Метод основывается на приведении исходного уравнения к форме

Это преобразованиеможет быть выполнено многими способами. Например, уравнение

может быть преобразовано как

или .

Далее процесс уточнения корня строится по итерационной схеме

…………

……………

где x ₀ – начальное приближенное значение корня на отрезке [ a, b ].

Если последовательностьзначений x _k (k = 0, 1, 2,...) имеет конечный предел, то итерационный процесс сходится к точному значению корня x _тза бесконечно большое число шагов. Абсолютная и относительная погрешности найденного значения корня на k -ом шаге (x_k) могут быть получены из выражений

, ,

где

, , .

Первое из этих выражений может иметь другие формы записи

, .

Приведённые формулы для вычисления погрешностей требуют решения дополнительной задачи поиска максимума модуля первой производной функции φ (x) на отрезке локализации корня [ a, b ]. Поэтому на практике итерации завершают при выполнении одного из условий:

или ,

где δ _абс и δ _отн – задаваемые абсолютная и относительная разницы между соседними значениями приближения корня, соответственно. В этом случае надо помнить, что истинная погрешность определения корня может заметно отличаться от δ _абс или δ _отн. Поэтому после завершения поиска корня необходимо вычислить истинное значение погрешности решения по приведённым формулам для ε _абс или ε _отн.

Может случиться так, что последовательность приближённых значений x _k (k = 0, 1, 2,...) корня x _т не имеет предела. В этом случае метод расходится, и описанная итерационная схема не может быть применена для решения уравнения. Анализ выражения для ε _абс позволяет сформулировать условие сходимости итераций. Очевидно, для того, чтобы погрешность ε _абс при стремлении k к бесконечности стремилась к нулю и итерации сходились к точному решению, надо обеспечить выполнение следующего неравенства

которое на практике обычно заменяется на упрощённое

Рис.2. Рис.3.

Процесс уточнения корня уравнения методом простых итераций может быть проиллюстрирован графически.

Как видно на рис.2, для выбранной на отрезке [ a, b ] начальной точки x ₀ вычисляется значение функции j (x ₀). Абсцисса этой точки с помощью графика функции y = x преобразуетсявновое приближение переменной x ₁. Далее процесс повторяется, и находятся значения x ₂, x ₃,..., x _k,... до тех пор, пока не будет выполнено условие завершения итерационного процесса. В данном случае итерационный процесс сходится. На рис.3 показана ситуация, когда метод итераций расходится. Каждое новое значение x _k отстоит всё дальше от точного решения уравнения x _ти заданная погрешность вычисления недостижима. Такая ситуация характерна для неудачного преобразования уравнения f (x) = 0 к уравнению x = j (x).

Исходя из этого, можно указать способ преобразования исходного уравнения f (x) = 0 к форме, обеспечивающей сходимость итераций. Он основан на том, что исходное уравнениеравносильно уравнению x = x + λ f (x), где λ – отличная от нуля произвольная постоянная, которая выбирается из приближённого условия сходимости итераций , считая j (x) = x + λ f (x).

Рассмотрим работу метода на примере поиска приближённого значения корня уравнения

x ³ – 7.3 x ² + 16.8 x – 12.2 = 0,

лежащего на отрезке [1, 2] и оценки погрешности его определения.

На первом этапе необходимо построить график левой части уравнения, для чего вычисляются её значения в трёх базовых точках

f (1.0) = 1.0³– 7.3·1.0²+ 16.8·1.0 – 12.2 = – 1.70,

f (1.5) = 1.5³– 7.3·1.5²+ 16.8·1.5 – 12.2 = – 0.05,

f (2.0) = 2.0³– 7.3·2.0²+ 16.8·2.0 – 12.2 = 0.20.

Как видно из рис.4, в качестве начального приближения корня рассматриваемого уравнения следует взять x ₀= 1.5. Следуя алгоритму метода итераций, требуется преобразовать исходное уравнение к виду