Общая дисперсия показывает величину вариации во всей совокупности, сложившуюся под влиянием всех факторов:
– простая, (5.41)
– взвешенная, (5.42)
Внутригрупповая (случайная) дисперсия показывает величину вариации внутри групп, на которые разбита совокупность, обусловленная случайными причинами:
– простая, (5.43)
– взвешенная, (5.44)
где – групповая средняя.
По всем группам рассчитывают среднюю внутригрупповую дисперсию :
– простая, (5.45)
– взвешенная, (5.46)
где – общая численность по всем группам;
Межгрупповая (систематическая) дисперсия показывает величину вариации групповых средних относительно общей средней, обусловлена систематическими причинами.
– простая, (5.47)
– взвешенная, (5.48)
где – число групп.
Все три вида дисперсии связанны Законом сложения дисперсий – общая дисперсия всегда равна сумме средней внутригрупповой и межгрупповой дисперсий:
, (5.49)
Для характеристики влияния группировочного признака на общую вариацию рассчитывают корреляционное отношение :
, (5.50)
Чем больше корреляционное отношение, тем больше фактор, положенный в основание группировки, оказывает влияние на общую вариацию.
Пример 5.1. Имеются данные о количестве жителей по районам проживания (табл. 5.1).
Таблица 5.1
№ | тыс.человек. | № | тыс.человек. | № | тыс.человек. |
1 | 2,0 | 5 | 3,0 | 9 | 5,5 |
2 | 2,5 | 6 | 4,0 | 10 | 6,0 |
3 | 2,5 | 7 | 5,5 | 11 | 6,5 |
4 | 3,0 | 8 | 5,5 | 12 | 7,0 |
Рассчитать.
1. Среднее количество человек в расчете на один район.
2. Моду.
3. Медиану.
4. Показатели вариации
· дисперсию;
· стандартное отклонение;
· коэффициент вариации.
Решение.
1. Так как значение варианты в совокупности повторяется по несколько раз, с определенной частотой для расчета среднего значения используем формулу среднюю арифметическую взвешенную:
2. Данный ряд является дискретным, поэтому модой будет варианта с наибольшей частотой – .
3. Данный ряд является четным, в этом случае медиану для дискретного ряда находят по формуле:
То есть, половина районов в исследуемой совокупности имеют численность до 4,75 тыс.чел. а половина свыше.
4. Для расчета показателей вариации составим таблицу 5.2, в которой рассчитаем отклонения , квадраты данных отклонений , расчет можно провести как по простым, так и по взвешенным формулам расчета (в примере используем простую):
Таблица 5.2
№ | |||
1 | 2,00 | -2,42 | 5,84 |
2 | 2,50 | -1,92 | 3,67 |
3 | 2,50 | -1,92 | 3,67 |
4 | 3,00 | -1,42 | 2,01 |
5 | 3,00 | -1,42 | 2,01 |
6 | 4,00 | -0,42 | 0,17 |
7 | 5,50 | 1,08 | 1,17 |
8 | 5,50 | 1,08 | 1,17 |
9 | 5,50 | 1,08 | 1,17 |
10 | 6,00 | 1,58 | 2,51 |
11 | 6,50 | 2,08 | 4,34 |
12 | 7,00 | 2,58 | 6,67 |
Итого | 53,00 | 0,00 | 34,42 |
В среднем | 4,4167 |
Рассчитаем дисперсию:
Рассчитаем стандартное отклонение:
Рассчитаем коэффициент вариации:ввв
Пример 5.2. По предприятию представлены данные о заработной плате работников (табл. 5.3)
Рассчитать моду и медиану.
Решение.
Для интервального вариационного ряда мода рассчитывается по формуле:
где модальный интервал – интервал с наибольшей частотой, в нашем случае 3600-3800, с частотой
- минимальная граница модального интервала (3600);
- величина модального интервала (200);
- частота интервала предшествующая модальному интервалу (25);
- частота следующего за модальным интервалом (29);
- частота модального интервала (68).
Таблица 5.3
Интервал по заработной плате, руб./чел. | Количество работников | Кумулятивная частота |
3000-3200 | 15 | 15 |
3200-3400 | 17 | 32 |
3400-3600 | 25 | 57 |
3600-3800 | 68 | 125 |
3800-4000 | 29 | 154 |
Итого | 154 | - |
Для интервального вариационного ряда медиана рассчитывается по формуле:
где медианный интервал это интервал, кумулятивная (накопленная) частота которого равна или превышает половину суммы частот, в нашем примере это 3600-3800.
- минимальная граница медианного интервала (3600);
- величина медианного интервала (200);
- сумма частот ряда (154);
- сумма накопленных частот, всех интервалов, предшествующих медианному (57);
– частота медианного интервала (125).
Пример 5.3. По трем хозяйствам одного района имеются сведения о цене одного и того же продукта: I – 1,29 руб., II – 1,32 руб., III – 1,27 руб. Необходимо рассчитать среднюю цену.
Решение. Так как цена обратный показатель, характеризующий покупательную способность денежной единицы используем формулу среднюю гармоническую простую.
Пример 5.4. Имеются данные о выручке от проданных конфет разных наименований, и о цене каждого вида конфет (табл. 5.4).
Таблица 5.4
Наименование | Всего выручено | Цена |
I | 440000 | 24 |
II | 380000 | 19 |
III | 510000 | 21 |
Необходимо рассчитать среднюю цен.
Решение. Расчет средней цены по средней арифметической невозможен, так как отсутствуют сведения о проданных конфет , поэтому используем формулу средней гармонической взвешенной:
Пример 5.5. Имеются данные о средней прибыли на отдельных торговых точках и профессиональном разряде продавцов (табл. 5.5)
Таблица 5.5
Разряд | Средняя прибыль тыс.руб. | Число точек. |
| Разряд | Средняя прибыль тыс.руб. | Число точек. |
I | 60 | 5 | I | 65 | 3 | |
I | 68 | 7 | I | 68 | 4 | |
II | 67 | 4 | II | 74 | 5 | |
II | 75 | 3 | II | 67 | 4 | |
II | 71 | 5 | II | 72 | 3 | |
I | 70 | 5 | II | 69 | 4 |
1. Рассчитаем общую дисперсию выборки (табл. 5.6):
Таблица 5.6
№ | Средняя прибыль тыс.руб. | Число точек. | |||
1 | 60 | 5 | -8,67 | 75,17 | 375,84 |
2 | 68 | 7 | -0,67 | 0,45 | 3,14 |
3 | 67 | 4 | -1,67 | 2,79 | 11,16 |
4 | 75 | 3 | 6,33 | 40,07 | 120,21 |
5 | 71 | 5 | 2,33 | 5,43 | 27,14 |
6 | 70 | 5 | 1,33 | 1,77 | 8,84 |
7 | 65 | 3 | -3,67 | 13,47 | 40,41 |
8 | 68 | 4 | -0,67 | 0,45 | 1,80 |
9 | 74 | 5 | 5,33 | 28,41 | 142,04 |
10 | 67 | 4 | -1,67 | 2,79 | 11,16 |
11 | 72 | 3 | 3,33 | 11,09 | 33,27 |
12 | 69 | 4 | 0,33 | 0,11 | 0,44 |
Итого |
| 52 |
|
| 775,44 |
Среднее | 68,67 |
|
|
2. Рассчитаем дисперсию для каждой группы:
а) Группа с разрядом – I (табл. 5.7)
Таблица 5.7
№ | Средняя прибыль тыс.руб. | Число точек. | |||
1 | 60 | 5 | -6,38 | 40,70 | 203,52 |
2 | 68 | 7 | 1,62 | 2,62 | 18,37 |
3 | 70 | 5 | 3,62 | 13,10 | 65,52 |
4 | 65 | 3 | -1,38 | 1,90 | 5,71 |
5 | 68 | 4 | 1,62 | 2,62 | 10,50 |
Итого |
| 24 |
|
| 303,63 |
Среднее | 66,38 |
|
|
б) Группа с разрядом равным II (табл. 5.8)
Таблица 5.8
№ | Средняя прибыль тыс.руб. | Число точек. | |||
1 | 67 | 4 | -3,64 | 13,25 | 53,00 |
2 | 75 | 3 | 4,36 | 19,01 | 57,03 |
3 | 71 | 5 | 0,36 | 0,13 | 0,65 |
4 | 74 | 5 | 3,36 | 11,29 | 56,45 |
5 | 67 | 4 | -3,64 | 13,25 | 53,00 |
6 | 72 | 3 | 1,36 | 1,85 | 5,55 |
7 | 69 | 4 | -1,64 | 2,69 | 10,76 |
Итого |
| 28 |
|
| 236,43 |
Среднее | 70,64 |
|
|
3. Рассчитаем среднюю внутригрупповую дисперсию:
.
Проверим через правило сложения дисперсий:
4. Найдем межгрупповую дисперсию.
5. Рассчитаем корреляционное отношение:
.
То есть, фактор, положенный в основу группировки (разряд) оказывает среднее влияние на результат (среднюю прибыль).
6. Рассчитаем коэффициент детерминации
То есть вариация результативного признака на 44% обусловлена влиянием фактора – разряд продавца.