На рис. 2.11 показана так называемая дифференцирующая цепочка. Рассчитаем коэффициент передачи этой простейшей RC -цепочки:
(2.16)
Напряжение на конденсаторе Ũ C пропорционально току. Коэффициент
пропорциональности – это аналог сопротивления для переменного тока. Его
называют импеданс.
Рис. 2.11.
Дифференцирующая цепочка и её
частотная и фазовая характеристики.
Коэффициент передачи:
(2.17)
(2.18)
Известно, что при делении комплексных чисел модули делят, а фазы вычитают.
Рис. 2.12.
Входное напряжение UBX и выходные напряжения на дифференцирующей цепочке, (рис. 2.11), при различных значениях постоянной времени цепочки. τ = RC.
При ωτ = 1 модуль коэффициента передачи равен 0.7, и выходное напряжение отстаёт по фазе от входного на π /4.
При ωτ >> 1 выходное напряжение почти совпадает со входным.
При ωτ << 1 выходное напряжение меньше входного и отстаёт по фазе почти на π /2.
Для той же дифференцирующей RC -цепочки, изображённой на рис. 2.11, мы можем рассчитать переходную характеристику, решая дифференциальное уравнение:
Q – заряд конденсатора.
напряжение
на сопротивлении на конденсаторе
Получилось уравнение вида
Чтобы вычислить переходную характеристику h(t) из этого дифференциального уравнения, подадим на вход дифференцирующей цепочки ступеньку.
Если UВХ (t) = U0 H(t), то получится уравнение .
Или
Из Бронштейна и Семендяева:
При t = 0, Q = 0, C2 = – U0 C.
(2.20)
(2.21)
Здесь множитель H(t) введён, чтобы учесть отсутствие сигнала для отрицательных времён: h (t < 0) = 0 (принцип причинности).
Рис. 2.13.
Переходная функция или переходная характеристика дифференцирующих цепочек с разными постоянными времени. При t = τ = RC экспонента уменьшается в е = 2,718281828 раз.
Дифференцирующие цепочки – почему их так называют
Сначала определим как "идеально дифференцирующую" такую цепочку, выходной сигнал которой есть производная от входного. Это означает выполнение условия:
где а – постоянная. (2.22)
Зададимся вопросом: при каких условиях цепочка будет "идеально дифференцирующей"? Подадим на дифференцирующую цепочку (рис. 2.11) импульс напряжения длительностью t2.
 |
Ток через сопротивление R будет Сумма напряжений на конденсаторе и на сопротивлении будет:
Продифференцируем эту сумму по t:
Если постоянная времени цепочки большая то
При таком условии выходное напряжение почти равно входному и цепочка передаёт сигнал с небольшими искажениями.
Если постоянная времени цепочки маленькая то
Выходное напряжение пропорционально производной от входного!
С некоторой погрешностью сигнал на выходе цепочки с небольшой постоянной времени будет продифференцирован.
А Б
Рис. 2.14.
Дифференцирующие
цепочки.
Надо сразу подчеркнуть, что "идеально дифференцирующую" цепочку нельзя собрать из R, C, L элементов, это математическая абстракция. Но если идеал недостижим, то к нему можно приблизиться.
