Пусть в линейной цепи действуют гармонические источники напряжения U или тока I
на частоте ω.
Тогда установившиеся токи и напряжения будут иметь ту же частоту, но разные фазы. Для расчёта амплитуд и фаз установившихся колебаний применяется символический метод (метод комплексных амплитуд, Ch. P. Steinmetz).
Напомним некоторые формулы из теории комплексных чисел:
если
не определено, если
(формула Эйлера), Рис. 2.8.
Значок ~ над числом показывает, что число (или функция) – комплексные.
Метод комплексных амплитуд или символический метод позволяет представить любую колеблющуюся гармонически величину в виде квази-вектора, вращающегося с круговой частотой ω. Тогда любую функцию, зависящую от времени по гармоническому закону, можно представить как действительную часть комплексной экспоненты:
(2.9)
где – комплексная амплитуда, а φ - фаза.
Такие квази-векторы удобно применять для изображения гармонических переменных токов, однако они изображают только амплитуды (своей длиной) и проекции на оси. Направления в пространстве, (в отличие от настоящих векторов), они не указывают.
При такой записи операции дифференцирования и интегрирования (в смысле нахождения первообразной) сведутся к операциям умножения и деления:
(2.10)
Векторная диаграмма рис. 2.8 – мгновенная картина. При ω t = 0, 2 π и т.д. e iωt = 1. При такой временной зависимости картина будет вращатьсяпротив часовой стрелки с угловой скоростью ω. Это можно представить, если написать, что e iωt = 
,
и проследить, как будет меняться синус и косинус с увеличением времени.
Конечно, если зависимость от времени будет e – iωt, то вращение будет по часовой стрелке.
Это можно увидеть воочию при помощи программки на Матлабе.
(Кстати, написанное мелким шрифтом можно пропускать без ущерба для понимания).
clc; %чистит окно команд
FigureColor=[1,1,1]; hFigure=gcf; set(hFigure, 'Color', FigureColor) %удаляют рамку графика
title('exp(+ i \omega t)','FontSize', 28); %заголовок, omega – круговая частота.
tic;pause(2);toc; %время для прочтения заголовка
for t = 0:0.027:2*pi; axis([-1 1 -1 1]) %границы области графика
x=-sin(t); y=cos(t); h = plot(x,y,'k.'); hold on; pause(0.01)
end; pause(2)
clf; %чистит графическое окно
title({' '; 'exp(– i \omega t)'}, 'FontSize', 28); %заголовок, omega – круговая частота.
tic;pause(2);toc; %время для прочтения заголовка
for t = 0:0.028:2*pi; axis([-1 1 -1 1]) %границы области графика
x=sin(t); y=cos(t); h = plot(x,y,'ro'); hold on; pause(0.01)
end; pause(1); clf;
Если напряжения и токи в цепи зависят от времени не гармонически, то можно разложить их по гармоническим составляющим в ряд или интеграл Фурье:
. (2.11)
К этому методу мы ещё вернёмся (см. (3.20), (3.21)).
