ТеоремаГаусса.Электрическоеполеплоскогоконденсатора

Потоквекторанапряженностиэлектрическогополя.Дляопределениянапряженностиэлектрическихполей,обладающихсимметрией,применяетсятеоремаГаусса.Переддоказательствомэтойтеоремыпознакомимсясвеличиной,котораяназываетсяпотокомвекторанапряженностиэлектрическогополя(N).Рас­смотримрис.1.6:воднородномэлектрическомполеперпендику­лярновекторунапряженностирасположенаплоскаяповерхностьS.ВданномслучаепроизведениеESисоставляетпотоквекторанапряженностичерезуказаннуюплощадь: S.

Еслиоднородноеэлектрическоеполеизобразитьсиловымилиниямииихплотность(числолинийнаединицуплощадиS)принятьравнойнапряженностиполя,тообщеечислолиний,про­низывающихплощадьS,будетвыражатьпотоквекторанапря­женностиN.

ЕсливекторнапряженностиоднородногополяЕнеперпенди­куляренплощадиS(рис.1.7),топотоквекторанапряженности —нормальнаясоставляющаянапряженностиэлектрическогополя.

Привычислениипотокавекторанапряженностичерезповерх­ностьплощадью внеоднородномполеэтуповерхностьследуетразбитьнамалыеэлементы (илиdS).Будемсчитать,чтовпределахкаждоготакогоэлементанапряженностьполяодина­кова.Тогдапотокчерезотдельныеэлементарныеплощади

Потоквекторанапряженностичерезвсюповерхность,нахо­дим,суммируя(интегрируя)элементарныепотоки: .

2.ТеоремаГаусса. Рассмотримрис.1.8.ВцентрешаровойповерхностирадиусомRнаходитсяточечноетелосположитель­нымзарядомQ.Электрическиесиловыелиниинаправленыотзарядаиперпендикулярнысферическойповерхности.Ввидусим­метриинапряженностьполявовсехточкахуказаннойповерхно­стиодинакова: .Учитывая,чтоповерхностьшара ,определимпотоквекторанапряженностиэлектрическо­гополячерезэтуповерхность:

(1.4)

Можнодоказать,чтовыражение(1.4)справедливодлязамк­нутойповерхностилюбойформыприлюбомколичествезаряжен­ныхтел,расположенныхвнутриэтойповерхности.В(1.4)вэтомслучаеследуетввестиалгебраическуюсуммузарядоввсехтел Равенство(1.4)ивыражаеттеоремуГаусса: потоквекторанапряженностиэлектрическогополя,пронизывающийзамкнутуюповерхностьлюбойформы,равеналгебраическойсум­мезарядов,находящихсявнутриуказаннойповерхности,делен­нойнаабсолютнуюдиэлектрическуюпроницаемостьсреды.

Электрическоеполезаряженнойпластины.Нарис.1.9по­казанаметаллическаяпластинаоченьбольшихразмеров,равно­мернозаряженнаяположительнымэлектричествомQ.ОтношениевеличинызарядаQкплощадипластиныSназываютповерхност­нойплотностьюзарядао,т.е.

ИзвсейплощадиSвыделимнекоторуюплощадкуS₁.Элект­рическийзаряднаней .Затемпостроимпараллелепипедтак,чтобызарядQ₁осталсявнутринего,аегогранибылипер­пендикулярныплощадиS.Таккакпластиназаряженаположи­тельнымэлектричеством,тоэлектрическиесиловыелиниина­правленывобестороныотплоскостииперпендикулярныей.Та­кимобразом,параллелепипедобразуетзамкнутуюповерхность,внутрикоторойнаходитсязарядQ₁.Причемэлектрическиесило­выелиниипронизываюттолькоторцевыечастипараллелепипеда.ЕслинапряженностьэлектрическогополяпластиныобозначитьЕ_пл,топотоквекторанапряженности,пронизывающийдветорце­выеповерхностипараллелепипеда .ЭтотжепотоквекторанапряженностиможноопределитьпотеоремеГаусса: Приравниваяправыечастиэтихравенств,получим Отсюданайдемнапряженностьэлект­рическогополяоднойзаряженнойметаллическойпластины:

4.Электрическоеполеплоскогоконденсатора. Плоскийкон­денсаторсостоитиздвухметаллическихпластинодинаковыхразмеров,разделенныхизоляционнымматериалом(рис.1.10).Расстояниемеждунимималопосравнениюсихлинейнымиразмерами.Каждаяизпластинконденсаторасоздаетсвоеэлект­рическоеполе.Электрическиесиловыелинииэлектрическогополяположительнозаряженнойпластинынаправленыотнееинари­сункепоказанысплошнымилиниями.Силовыелинииотрицатель­нозаряженнойпластинынаправленыкней.Нарисункеонипоказаныпунктирнымилиниями.Легкозаметить,чтомеждупластинамисплошныеипунктирныелиниинаправленыодинако­во,азапределамипластины—вразныестороны.Поэтомувнепластиныполяположительнойиотрицательнойпластинвзаимноскомпенсированы,т.е.результирующаянапряженностьполярав­нанулю(E=0).Междупластинамизаря­женногоплоскогоконденсаторасоздаетсяоднородноеэлектрическоеполе,напряженностькотороговдваразабольшенапряженностиоднойпластины,т.е.

Напряженностьэлектрическогополяплоскогоконденсатораравнаповерхностной—плотностизаряда,деленнойнаабсолютнуюдиэлектрическуюпроницаемостьегодиэлектрика.Всреднейчастипластинконденсаторасиловыелиниипараллельныирасположенысодинаковойплотностью.Такоеполеназываютоднородным.Вблизикраевпластинсиловыелинииискривляютсяиполебудетнеоднородным.