Пример – дифференцирующая цепочка

 

На рис. 2.11 показана так называемая дифференцирующая цепочка. Рассчитаем коэффициент передачи этой простейшей RC -цепочки:

                                                                                                                                        (2.16)

 

Напряжение на конденсаторе Ũ _C пропорционально току. Коэффициент

пропорциональности                            – это аналог сопротивления для переменного тока. Его

называют импеданс.

 

 

 

Рис. 2.11.

Дифференцирующая цепочка и её

частотная и фазовая характеристики.

 

 

Коэффициент передачи:

                                                                                                                                          

 

                                  (2.17)

 

                                 (2.18)

 

Известно, что при делении комплексных чисел модули делят, а фазы вычитают.

 

 

 

 

Рис. 2.12.

Входное напряжение U_BX и выходные напряжения на дифференцирующей цепочке, (рис. 2.11), при различных значениях постоянной времени цепочки. τ = RC.

При ωτ = 1 модуль коэффициента передачи равен 0.7, и выходное напряжение отстаёт по фазе от входного на π /4.

При ωτ >> 1 выходное напряжение почти совпадает со входным.

При ωτ << 1 выходное напряжение меньше входного и отстаёт по фазе почти на π /2.

 

Для той же дифференцирующей RC -цепочки, изображённой на рис. 2.11, мы можем рассчитать переходную характеристику, решая дифференциальное уравнение:

 

                                                                                                                       Q – заряд конденсатора.

 

                напряжение                                                                                           
            на сопротивлении          на конденсаторе                                                    

 

Получилось уравнение вида  

 

 

Чтобы вычислить переходную характеристику h(t) из этого дифференциального уравнения, подадим на вход дифференцирующей цепочки ступеньку.

Если U_ВХ (t) = U₀ H(t), то получится уравнение                            .

Или

Из Бронштейна и Семендяева:                                                           

 

 

 

При t = 0, Q = 0, C₂ = – U₀ C.

 

(2.20)

 

 

                                                                                                                                          (2.21)

 

Здесь множитель H(t) введён, чтобы учесть отсутствие сигнала для отрицательных времён:   h (t < 0) = 0 (принцип причинности).

 

 

Рис. 2.13.

Переходная функция или переходная характеристика дифференцирующих цепочек с разными постоянными времени. При t = τ = RC экспонента уменьшается в е = 2,718281828 раз.

 

 

Дифференцирующие цепочки – почему их так называют

 

Сначала определим как "идеально дифференцирующую" такую цепочку, выходной сигнал которой есть производная от входного. Это означает выполнение условия:

                                           где а – постоянная.                                                           (2.22)

 

Зададимся вопросом: при каких условиях цепочка будет "идеально дифференцирующей"? Подадим на дифференцирующую цепочку (рис. 2.11) импульс напряжения длительностью   t₂.

Ток через сопротивление R будет                        Сумма напряжений на конденсаторе и на сопротивлении будет:

 

 

                                                                                Продифференцируем эту сумму по t:

 

Если постоянная времени цепочки большая                то

 

При таком условии выходное напряжение почти равно входному и цепочка передаёт сигнал с небольшими искажениями.

 

Если постоянная времени цепочки маленькая                    то

 

Выходное напряжение пропорционально производной от входного!

С некоторой погрешностью сигнал на выходе цепочки с небольшой постоянной времени будет продифференцирован.

 

А                             Б

Рис. 2.14.

Дифференцирующие

цепочки.

 

 

Надо сразу подчеркнуть, что "идеально дифференцирующую" цепочку нельзя собрать из   R,  C,  L элементов, это математическая абстракция. Но если идеал недостижим, то к нему можно приблизиться.