Высказывания. Элементарные и составные высказывания

Любое рассуждение состоит из цепочки предложений, вытекающих друг из друга по определенным правилам. Среди предложений, в которых идет речь о свойствах или отношениях между математическими понятиями, выделяют высказывания и высказывательные формы (предикаты).

Под высказыванием будем понимать повествовательное предложение, об истинности или ложности которого имеет смысл говорить.

Приведем примеры высказываний:

1) Уфа – столица Башкортостана;

2) В Стерлитамаке зимой никогда нет снега;

3) Нью-Йорк – столица США;

4) 2 > 0;

5) –7 > – 8;

6) 4 + 1 = 5;

7) H ₂ SO ₄ – кислота;

8) Если число n делится на 4, то оно четное;

9) Неверно, что С.-Петербург – столица России;

10) Пальмы растут в Крыму и на берегу Белого моря;

11) Четырехугольник является параллелограммом тогда и только тогда, когда его диагонали в точке пересечения делятся пополам.

Из определения ясно, что высказываниями не являются вопросительные и восклицательные предложения.

Не являются высказываниями и определения понятий, хотя они имеют форму повествовательного предложения, поскольку представляют собой условное соглашение о введении нового термина.

Предложения, содержащие переменные (х + 2 = 5 и т.д.), тоже не являются высказываниями. Не высказывания и предложения такого типа: «Завтра будет снег», «В субботу я получу оценку 5» и т.д.

Высказывания обозначаются большими латинскими буквами А, В, С и т.д. Каждому высказыванию приписывается значение истинности. Если высказывание А истинно, то записывается А – «И»; если же высказывание А – ложно, то пишут: А – «Л». Любое высказывание может принимать только одно из двух значений истинности.

Высказывания бывают элементарными и составными. Примеры элементарных высказываний среди приведенных выше: 1), 3), 4), 5), 6), 7). Если заданы высказывания А и В, то из них можно составить новые высказывания, используя связки «и», «или», «если... то», «либо... либо», «тогда и только тогда», а также частицу «не». Такие высказывания называются составными, а входящие в них высказывания – элементарными. Примеры составных высказываний из приведенных выше: 2), 8), 9), 10), 11).

Два составных высказывания называют равносильными (эквивалентными), если они одновременно «И» или «Л» при любых предположениях об истинности входящих в них элементарных высказываний. В этом случае пишут: А Û В (или А = В).

Операции, выполняемые над высказываниями и порождающие новые высказывания, будем называть логическими операциями.

Приступая к определению логических операций, мы ставим перед собой задачу, чтобы эти определения как можно лучше соответствовали обычному смыслу, в котором употребляются слова «не», «и», «или», «если... то», «если и только если» в естественном (русском) языке.

Замечание. Синонимами слова «высказывание» являются слова: «суждение», «утверждение», «предложение». Из контекста изложения бывает ясно, почему предпочтение отдано именно этому термину.

Конъюнкция высказываний

Пусть А и В – два элементарных высказывания. Соединив их союзом «и» получим новое высказывание, которое называют конъюнкцией данных высказываний и обозначается А Ù В. Итак, А Ù В читают: «А и В».

Определение. Конъюнкцией двух высказываний А и В называется высказывание , которое истинно тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания А и В.

Таблица истинности конъюнкции имеет вид (табл. 1):

Таблица 1

А	B	А Ù В
И	И	И
Л	И	Л
И	Л	Л
Л	Л	Л

П р и м е р. Высказывание «5 – число целое и 6 – число четное» – истинно, так как оба составляющих его элементарных высказывания истинны. Высказывание «2 < 5 и 5 < 10» можно записать так: 2 < 5 < 10. Вообще, двойное числовое неравенство представляет собой конъюнкцию двух числовых неравенств.

Если в А Ù В поменять местами А и В, то получим В Ù А. Составим таблицу истинности (табл. 2).

Таблица 2

А	B	А Ù В	В Ù А
И	И	И	И
И	Л	Л	Л
Л	И	Л	Л
Л	Л	Л		Л

Из таблицы 2 видно, что при разных значениях А и В конъюнкции А Ù В и В Ù А одновременно истинны или ложны. Следовательно, А Ù В = В Ù А. Эта запись означает коммутативное свойство конъюнкции, т.е. высказывания в конъюнкции можно поменять местами.

Составим таблицу истинности для А Ù (В Ù С) и (А Ù В) Ù С (табл. 3).

Таблица 3

А	B	C	А Ù (В Ù С)	(А Ù В) Ù С
И	и	и	и	И
Л	и	и	л	Л
и	Л	и	л	Л
и	и	Л	л	Л
Л	Л	и	л	Л
Л	и	Л	л	Л
и	Л	Л	л	Л
Л	Л	Л	л	Л

Из таблицы 3 видно: при различных значениях А, В и С высказывания  и (А Ù В) Ù С одновременно истинны или ложны. Следовательно, А Ù (В Ù С) = (А Ù В) Ù С. Эта запись означает ассоциативное свойство конъюнкции. Ассоциативность конъюнкции имеет место для трех и более высказываний и позволяет опускать скобки и писать А Ù В Ù С Ù D Ù ….

Дизъюнкция высказываний

Соединив два элементарных высказывания А и В союзом «или» получим новое высказывание, которое называют дизъюнкцией высказываний и обозначают A Ú B. Итак, A Ú B читают: «A или В».

Определение. Дизъюнкцией двух высказываний А и В называется высказывание , которое истинно тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из высказываний А и В.

Таблица истинности дизъюнкции имеет вид (табл. 4):

Таблица 4

А	В	A Ú B
И	и	и
И	л	и
л	и	и
Л	Л	Л

По-прежнему употребляем союз «или» в «неразделительном смысле». Если необходимо подчеркнуть разделительный смысл, то употребляют союз «либо,..., либо». Например: «Завтра в 5 часов я пойду либо в кино, либо к тебе в гости».

Пусть заданы элементарные высказывания «5 > 3», «5 = 3», образуем их дизъюнкцию «5 > 3 или 5 = 3». Она истинна. Короче, высказывание 5 ³ 3 истинно. Вообще, любое нестрогое неравенство представляет собой дизъюнкцию строгого неравенства и равенства.

Например, неравенства 5 £ 5, 10 ³ 8, 18 £ 25 истинны, а неравенства 2 ³ 5, 4 £ 3 ложны.

Для дизъюнкции, как и для конъюнкции, можно указать ряд равносильностей:

A Ú B Û B Ú A, A Ú (B Ú C) Û (A Ú B) Ú C – коммутативность и ассоциативность дизъюнкции.

Эти равносильности устанавливаются с помощью таблиц истинности (выполните самостоятельно).

Ассоциативность дизъюнкции имеет место для трех и более высказываний и позволяет опускать скобки и писать А Ú В Ú С Ú D и т.д.

Запишем таблицу истинности для (A Ù B) Ú C и (A Ú C) Ù (B Ú C) (табл. 5).

Таблица 5

А	B	C	(А Ù В)Ú С	(A Ú C)	(B Ú C)	(A Ú C)Ù(B Ú C)
И	И	И	И	И	И	И
И	Л	И	И	И	И	И
Л	И	И	И	И	И	И
Л	Л	И	И	И	И	И
И	И	Л	И	И	И	И
И	Л	Л	Л	И	Л	Л
Л	И	Л	Л	Л	И	Л
Л	Л	Л	Л	Л	Л	Л

Из таблицы следует вывод: (А Ù В) Ú С = (A Ú C) Ù (B Ú C). Имеет место и такое равенство:         (A Ú B) Ù C = (A Ù C) Ú (B Ù C) (проверьте самостоятельно).

Отрицание высказываний

В обыденной речи мы часто пользуемся словом «не» и словами «неверно, что», когда хотим что-то отрицать. Например, если мы хотим отрицать, что «точка X лежит на прямой х», мы говорим «точка X не лежит на прямой х» или «неверно, что точка X лежит на прямой х». Нетрудно заметить, что значения истинности данного высказывания и полученного находятся в определенной связи. Если данное высказывание истинно, то полученное – ложно и наоборот.

Определение. Отрицанием некоторого высказывания А называют такое высказывание, которое истинно, когда А ложно, и ложно, когда А истинно. Обозначают символом , читается «не А».

Из приведенных выше примеров ясно, что отрицание некоторого высказывания А можно получить, если перед данным высказыванием поставить слова «неверно, что» или перед сказуемым поставить частицу «не».

Таблица истинности для  имеет вид (табл. 6):

Таблица 6

А
И	Л
Л	И

П р и м е р ы.

1) А – «18 четное число»,  – «18 – не является четным числом».

2) А – «Иванов не сдал экзамен»,  – «Иванов сдал экзамен».

Так как отрицание А есть некоторое высказывание , то можно образовать отрицание высказывания , его обозначают  и называют двойным отрицанием высказывания А. Составим таблицу истинности для  (табл. 7).

Таблица 7

А
И	Л	И
Л	И	Л

Из таблицы видно, что  = А.

П р и м е р: А – «18 – четное число»,  – «18 – не является нечетным числом».

Образуем конъюнкцию высказывания А и  и составим для нее таблицу истинности (табл. 8).

Таблица 8

А
И	Л	Л
Л	И	Л

Видим, что формула А Ù  тождественно ложна. Равенство А Ù = Л означает, что высказывание вида «А и не А» всегда ложно, какое бы ни было высказывание А.

Этот закон А Ù  = Л называют законом противоречия.

Не могут быть одновременно истинными две противоположные мысли об одном и том же предмете, взятом в одно и тоже время и в одном и том же отношении.

Образуем теперь дизъюнкцию некоторого высказывания А и его отрицания  и составим для нее таблицу истинности (табл. 9).

Таблица 9

А
И	Л	И
Л	И	И

В этом случае говорят, что формула А Ú  тождественно истинна.

Закон А Ú  = И называют законом исключенного третьего. Выполняется хотя бы одно из высказываний А или . В математике такая дизъюнкция часто встречается при разборе каких-то взаимоисключающих друг друга случаев.

Операции конъюнкции, дизъюнкции и отрицания связаны следующими соотношениями, справедливость которых можно установить при помощи таблиц истинности (докажите самостоятельно):

а) = ;          б)  = .

Эти соотношения называют законами де Моргана.