Задания для отчета по лабораторной работе

1. Два маленьких шарика массой m = 10 г каждый скреплены тонким невесомым стержнем длиной   l = 20 см. Определить момент инерции  системы относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через центр масс.

2. Два шара массами m  и 2 m (m = 10 г) закреплены на тонком невесомом стержне длиной l  = 40 см так, как это указано на рис. 4. Определить момент инерции   системы относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец. Размерами шаров пренебречь.

3. Два шара массами 2 m и m (m = 20 г) закреплены на тонком невесомом стержне длиной l = 1 м так, как это показано на рис. 5 Определить момент инерции  системы относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец. Размерами шаров пренебречь.

 

 

 

 

              Рис. 4 (к задаче 2)                                                             Рис. 5 (к задаче 3)

 

4. Определить момент инерции трехатомной молекулы H₂O (рис. 6) относительно оси   y, проходящей через центр масс молекулы. Межъядерное расстояние AB обозначено   d = 0,097 нм, α = 104^о30' .

5. Определить момент инерции трехатомной молекулы SO₂ (рис. 6) относительно оси   x,  проходящей  через центр  масс  молекулы

(d = 0, 145 нм, α  =  124^о).

 

 

                                                    Рис. 6 (к задаче 6)

 

6. Определить момент инерции тонкого однородного стержня длиной   l = 30 см и массой m = 100 г относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через точку, отстоящую от конца стержня на 1/3 его длины. Определить момент инерции  тонкого однородного стержня длиной l  = 60 см и массой m = 100 г относительно оси, перпендикулярной ему и проходящей через  точку  стержня,  удаленную  на

a = 20 см от одного из его концов.

 

7. На концах тонкого однородного стержня длиной l и массой 3 m  прикреплены маленькие шарики массами m и 2 m. Определить момент инерции  такой системы относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через точку, лежащую на середине стержня (рис. 7).

 

                                     

                                                                  Рис. 7 (к задаче 7)

8. Вычислить момент инерции J проволочного прямоугольника со сторонами   a = 12 см и b = 16 см относительно оси, лежащей в плоскости прямоугольника и проходящей через середины малых сторон. Масса равномерно распределена по длине проволоки с линейной плотностью 0,1 кг/м.

9. Определить момент инерции  проволочного равностороннего треугольника со стороной a = 10 см относительно: оси, лежащей в плоскости треугольника и проходящей через его вершину и середину противоположной стороны.

10. Определить момент инерции  кольца массой   m = 50 г и радиусом R = 10 см относительно оси, касательной кольцу.

11. Диаметр диска   d = 20 см, масса m = 800 г. Определить момент инерции   диска относительно оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска.

12. Найти момент инерции  плоской однородной прямоугольной пластины массой m = 800 г относительно оси, совпадающей с одной из ее сторон, если длина a  другой стороны равна 40 см.

13. Определить момент инерции  тонкой плоской пластины со сторонами a = 10 см и b =20 см относительно оси, проходящей через центр масс пластины параллельно большей стороне. Масса пластины равномерно распределена по ее площади с поверхностной плотностью 1,2 кг/м².

14. В однородном диске массой m = 1 кг и радиусом R = 30 см вырезано круглое отверстие диаметром   d =20 см, центр которого находится на расстоянии   l = 15 см от оси диска (рис. 8). Найти момент инерции  полученного тела относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости диска  через его центр.

15. На однородный сплошной цилиндр массой M и радиуса R плотно намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массой m (рис.9). В момент времени t = 0 система пришла в движение. Пренебрегая трением в оси цилиндра, найти зависимость от времени модуля угловой скорости цилиндра.

 

 

 

                        Рис. 8 (к задаче 14)                                                 Рис. 9 (к задаче 15)

 

16. Через неподвижный блок массой m = 0,2 кг перекинут шнур, к концам которого подвесили грузы массами m ₁ = 0,3 кг и m ₂ = 0,5 кг. Определить силы T ₁ и T ₂ натяжения нити по обе стороны блока во время движения грузов, если масса блока равномерно распределена по ободу.

17. Через блок, имеющий форму диска, перекинут шнур. К концам шнура привязали грузы массой m ₁ = 100 г и m ₂ = 110 г. С каким ускорением будут двигаться грузы, если масса блока m = 400 г. Трение при вращении блока ничтожно мало.

18. Два тела массами m ₁ = 0,25 г и   m ₂ = 0,15 г связаны тонкой нитью, переброшенной через  блок (рис. 10). Блок укреплен на краю горизонтального стола,  по  поверхности  которого  скользит  тело массой m₁.

С каким ускорением движутся тела, и каковы силы T ₁ и T ₂ натяжения нити по обе стороны блока?  Коэффициент трения µ тела о поверхность стола равен 0,2. Масса m блока равна 0,1 г, и ее можно считать равномерно распределенной по ободу. Массой нити и трением в подшипниках оси блока пренебречь.

19. Однородный сплошной цилиндр массой m = 1 кг висит в горизонтальном положении на двух намотанных на него невесомых нитях (рис.11). Цилиндр отпускают без толчка. а) За сколько времени t  цилиндр опустится на расстояние y =50 см? б) Какое натяжение F испытывает при опускании цилиндра каждая из нитей?

 

 

                    Рис. 10 (к задаче 18)                           Рис. 11 (к задаче 19)

 

 

 

 

 

Лабораторная работа № 5

ФИЗИЧЕСКИЙ МАЯТНИК

 

Цель работы – изучение физического маятника, определение ускорения свободного падения.

Приборы и принадлежности: лабораторный модуль ЛКМ-3 со стойкой и блоком, стержень с отверстиями, измерительная система ИСМ-1 (секундомер), пластиковый фиксатор.

 

Краткая теория

 

       Физический маятник – твердое тело, которое может совершать колебания под действием силы тяжести относительно неподвижной оси  O(рис. 1).

 

 

                                                          

                                              Рис. 1. Физический маятник

 

Запишем основное уравнение динамики вращательного движения.

.

                    I β = М,                                                             (1)

где I – момент инерции маятника;  

– угловое ускорение,  φ – угол отклонения маятника от положения равновесия, М - сумма проекций моментов сил на направление оси вращения. Если момент сил трения много меньше момента силы тяжести, то

                  M = - mga ×sinj,,                                             (2)

где   т – масса маятника, g –- ускорение свободного падения, а –- расстояние от оси вращения до центра тяжести.

Уравнение движения (1) с учетом (2) примет вид

I j = - mga ×sinα

где  ω_о² = (mga)/ I,тогда получим уравнение:

 .                                   (3)

Уравнение (3) является линейным дифференциальным уравнением относительно функции φ(t).

Если амплитуда колебаний физического маятника не мала, дифференциальное уравнение (3) не будет линейным. Для больших углов отклонений маятника период Т начинает зависеть от амплитуды колебаний φ _{m .} Эту зависимость можно представить суммой бесконечного  ряда, первые слагаемые которого равны

 

.    (4)

При малых колебаниях угол φ мал, поэтому  sinφ ≈ φ и уравнение (3) становится дифференциальным уравнением гармонических колебаний

.                             (5)

Решение этого уравнения:

j = j _m cos(ω₀t + α),                        (6)

 

где α - начальная фаза колебаний, ω_о = 2π /Т - циклическая частота колебаний.

Запишем формулу периода малых колебаний, как

                      (7)

Получим зависимость периода малых колебаний от расстояния а. Момент инерции, согласно теореме Штейнера, равен

 

,                    (8)

где I _с - момент инерции маятника относительно оси, проходящей через центр масс. Подставляя (8) в (7), получим

              (9)

Согласно этой формуле период колебаний Т одинаков при двухразличных значениях   а (рис. 2): Т ₁ = Т ₂   при

                                               , откуда

                                                   .                                                (10)

Подставим (10) в формулу (9). Получим

              (11)

Величина                                                          (12)

называется приведенной длиной физического маятника.

Сравнивая формулы (11) и (7) получим

                                                       (13)

 

Формула для периода малых колебаний маятника будет иметь следующий вид

                                          .                                                          (14)

В данной работе с помощью физического маятника находится ускорение свободного падения g,которое исходя из уравнения (14),

 .                                 (15)

Приведенная длина  находится из формулы (12), в которой а ₁и   а ₂определяются из графика зависимости Т от а, построенного на основе результатов эксперимента.

Для уменьшения погрешности измерения в эксперименте измеряют период колебаний маятника относительно осей, находящихся по обе стороны от центра тяжести. На рис. 2 представлена теоретическая зависимость периода колебаний от параметра a, которая зеркально симметрична относительно оси Т.

Рис. 2. Зависимость периода колебаний маятника от параметрa a

На рисунке приведенная длина маятника   L _np = a _{1 +} a ₂   равна расстоянию между точками   А ̀В или В̀ А.

Описание установки

Физический маятник представляет собой твердое тело, в нашем случае – стержень 12, с отверстиями, который монтируется на блоке 11, закрепленном на стойке 10 модуля ЛКМ-3 так, чтобы ось блока не проходила через центр масс (рис. 3). В этом случае стержень может совершать колебания в поле силы тяжести. На оси стержень закрепляют пластиковым фиксатором 13.

                         Рис. 3. Физический маятник на модуле ЛКМ-3

Задание I. Измерение ускорения свободного падения

1. Подготовьте измерительную систему ИСМ–1 к работе: подключите датчик угла поворота блока к разъему 1 на задней стенке прибора, переключатель 1 поставьте в положение «К1», переключатель 4 – в положение «2», переключатель 5 – в положение «цикл», переключатель 8 – в положение «+» или «–», переключатель 9 – в среднее положение. Включите питание модуля.

2. Закрепите стержень на оси блока за крайнее отверстие  так, чтобы прорезь в блоке находилась вблизи нулевого деления шкалы. Примите это положение маятника за начальное х = 0. Приведите  маятник  в  колебательное  движение  с  амплитудой

(5 ÷ 10)°. Считайте с измерителя периода колебаний время одного полного периода Т. Данные занесите в табл. 1.

3. Переместите маятник на одно отверстие (Δ x = 20 мм) и проведите аналогичные измерения периода колебаний для всех отверстий стержня.

4. Постройте график зависимости периода колебаний физического маятника Т от координаты точки подвеса х.

                                                                Таблица 1

x (см)	0	…	32
T (c)

5. На графике (см. рис. 2)найдите расстояние между точками маятника x ₁и x ₂, cоответствующими одинаковому периоду колебаний (x₂ – x₁ = L _np) в трех пяти местах графика. Заполните табл. 2.

 

                                                                                              Таблица 2

 

I	x 1	x 2	Т i (c)	L np i (м)	gi (м/с)	gi – < g>	(gi– < g>)2
…
Среднее	―	―	―	―		―	―
Сумма	―	―	―	―		―

 

6. Рассчитайте ускорение свободного падения по формуле (15).

7. Рассчитайте абсолютную и относительную погрешность измерений g.

Запишите результат в стандартном виде

        g = (< g > ± Δ g) (м/с²), ε =... % при α= 0,95.

Задание II. Исследование ангармонических колебаний

1. Закрепите стержень на оси за второе отверстие (х = 2 см). Поставьте переключатель 5 в положение «однокр». Нажмите кнопку 7 «готов». Отведите маятник на угол 10 и плавно отпустите его. Считайте показания измерителя периода колебаний Т. Данные занесите в табл. 3.

 

                                                                                                          Таблица 3

 

φ m	10º	20º	…	90º
Т (c)

2. Повторите измерения периода колебаний, изменяя амплитуду колебаний φ _m в пределах от 10° до 90° с шагом в 10⁰-20⁰

3. Постройте график зависимости периода колебаний Т от амплитуды колебаний φ _m.

Контрольные вопросы

1. Получите уравнение гармонических колебаний для случая колебаний груза на пружинке. Дайте определение параметрам колебательного движения: смещению из положения равновесия, скорости и ускорению материальной частицы. Запишите закон изменения кинетической, потенциальной и полной энергии частицы?

2. Получите уравнение колебаний математического и физического маятников. Запишите выражения для периода, частоты колебаний и приведенной длины физического маятника.

3. В чем состоит особенность оборотного физического маятника.  Можно ли использовать произвольный физический маятник для определения ускорения свободного падения?