Формула средних прямоугольников

МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ

 (НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

Кафедра №603

 «Прочность авиационных и ракетно-космических конструкций»

 

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Методическое пособие

 

 

МОСКВА – 2013

 

Методическое пособие содержит введение, в котором приведены требования к выполнению лабораторных заданий, сами задания и методические указания по их выполнению для семи лабораторных работ.

Лабораторные работы ориентированы на изучение основ вычислительной математики и получение навыков в решении задач на ПЭВМ. В них представлены наиболее распространенные методы вычисления определенных интегралов, решения нелинейных уравнений, систем линейных алгебраических уравнений, методы интерполяции и аппроксимации таблично заданных функций, а также методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем. В качестве базового алгоритмического языка программирования принят Compaq Visual Fortran 6.6.

 

 

ВВЕДЕНИЕ

Создание новых и модернизация существующих технических, технологических, экономических и прочих объектов невозможно без детального исследования их поведения в реальных условиях. Существуют два подхода к такому исследованию. Первый из них заключается в создании реального образца объекта с последующим его экспериментальным изучением. Второй обычно применяют там, где нельзя провести весь комплекс исследований на самом объекте вследствие сложности его изготовления, выполнения требуемых измерений или значительных затрат на постановку необходимых экспериментов. Он состоит в применении специальных приёмов, называемых методами моделирования.

Методы моделирования основаны на понятии подобия различных объектов. При этом подобными называют объекты, параметры которых, определяющие их состояние, отличаются от исходных в заранее известное число раз, называемое масштабом подобия. Один из двух объектов, между которыми существует подобие, можно назвать объектом моделирования, а другой – его моделью. Подобие объектов может использоваться как при физическом, так и при математическом моделировании.

Физическое моделирование заключается в постановке экспериментов, как правило, с уменьшенной моделью объекта, несущей в себе все его исследуемые особенности. При этом круг исследований и их сложность не изменяются, как если бы все исследования проводились на самом объекте. Математическое моделирование основано на том, что реальные процессы, протекающие в объекте моделирования и характеризующие его свойства, могут быть описаны определенными математическими соотношениями. Совокупность математических соотношений, позволяющих описать исследуемые свойства объекта, называют его математической моделью.

Построение математической модели начинают с формализованного описания объекта, в которое включают процессы, наиболее существенные для задачи моделирования. Каждый из выбранных процессов описывается в форме тех или иных уравнений, что позволяет при последующем объединении этих уравнений в систему относительно общих параметров получить математическую модель исследуемого объекта.

Такая математическая модель сама по себе ещё не дает возможности судить о поведении объекта моделирования. Исследование моделирующей системы математических уравнений позволяет сделать лишь ряд качественных выводов о поведении объекта, исходя из их общего вида, да и то лишь в относительно простых случаях. Поэтому для изучения свойств объекта по его математическому описанию нужно решить систему уравнений, составляющую это описание, и получить результаты, аналогичные измерениям на физической модели. Другими словами, необходим алгоритм решения системы уравнений математической модели, который позволит осуществить собственно процесс моделирования.

Математическое описание реальных объектов представляет собой достаточно сложные системы уравнений. Поэтому математическое моделирование практически возможно только при использовании вычислительных машин.

Данное методическое пособие по выполнению лабораторных работ предназначено для изучения численных методов, используемых для разрешения систем уравнений, составляющих математическую модель исследуемого объекта, и получение навыков их применения при решении инженерных задач.

 

Порядок выполнения и оформления лабораторных работ

Студент, выполняющий лабораторную работу должен:

- используя конспект лекций и рекомендованную литературу, изучить рассматриваемые в работе методы;

- в соответствии со своим вариантом найти и переписать в отчёт задание;

- произвести необходимые для выполнения задания аналитические преобразования и отразить их в отчёте;

- составить программу решения математической задачи и записать её в отчёт вместе со всеми используемыми файлами;

- ввести программу в компьютер, отладить её и произвести необходимые вычисления;

- проанализировать полученные результаты, построить графики (если требуется) и занести их в отчёт;

- оформив отчёт, защитить данную работу.

Глава 1. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

 

При решении инженерных задач возникают ситуации, когда аналитическое вычисление определенного интеграла затруднено или невозможно. В подобных ситуациях решение может быть получено одним из методов приближённого вычисления значения определённого интеграла.

Все методы приближённого вычисления определённых интегралов основаны на геометрическом смысле интеграла Ньютона-Лейбница. Он заключается в том, что определённый интеграл

численно равен площади S криволинейной трапеции, ограничен­ной графиком подынтегральной функции f (x) и осью абсцисс на отрезке [ a, b ] (см. рис.1).

Поэтому для приближённого вычисления определённого интеграла доста­точно подсчитать пло­щадь трапеции S. Можно указать множество способов её вычисления. Простейшие из них – формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона.

Формула средних прямоугольников

Рис.2.

В формуле средних прямоуголь­­ников криволинейная трапеция представляется набором прямоугольников (см. рис.2). В этом случае площадь криволинейной трапеции представляется в виде суммы площадей этих прямоугольников, а интеграл I приближенно вычисляется по формуле

или в развернутом виде

,

где  – абсцисса центральной точки i -го участка разбиения [ a, b ], h = (b – a)/ n – шаг равномерного разбиения отрезка, n – количество участков разбиения.

Формула трапеций

Аналогично вычисляется определенный интеграл по формуле трапеций, где площадь криволинейной трапеции S заменяется суммой площадей элементарных трапеций (см. рис.3). Такой подход приводит к вычислению определенного интеграла I по формуле

или, раскрывая сумму

Формула Симпсона (J.Gregory(Грегори) 1668, Th.Simpson 1743)

В формуле Симпсона площадь криволинейной трапеции рассчитывается как сумма площадей ряда криволинейных трапеций, у которых криволинейная сторона представляет собой участок параболы, проходящей через три соседние точки на графике подынтегральной функции. Это можно видеть на рис.4. Поэтому число участков разбиения отрезка [ a, b ] в отличие от предыдущих способов обязательно должно быть чётным. Исходя из этого, значение определенного интеграла приближенно вычисляется по формуле

.

Оценка погрешностей численных способов интегрирования

Точность вычисления любой величины определяется погрешностью, которая может быть представлена в абсолютной или относительной форме. Абсолютная погрешность величины есть модуль разности между её точным и приближённым значениями. Например, между точным значением определённого интеграла и его значением, полученным выбранным численным способом при конкретном количестве участков разбиения отрезка [ a, b ]

.

Относительная погрешность является более информативным параметром точности вычисления искомой величины. Она оценивает ошибку решения в долях точного (или лучшего из имеющихся) значения этой величины и вычисляется как модуль отношения разницы между точным и вычисленным значениями величины к её точному значению

.

Анализ формул численного интегрирования непрерывно диф­­ференциру­емых на отрезке [ a, b ] подынтегральных функций f (x) позволяет получить следующие оценки абсолютных погрешностей вычисления интегралов:

- для формулы средних прямоугольников ;

- для формулы трапеций ;

- для формулы Симпсона .

На практике, такое вычисление погрешностей при интегрировании затруднено, так как требует решения дополнительной, зачастую даже более сложной, задачи поиска максимума высших производных подынтегральной функции. Поэтому чаще для вычисления погрешности методов используют апостериорные оценки, базирующиеся на правиле Рунге (правило двойного счёта). В основу этого подхода к оценке погрешности методов интегрирования положено утверждение, заключающееся в том, что все формулы для погрешностей имеют одну и ту же структуру

,

где коэффициент C_m включает в себя длину участка интегрирования, максимум модуля производной и соответствующий коэффициент, а степень m определяется видом используемой формулы численного интегрирования (m = 2 для формул средних прямоугольников и трапеций и m = 4 для формулы Симпсона). Использование этой зависимости при уменьшении шага интегрирования вдвое позволяет записать погрешность вычисления интеграла в виде

.

Сравнение последних двух формул даёт основное соотношение правила Рунге, справедливое для всех способов приближённого вычисления интеграла

,

где S (h /2) и S (h) – приближённые значения интеграла, вычисленные при шагах разбиения отрезка [ a, b ], отличающихся друг от друга в два раза. Исходя из этого, для оценки погрешности вычисленного значения интеграла с выбранным шагом надо повторить вычисления, удвоив величину шага, и воспользоваться приведённым выше соотношением.

Например, если требуется вычислить интеграл

с относительной погрешностью, не превышающей 0.5%, то для выполнения задания можно воспользоваться формулой средних прямоугольников, выбрав в качестве первоначального значения шага интегрирования h = 0.5, т.е. разбив отрезок [0, 1] на два участка с граничными точками 0, 0.5 и 1.0. Тогда приближённое значение интеграла будет

.

При уменьшении шага интегрирования вдвое (h = 0.25), т.е. при разбиении отрезка интегрирования на 4 участка, значение интеграла будет равно

.

Таким образом, абсолютная и относительная погрешности вычисления последнего значения интеграла могут быть вычислены по правилу Рунге

,

.

В связи с тем, что требуемая точность вычисления интеграла не достигнута, решение продолжается: шаг интегрирования уменьшается ещё в два раза (h = 0.125). В этом случае значение интеграла будет равно 0.6141, а его абсолютная и относительная погрешности составят 0.0046 и 0.75%, соответственно. Видно, что требуемая точность опять не достигнута, поэтому шаг интегрирования уменьшается ещё в два раза (h = 0.0625) и вычисления повторяются. С таким шагом значение интеграла получается равным 0.6152, его абсолютная погрешность – 0.0011, а относительная – 0.18%. Таким образом, при шаге интегрирования h = 0.0625 решение задачи, равное 0.6152, получено с заданной погрешностью.

Если постановка задачи требует получение результатов с меньшей погрешностью, чем была получена ранее, то очевидным действием является дальнейшее уменьшение величины шага разбиения отрезка [ a, b ]. Однако этот процесс нельзя продолжать бесконечно. Он ограничивается точностью представления данных на ЭВМ: существует некоторое минимальное значение шага разбиения отрезка [ a, b ], дальнейшее уменьшение которого вызовет рост погрешности вычисления интеграла.

Программное обеспечение. При кажущейся простоте формул приближённого вычисления определённого интеграла, расчёты по ним часто связаны с большим объёмом вычислений, требующим применение ЭВМ. В связи с этим фирмы-разработчики трансляторов языков программирования включают в их состав специализированные библиотеки математических модулей, реализующих часто используемые численные методы. Примером такой библиотеки является математическая библиотека IMSL [6-8], в состав которой входит модуль, реализующий метод Гаусса-Кронрода для вычисления значения определённого интеграла с заданной погрешностью и оформленный в виде подпрограммы

Subroutine Qdags(Fun,a,b,errAbs,errRel,result,errEst).

В подпрограмме используются следующие формальные параметры:

Fun - имя внешней подпрограммы-функции, в которой вычисляется подынтегральное выражение (Real*4);

a, b - нижняя и верхняя границы интегрирования (Real*4);

errAbs - желаемая абсолютная погрешность (Real*4);

errRel - желаемая относительная погрешность (Real*4);

result - значение интеграла (Real*4);

errEst - вычисленная оценка величины абсолютной погрешности численного интегрирования (Real*4).

Подпрограмма также позволяет вычислять интеграл функции, имеющей особенности в конечных точках интервала. Для аргументов двойной точности (Real*8) используется аналогичная подпрограмма с именем DQdags.

В качестве исходного материала для выполнения заданий лабораторной работы предложены относительно простые тексты программ, реализующих следующие методы:

- формула средних прямоугольников

Subroutine Priam(a,b,n,Fun,s);

- формула трапеций Subroutine Trap(a,b,n,Fun,s);

- формула Симпсона Subroutine Simps(a,b,n,Fun,s).

В качестве формальных параметров в приведённых подпрограммах используются:

a, b - нижняя и верхняя границы интегрирования (Real*4);

n - число участков разбиения отрезка [ a, b ] (Integer*4);

Fun - имя внешней подпрограммы-функции, в которой вычисляется подынтегральное выражение (Real*4);

s - значение интеграла (Real*4).

Подпрограмма Fun оформляется в виде

Function Fun(x)

Fun =..........

Return

End

Пример выполнения задания. Вычислить интеграл

с относительной погрешностьюне превышающей 0.001.

Решение. Для вычисления интеграла можно применить подпрограмму Trap, реализующую формулу трапеций, c предварительным выбором числа разбиений отрезка интегрирования на восемь частей:

123456789....

Real*4 I

  External F

  Open(1, File='res_1.txt')

  pi=3.1416

  n=8

  Call Trap(0.,pi/2.,n,F,I)

  Write(1, 10) I,n

 10 Format(' Результат -',F10.6,' при n=',I2)

  Close(1)

End

! *** Подпрограмма расчета подынтегральной функции ***

Function F(x)

   F=4*Sqrt(100*Sin(x)**2+81*Cos(x)**2)

  Return

End

Программа вводится в память ЭВМ, отлаживается и выполняется. Полученный  результат при  n = 8, который сохраняется в файле res_1.txt, приведён ниже

Результат - 59.731743 при n= 8

Варьируя количеством участков разбиения n,следует, пользуясь правилом Рунге, добиться необходимой точности вычисления интеграла.

Глава 2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

 

Как известно, далеко не всякое алгебраическое уравнение  может быть решено аналитически. Это относится к большинству трансцендентных уравнений и к алгебраическим уравнениям выше четвёртого порядка. Однако точное решение уравнений на практике часто и не требуется. Чтобы считать задачу решённой, достаточно бывает отыскать значения корней с требуемой степенью точности. Для получения таких решений разработаны численные методы.

Решение нелинейных уравнений осу­­­ществляется в два этапа. На первом этапе производится отделение корней, то есть поиск достаточно малых отрезков локализации, каждый из которых содержит только один корень урав­нения. При этом желательно, что­бы на каждом из них функция f (x) была монотонна вместе со своей первой и второй производными. Для этого используется график функции y = f (x), точки пересечения которого с осью абсцисс являются корнями исходного уравнения. Случай, когда корнем уравнения является точка касания графика и оси абсцисс, здесь не рассматривается. Всё это позволяет выделить отрезки [ a, b ], содержащие только один корень (см. рис 1). При этом для непрерывной функции f (x) будет выполняться неравенство f (a) f (b) < 0.

На втором этапе внутри выделенных отрезков вычисляются значения каждого из корней уравнения с заданной точностью. Для этого используются два основных итерационных подхода: последовательное уточнение первоначального приближения значения корня, взятого из выделенного отрезка, и сужение выделенного отрезка, содержащего корень.

Методы последовательного уточнения начального приближенного значения корня. К этим методам относятся метод простых итераций, метод Ньютона и ряд других. Ониобладают высокойэффективностью, но их применение связано с рядом ограничений, накладываемых на свойства функции f (x).

Метод простых итераций