Квазиоптимальные методы комплексной классификации сигналов в процессах контроля
Лекции.Орг

Поиск:


Квазиоптимальные методы комплексной классификации сигналов в процессах контроля




 

Алгоритмы, основанные на использовании сравнения отношения правдоподобия с пороговым значением, являются сложными и трудно реализуемыми.

Особенно затруднена в этом случае оценка качества процесса контроля, поскольку правило решения основано на сравнении сложной гипотезы со сложной альтернативой.

    В связи с этим более широкое применение находят квазиоптимальные методы контроля, которые давно используются на практике.

Рассмотрим следующую постановку задачу. Пусть модель измерения определяется следующим соотношением (46).

    Будем предполагать, что по результатам измерения Y получена оптимальная оценка -m-мерного вектора состояния X по критерию среднего квадрата ошибки оценки , где ошибка оценки . Рассмотрим двуальтернативный случай решения о состоянии объекта контроля. Пусть g0 и g1- соответственно непересекающиеся области допустимых и недопустимых значений вектора XÎW, W-m мерное пространство значений вектора X, при этом выполняются следующие условия: , . Идеальное решение о работоспособности объекта контроля zT=0 соответствует нахождению вектора XÎg0 в поле допуска, идеальное решение о неработоспособности объекта контроля zT=1 соответствует нахождению вектора XÎg1 вне поля допуска. Будем предполагать, что область допустимых значений g0 известна и представляет собой, как обычно бывает на практике, m-мерный параллелепипед с гранями, параллельными осям координат пространства W. Реальное решение о работоспособности объекта контроля z=0 соответствует нахождению вектора оценки ÎG0 в контрольном поле допуска G0, реальное решение о неработоспособности объекта контроля z=1 соответствует нахождению вектора оценки  вне контрольного поля допуска G1, при этом выполняются следующие условия: , , , где W m-мерная область возможных значений X и . При этом форму и параметры допустимой области G0 требуется определить. Для упрощения алгоритма контроля будем использовать квазиоптимальный метод принятия решений, который заключается в сравнении компонент вектора оценки  с допустимыми границами. В качестве формы допустимой области G0 целесообразно использовать такую же форму как у области допустимых значений вектора X g0, т.е. m-мерный параллелепипед c гранями параллельными осям координат пространства W. Таким образом, задача состоит в том, чтобы определить размеры параллелепипеда оптимальным способом . В качестве критерия оптимальности будем использовать критерии В.А. Котельникова и Неймана-Пирсона.      

    Запишем выражения для вероятностей ошибок двуальтернативного контроля.

Риск изготовителя, определяемый безусловной вероятностью появления в процессе контроля только ложных отказов

,

где  - достоверность канала «годен»,определяемая совместной вероятностью нахождения вектора состояния объекта в поле допуска g0 и принятия решения системой контроля о том, что проверяемый объект работоспособен,  - априорная вероятность попадания вектора X в область допустимых значений.

Риск заказчика, определяемый безусловной вероятностью появления в процессе контроля только необнаруженных отказов,

,

где  - вероятность попадания вектора оценки состояния  в область допустимых значений для оценки G0.

Достоверность D1 канала “негоден”, определяемая совместной вероятностью нахождения вектора состояния контроля в области недопустимых значений g1 и принятия решения системой контроля о том, что проверяемый объект неработоспособен

,

при этом выполняется условие нормировки

,

    Чаще всего в процессе контроля контролируемые параметры выбираются независимыми друг от друга, так как при этом наименьшим количеством параметров можно обеспечить заданную полноту контроля и поиск неисправности происходит быстрее. В этом случае априорную плотность вероятности вектора состояния можно представить в следующем виде:

,                                          (3.65)

где hi (xi-) плотность распределения i-го параметр вектора X.

Обычно при контроле выполняется условие, что погрешности измерения параметров также независимы друг от друга.

    В этом случае плотности распределения и также можно представить в виде произведений плотностей вероятности для отдельных компонент векторов параметров состояния Xi и оптимальных оценок , I=1,2,…,m

, .               (3.66)

    Будем считать, что эти условия выполняются. Тогда, можно записать следующие соотношения:

,                                                  (3.67)

,                                            (3.68)

 

 .                                            (3.69)

где               , ,

.

    Тогда выражения для рисков изготовителя и заказчика можно записать в следующем виде:

,                                    (3.70)

.                                  (3.71)

 

    Кроме этих формул на практике часто используют следующие формулы:

,                               (3.72)

,                               (3.73)

где  - безусловная вероятность появления хотя бы одного риска изготовителя;  - безусловная вероятность появления хотя бы одного риска изготовителя по одному из параметров.

    При использовании указанных соотношений не выполняется условие нормировки        

 для ,

При  формулы, полученные выше для  и  и для  и  совпадают.

Задача оптимизации принимаемых решений в процессе контроля может быть определена следующим образом.

 Необходимо определить оптимальные параметры допустимой области  вектора  по критериям Котельникова и Неймана-Пирсона, предполагая, что она принадлежит классу m-мерных параллелепипедов. При использовании области допустимых значений G0 в виде параллелепипеда обеспечивается независимость значений поля допуска для i-го параметра от значений j-го параметра, i,j=1,…,m, что значительно упрощает алгоритм контроля. Будем считать, что значение контрольного поля допуска G0i для i-го параметра определяется соотношением

G0i= AВi-ei -Aнi+ei =g0i+2ei, i=1,…,m,                  (3.74)

где поле контролируемое поле допуска g0i=AВi-Aнi, AВi, Aнi –соответственно верхнее и нижнее допустимые значения для i-го параметра, 2ei-неизвестное отклонение для i-го параметра контрольного поля допуска по отношению к контролируемому, при изменении которого определяется оптимальная область допустимых значений вектора  .

,

где -m-мерная область оптимальных изменений области контрольных допусков по отношению к области g0.

Задачу оптимизации по критерию Котельникова математически можно сформулировать следующим образом:

.                        (3.75)

    По критерию Котельникова параметры области G0 выбираем таким образом, при которых обеспечивается минимальное значение суммы безусловных вероятностей ошибок.

    Задача оптимизации по критерию Неймана-Пирсона (прямой) определяется следующим соотношением:

                                  (3.76)

Параметры области G0 выбираем таким образом, при которых обеспечивается минимальное значение риска изготовителя и при этом риск заказчика равен требуемой величине.

    Задача оптимизации по инверсному критерию Неймана-Пирсона математически записывается следующим образом:

                                          (77)

Таким образом, задача оптимизации сводится к нахождению значений , i=1,…,m, обеспечивающих единственный экстремум (безусловный или условный минимум). Наличие одного экстремума по переменным  объясняется монотонностью изменения значений  и  при изменении ,i=1,…,m

    На рисунках (3.4) и (3.5) представлены зависимости рисков изготовителя , заказчика и суммы ошибок  от изменения .

При изменении ei от -¥ до (AВi-AНi)/2 значения риска изготовителя ai изменяется от 0 до значения вероятности нахождения i-го параметра Xi в поле допуска g0i P0i .

Рис.3.4 График зависимости риска изготовителя aI от изменения значений ei 

 При изменении ei от -¥ до (AВi-AНi)/2 значения риска заказчика bi изменяется от значения вероятности нахождения i-го параметра Xi вне поля допуска g1i P1i=1- P0i  до 0..

 

        

Рис.3.5 График зависимости изменения риска заказчика bI и суммы ошибок ai +bI от изменения значений e

На рисунке 3.5 видно наличие минимума у зависимости суммы рисков изготовителя и заказчика от изменения значения ei.

С учётом соотношений (67)¸(69) ) после простых преобразований решение задачи оптимизации алгоритма контроля по критерию Котельникова определяется следующими соотношениями:

, , .       (3.78)

Решение системы уравнений позволяет найти оптимальные значения  и затем оптимальную допустимую область G0· вектора контролируемых параметров

По критерию Неймана-Пирсона оптимальные значения  определяются следующими соотношениями:

 , .                (3.79)

Если справедливы следующие условия, которые на практике чаще всего выполняются,

,         ,   ,    ,           (3.80)

то уравнения для определения оптимальных значений  могут быть записаны в следующем виде:

    по критерию Котельникова:

,                       (3.81)

    по критерию Неймана-Пирсона:

.                          (3.82)

Решая уравнения (77), (79) находим оптимальное значение , которое обычно нормировано стандартным значением погрешности измерения , i=1,…,m:

,                                               (3.83)

где , i=1,…,m абсолютные значения одностороннего изменения i-го контрольного поля допуска G0i относительно контролируемого g0i .

 

Пусть выполняются условия (3.78). В этом случае характер изменения рисков изготовителя a и заказчика b от изменения числа параметров представлены на рисунках (3.6) и (3.7). На рисунке (3.6) представлены зависимости изменений вероятностей появления только рисков изготовителей a и только рисков заказчика b от количества контролируемых параметров, т.е.

 

Рис.3.6 График зависимостей рисков изготовителя и заказчика процесса контроля от изменения числа параметров состояния m

На рисунке (3.7) представлены зависимости изменений вероятностей появления хотя бы одного риска изготовителя a/ и хотя бы одного риска риска заказчика b/, определяемых в соответствии с соотношениями (3.72) и (73) от количества контролируемых параметров, т.е.

,

,

      

Рис. 3.7 График зависимостей появления хотя бы одного риска изготовителя и хотя бы одного риска заказчика при контроле объекта от

числа параметров состояния m

 

Как видно из рисунка (3.6) зависимости a и b от изменения числа контролируемых параметров имеют максимумы, которым соответствуют следующие значения контролируемых параметров:

 

 

4. ТЕХНИЧЕСКАЯ ДИАГНОСТИКА





Дата добавления: 2018-10-18; просмотров: 72 | Нарушение авторских прав | Изречения для студентов


Читайте также:

Рекомендуемый контект:


Поиск на сайте:



© 2015-2020 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.011 с.