Объемное напряженное состояние. Определение напряжений на наклонной площадке. Главное напряжение.

Напряженное состояние в точке – совокупность напряжений, действующих по всевозможным площадкам, проведенным через эту точку.

объемное напряжений (трехосное) – если все три главных напряжения отличны от нуля σ1 ≠ 0, σ2 ≠ 0, σ3 ≠ 0

Плоское (двухосное) напряженное состояние встречается при кручении, изгибе и сложном сопротивлении и является одним из наиболее распространенных видов напряженного состояния. Определим напряжения на наклонных площадках при плоском напряженном состоянии. Рассмотрим элементарный параллелепипед, грани которого являются главными площадками. По ним действуют положительные напряжения σ1 и σ2, а третье главное напряжение σ3=0. Проведем сечение, нормаль к которому повернута на угол α от большего из двух главных напряжений (σ1) против часовой стрелки (положительное направление α). Напряжения σα и τα на этой площадке будут вызываться как действием σ1, так и действием σ2. Запишем правила знак о в. Будем считать положительными следующие направления напряжений и углов: нормальные напряжения σ – растягивающие; касательные напряжения τ – вращающие элемент по часовой стрелке; угол α – против часовой стрелки от наибольшего из главных напряжений (α≤45o). 35 Плоское напряженное состояние может быть представлено как суперпозиция (наложение) двух ортогональных (взаимноперпендикулярных) одноосных напряженных состояний. При этом:,, α α ′ ′ + σ′ ′ ′ τ′ α α α α σ = σ τ = τ + α ′ α где σ′ α, τ – напряжения, вызванные действием σ1; σ′′ α, τ′′ – напряжения, вызванные действием σ2. Напряжения при одноосном напряженном состоянии (от действия σ1) связаны между собой как 2 cos; n 2. α α 1 1 si 2 α α σ = ′ σ ⋅ σ τ = ′ ⋅ Напряжения α σ′′ α, τ′′, вызванные действием σ2, можно найти аналогично, но при этом необходимо учесть, что вместо угла α в формулы необходимо под- ставить угол () o β − = 90 −α – угол между α-площадкой и напряжением σ2. Отсюда получим () () 2 o 2 2 2 2 2 o cos 90 sin; sin 2 90 sin 2. 2 2 α α α α σ = ′′ σ ⋅⎡⎤ − −α ⇒ σ = ′′ σ ⋅ α ⎣⎦ σ σ τ = ′′ ⋅⋅⎡⎤ − −α ⇒ τ = ′′ − ⋅ α ⎣⎦ Окончательно можем записать 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 cossincos2; 2 2 sin 2 sin 2 sin 2. 2 2 2 α α σ + σ σ − σ σ = σ ⋅ α + σ ⋅ α = + ⋅ α σ σσ − σ τ = ⋅ α − ⋅ α = ⋅ α (5.1) На площадке, перпендикулярной данной, значения напряжений можно найти из этих же формул, подставляя вместо угла α величину угла (): o β − = 90 −α 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 sincoscos 2; 2 2 sin 2 sin 2 sin 2. 2 2 2 β β σ − σ σ + σ σ = σ ⋅ α + σ ⋅ α = + ⋅ α σ σσ − σ τ = − ⋅ α + ⋅ α = − ⋅ α (5.2) Если сложить левые и правые части выражений для напряжений на α- и β-площадках, по- лучим следующие равенства: 1), из которого следует, что сумма нормальных напряжений по двум вза- имно перпендикулярным площадкам есть величина и н вари ант н а я, то есть не зависит от поворота площадки. σ + α β σ = σ1 + σ2 36 2) τα=–τβ, которое еще раз указывает на закон парности касательных напряжений (знак «минус» связан с вышеприведенным правилом знаков для касательных напряжений). Решая совместно уравнения (5.1) и (5.2) относительно напряжений σ1 и σ2, получим выражения для определения главных н а пряже н и й при плоском напряженном состоянии по известным напряжениям на произвольных взаимноперпендикулярных площадках: ()2 1 2 4 2 2 maxmin α β α β α σ + σ σ = ± ⋅ σ − σ + ⋅ τ. (5.3) Обозначения главных напряжений σmax, σmin здесь оправданы тем, что одно из трех глав- ных напряжений равно нулю. Направление главных п л ощадок найдем, исключая из выражений (5.1), (5.2) величины σ1, σ2 и решая полученное уравнение относительно угла α: 2 tg2 α α β ⋅ τ α = − σ − σ. (5.4) Задачи, рассматриваемые в теории напряженного состояния, могут даваться в прямой и обратной постановке.

Обобщенный закон Гука

В общем случае напряжения и деформации описываются тензорами второго ранга в трёхмерном пространстве (имеют по 9 компонент). Связывающий их тензор упругих постоянных является тензором четвёртого ранга {\displaystyle C_{ijkl}} и содержит 81 коэффициент. Вследствие симметрии тензора {\displaystyle C_{ijkl}} , а также тензоров напряжений и деформаций, независимыми являются только 21 постоянная. Закон Гука выглядит следующим образом:

{\displaystyle \sigma _{ij}=\sum _{kl}C_{ijkl}\cdot \varepsilon _{kl},}