции не более при следует в разложениях в ряды при брать не менее восьми, а при – не менее шести членов.

С учетом сделанных преобразований (4.4.17) запишется в форме

(4.4.22)

Естественно поставить вопрос: зачем нам потребовалось приводить уравнение (4.4.11) к виду (4.4.22)? Чтобы ответить на него, рассмотрим поведение подынтегральных функций в (4.4.11), (4.4.22) при . Легко заметить, что в (4.4.11) возникает неопределенность вида . К бесконечности стремится функция Бесселя нулевого порядка от мнимого аргумента при уменьшении . Практически это означает, что, используя (4.4.11), следует предусмотреть ограничения на возможные значения . В противном случае произойдет выход порядка сомножителей за допустимые пределы. В формуле (4.4.22) эта неопределенность устранена. Действительно, функция ограничена, и при любых значениях ее значения лежат в пределах

При вычислении интеграла в (4.4.22) следует учитывать еще одну особенность, возникающую при расчете в сечениях, близких к начальному. Если величины и, соответственно, малы, то резко увеличивается значение верхнего предела в интеграле (4.4.22). Предполагается, что допустимая ошибка одинакова для всех точек, и, следовательно, шаг по постоянен.

Заметим, что в исходном интеграле (4.4.11) с постоянными верхним и нижним пределами также будет наблюдаться рост объема вычислений при нахождении этого интеграла с требуемой точностью, когда и , из-за необходимости уменьшения шага по .

Объем вычислений при нахождении интеграла в (4.4.22) в случае малых величин можно существенно сократить, если учесть следующее обстоятельство. Функция быстро убывает с ростом величины абсолютного значения разности , а функция ограничена. В результате на большей части промежутка интегрирования подынтегральная функция с достаточной степенью точности может быть принята равной нулю. Целесообразно поэтому из всего промежутка интегрирования от 0 до вырезать отрезок , где определяется допускаемой относительной погрешностью. Оценим величину . Пусть , , . Тогда для всех точек сечения, удовлетворяющих условию , при равномерном распределении параметров в начальном сечении изобарического участка отношение . Примем , что даст нам максимум в рассматриваемой оценке, ибо , и заменим верхний предел интегрирования в (4.4.22) на . При этом относительная погрешность вычисления интеграла, вызванная сужением интервала интегрирования, определится зависимостью

. (4.4.23)

Если значение принять равным 5, то при вычислении интеграла в (4.4.22) относительная погрешность не превысит значения .

Общие сведения о связи обобщенных продольных координат с физической . Соотношения (4.4.2) и (4.4.22) дляопределения начальных моментов содержат неизвестные величины , которые характеризуют отклонения квазичастиц от прямолинейных траекторий при их случайном блуждании. Эти величины при фиксированных параметрах на срезе сопла и в окружающей среде имеют размерность длины и зависят от продольной физической координаты . Поэтому они были названы обобщенными продольными координатами точки . Связь обобщенных и физической продольных координат устанавливается из опыта.

Приведем сводку формул для определения в круглых струях обобщенных координат по заданным величинам . Эти формулы получены в результате обработки обширного материала по экспериментальному изучению турбулентных течений и охватывают большинство встречающихся на практике типов струй.

Обобщенные координаты связаны друг с другом простыми зависимостями

, (4.4.24)

которые достаточно точно выполняются при всех сочетаниях параметров на срезе сопла и в окружающей среде. Следовательно, нам нужно установить связь с физической продольной координатой только одной из переменных , например .

Анализ показал, что на ход кривых влияют следующие факторы: среднемассовое число Маха , нерасчетность n, отношение плотностей и скорость спутного потока.

Опытные зависимости для затопленных
дозвуковых струй. В дозвуковых затопленных струях число значимых факторов сводится к двум: числу Маха в начальном сечении изобарического участка и отношению плотностей струи и окружающей среды . Рассмотрим воздействие каждого из этих факторов отдельно, а затем их совместное воздействие на зависимость .

Пусть плотность в струе равна плотности в окружающей среде . Так как струя истекает в затопленное пространство при скоростях, меньших скорости звука, то начальное сечение изобарического участка совпадает со срезом сопла, а значения и равны.

При связь обобщенной продольной координаты с физической дается формулой

, (4.4.25)

где постоянная принимается равной:

, (4.4.26)

(4.4.27)

. (4.4.28)

Приведем теперь формулы, учитывающие влияние различий в плотностях струи и окружающей среды на зависимость . Введем параметр :

, (4.4.29)

который характеризует отношение плотности окружающей среды к средней по сечению плотности струи. Для круглой струи

. (4.4.30)

Экспериментальные исследования показали, что с ростом значения производная медленно увеличивается.

Если параметр меняется в пределах , то для определения зависимости может быть сохранена линейная модель

, (4.4.31)

где постоянная , – опытная зависимость,

, (4.4.32)

– значение параметра на срезе сопла. Формула (4.4.32) записана для таких типов струй, в которых плотность изменяется только из-за перемешивания вещества струи с окружающей средой.

В струях с диффузионным факелом горения процесс перемешивания сопровождается выделением химической энергии при догорании продуктов неполного окисления топлива в атмосфере. Это вызывает повышение температуры в зоне факела и увеличение , так как увеличение температуры при постоянном давлении эквивалентно уменьшению плотности ρ. Зависимости (4.4.31), (4.4.32) остаются справедливыми и для струй с факелом, но в (4.4.32) вместо следует подставить среднее по длине факела значение .

При совместном воздействии обоих факторов – числа Маха на срезе сопла и параметра ω – зависимость для дозвуковой затопленной струи остается линейной:

, (4.4.33)

где корректирующие сомножители находятся соответственно по (4.4.27), (4.4.32).

Если значения ω в струе выходят за пределы интервала , то производная будет заметно меняться по длине струи. Такая ситуация обычна, например, для струй плазмы. Использование линейной зависимости (4.4.33) в этом случае приведет к большим ошибкам. Здесь уже требуется интегрировать уравнение

, (4.4.34)

которое аппроксимирует экспериментальные результаты при изменении параметра ω в диапазоне .

Опытные зависимости для затопленных сверхзвуковых струй. При переходе от дозвуковых скоростей к сверхзвуковым выделим в затопленной струе две части: сверхзвуковую и дозвуковую. Границей между ними будет сечение, начиная с которого поток становится дозвуковым по всему полю струи. Пусть продольная координата этого сечения .

Расчет газодинамических параметров в сечениях струй с координатой показал, что в этих сечениях среднемассовое число Маха близко к 0,5, а число Маха на оси струи равно единице. За указанными сечениями вниз по потоку

, (4.4.35)

где ; ; значение соответствует продольной координате конца сверхзвуковой части струи: . Величина коэффициента пропорциональности С в (4.4.35) находится в том же диапазоне, что и для рассмотренных ранее затопленных струй малой скорости .

Длина сверхзвуковой части струи определяется до значений по формуле

, (4.4.36)

где и соответственно значения диаметра начального сечения изобарического участка и среднемассового числа Маха в нем.

Коэффициент учитывает влияние нерасчетности n:

; (4.4.37)

Коэффициент связан с изменением параметра ω по длине турбулентной струи. Определяется он точно так же, как и для дозвуковых струй. Для струй ракетных двигателей, например, коэффициент примерно одинаков и равен: . Для неизотермических струй без физико-химических превращений может быть вычислен по формуле

. (4.4.38)

Поставим теперь в соответствие длине сверхзвуковой части струи обобщенную продольную координату .

Значение определяется по формуле

, (4.4.39)

где – диаметр выходного сечения сопла.

Приближенно полагаем, ввиду небольшого диапазона возможных изменений показателя адиабаты , что

. (4.4.40)

Итак, мы имеем два опорных сечения: срез сопла , и сечение, отделяющее сверхзвуковую и дозвуковую области струи, , .

Для дозвуковой области струи зависимость известна – это соотношение (4.4.35). Для сверхзвуковой области обработка опытных данных в широком диапазоне изменения среднемассового числа Маха в начальном сечении изобарического участка приводит к формуле

(4.4.41)

где .

Влияние спутного потока на зависимость . Введем параметр спутности

, (4.4.42)

где – средняя по начальному сечению изобарического участка скорость струи. При дозвуковых скоростях истечения , так как в этом случае выходное сечение сопла и начальное сечение изобарического участка совпадают.

Влияние параметра спутности сводится просто к изменению масштаба зависимости , полученной для затопленной струи

, (4.4.43)

где – обобщенная продольная координата для затопленной струи, – коэффициент, учитывающий спутный поток.

Кусочно-параболическая аппроксимация зависимости , обобщающая результаты большого числа экспериментальных исследований при , имеет вид

(4.4.44)

Зависимости для блочных струй. Для получения опытных зависимостей разделим блочные затопленные струи на две группы. К первой группе отнесем те блочные струи, в которых в зоне взаимодействия одиночных струй, входящих в блок, скорости дозвуковые. Тогда в выбранной точке турбулентной блочной струи комплексы определяются в соответствии с принципом суперпозиции (см. (4.4.6)), а зависимости , используемые при нахождении значений комплекса от воздействия отдельной j -й струи, входящей в блок, считаются такими же, как для соответствующих одиночных струй.
Ко второй группе отнесем затопленные блочные струи, в которых взаимное влияние отдельных струй, входящих в блок, обнаруживается уже в пределах области сверхзвуковых скоростей. Схема расчета зависимостей для блочной струи в этом случае строится следующим образом. До соприкосновения струй блока параметры в них, в том числе зависимости , рассчитываются для каждой струи отдельно. Сечение, начиная с которого наблюдается взаимное наложение пограничных слоев струй блока и формирование одной струи сложной формы, принимается за начальное сечение а–а изобарического участка одиночной струи. Далее расчет проводится так же, как для одиночной струи.

В заключение остановимся еще на одной особенности расчета зависимостей для блочных струй. Речь идет о явлении «слипания» струй блока. При большой кривизне осей отдельных струй продольную физическую координату следует отсчитывать вдоль фактических осей струй с учетом их сближения в составной струе.

Анализ опытных данных показал, что основным фактором, определяющим сближение отдельных струй, истекающих из блока сопл, является геометрия блока, а начальный подогрев, физико-химические превращения и состав газа на срезах сопл слабо влияют на этот процесс. Указанное свойство блочных струй позволяет при опытном определении отклонений осей струй, входящих в блок, проводить моделирование на «холодных» струях.

4.5. Определение газодинамических параметров по заданным
величинам комплексов

При определении статистических характеристик газодинамических параметров (математических ожиданий и среднеквадратических отклонений) нам неоднократно потребуется находить газодинамические параметры по известным величинам комплексов .

Итак, пусть известны комплексы , параметры окружающей среды и таблично заданные функции , , . Всю систему уравнений, определяющую значения газодинамических параметров на изобарическом участке , разобьем на две части. К первой отнесем те уравнения, которые решаются совместно. Это система из семи уравнений:

(4.5.1)

определяющая семь неизвестных:

Заметим, что система (4.5.1) имеет один и тот же вид, как для струй с «замороженным» составом, так и для струй с равновесными физико-химическими превращениями. Различие будет лишь в таблицах , , . Более того, одни и те же таблицы могут быть использованы для расчета и равновесного, и “замороженного” истечения. В последнем случае в таблицах следует оставить только те значения , R и , которые соответствуют величинам и . Вследствие линейности зависимостей и от параметра при механическом смешении без химических реакций из построенных таким образом таблиц будем иметь термодинамические характеристики для «замороженного» истечения. Так как показатель адиабаты меняется незначительно, то и его зависимость от для «замороженного» состава близка к линейной. Для расчета параметров при равновесном истечении используются полные таблицы термодинамических характеристик.

Система (4.5.1) решается следующим образом. Разделив первое и второе ее уравнения на третье, получим цепочку соотношений, последовательно определяющих газодинамические параметры в зависимости от переменной , параметров окружающей среды и комплексов :

(4.5.2)

При определении значения используем метод половинного деления для нахождения корня на отрезке . Замыкающим уравнением, позволяющим определить , может быть, например, первое уравнение системы (4.5.1).

В соответствии с методом половинного деления в первом приближении нижнюю и верхнюю границы диапазонов изменения принимаем равными: , , где индексом «н» будем обозначать газодинамические параметры на нижней, а индексом «в» – на верхней границах. Делим промежуток пополам, определяем среднюю точку и находим значения газодинамических параметров при по системе (4.5.2). Если

, (4.5.3)

где и – значения выражения соответственно при и , то значение , обеспечивающее выполнение замыкающего условия , будет в промежутке от до . Тогда принимаем за новую верхнюю границу . В противоположном случае . Сузив таким образом диапазон, в котором находится искомое значение , снова делим этот диапазон пополам и повторяем все вычисления. Процесс сближения продолжается до тех пор, пока разность не станет меньше допускаемой ошибки вычисления . В результате решения (4.5.1) изложенным методом получим следующие параметры:

Ко второй части отнесем вспомогательные уравнения, выражающие остальные газодинамические параметры и их комбинации через уже вычисленные. Это формулы для определения показателя адиабаты при температуре, равной температуре смеси,

(4.5.4)