Если имеется автокорреляция возмущений, то для оценки параметров модели используют другой частный случай обобщенного метода наименьших квадратов. Пусть по временным рядам переменных X и Y строится парная линейная модель
 (t =1, 2, …, n),
| (33) |
уравнение регрессии которой имеет вид:
 (t =1, 2, …, n),
| (34) |
где b 0, b 1 — оценки параметров b0 и b1 соответственно.
Первоначально исходные переменные и свободный член b 0 уравнения регрессии преобразуются с помощью формул:
 ;
| (35) | |
 ;
| (36) | |
 (t =2, 3, …, n),
| (37) |
где r (1) — коэффициент автокорреляции остатков первого порядка [см. формулу (21) ].
В результате уравнение (34) трансформируется в уравнение
 (t =2, 3, …, n),
| (38) |
параметры которого определяются обычным МНК. После этого рассчитывается свободный член b 0 исходного уравнения (34) по формуле
 .
| (39) |
Пример 2
Исследуется зависимость цены акции предприятия (переменная Y, руб.) от индекса фондового рынка (переменная X, пунктов) по данным за 12 месяцев. Имеются временные ряды средневзвешенных за месяц значений переменных:
| Месяц | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| X | 244 | 222 | 201 | 186 | 215 | 248 | 256 | 255 | 217 | 224 | 263 | 292 |
| Y | 152 | 154 | 149 | 136 | 139 | 148 | 152 | 156 | 152 | 156 | 169 | 176 |
Требуется:
1. Построить линейную модель парной регрессии Y по X.
2. Проверить наличие автокорреляции возмущений модели методом Дарбина-Уотсона.
3. При обнаружении автокорреляции возмущений построить обобщенную модель регрессии.
Решение
1. По временным рядам переменных строим модель парной регрессии
(t =1, 2, …, n; n=12),
параметры которой оцениваем обычным методом наименьших квадратов. С помощь табличного процессора MS Excel были определены коэффициенты уравнения регрессии : b0=81,8; b1=0,304. Уравнение регрессии, таким образом, имеет вид:
.
Уравнение регрессии статистически значимо на уровне a=0,05: коэффициент детерминации имеет значение R2=0,671; F-статистика — F=20,41; табличное значение F-критерия Фишера — F0,05; 1;10=4,96.
Значение углового коэффициента уравнения b1=0,304 показывает, что при росте индекса рынка на 1 пункт цена акции возрастает в среднем на 0,304 руб., т. е. на 30,4 коп.
График зависимости Y от X выглядит следующим образом:
2. Построим график временного ряда остатков регрессии и проведем его визуальный анализ. Предсказываемые уравнением регрессии значения результата 
и остатков 
(t =1, 2, …, n; n=12) приведены в таблице:
| t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| xt | 244 | 222 | 201 | 186 | 215 | 248 | 256 | 255 | 217 | 224 | 263 | 292 |
| yt | 152 | 154 | 149 | 136 | 139 | 148 | 152 | 156 | 152 | 156 | 169 | 176 |
|
| 156 | 149 | 143 | 138 | 147 | 157 | 160 | 159 | 148 | 150 | 162 | 170 |
| et | -3,9 | 4,8 | 6,2 | -2,3 | -8,1 | -9,1 | -7,6 | -3,2 | 4,3 | 6,2 | 7,3 | 5,5 |
График временного ряда остатков имеет вид:
Визуальный анализ графика указывает на положительную автокорреляцию возмущений: видно, что на графике имеются чередующиеся зоны положительных и отрицательных остатков регрессии. Проверим это предположение методом Дарбина-Уотсона. Определяем d-статистику по формуле
.
Критические значения d-критерия для числа наблюдений n=12 и уровня значимости a=0,05 составляют d1=0,97 и d2=1,33 (см. приложение). Так как 
, то это свидетельствует о наличии положительной автокорреляции возмущений. На это же указывает и коэффициент автокорреляции остатков первого порядка
,
который превышает критическое значение 0,346 для n=12 и a=0,05 (см. приложение).
3. Применим обобщенный метод наименьших квадратов для оценки параметров исходной модели, для чего преобразуем исходные данные по формулам:
| ;
| ||
| (t =1, 2, …, n; n=12).
|
Преобразованные данные имеют вид:
| t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| — | 65,7 | 58,8 | 57,3 | 95,9 | 110,3 | 97,2 | 91,0 | 53,7 | 85,0 | 119,5 | 123,6 |
| — | 56,7 | 50,4 | 40,6 | 51,9 | 59,0 | 57,2 | 58,7 | 52,1 | 58,7 | 69,1 | 67,8 |
Обычным методом наименьших квадратов определяем коэффициенты преобразованного уравнения регрессии (t =1, 2, …, n; n=12): 
; 
. Свободный член исходного уравнения
.
Окончательно исходное уравнение регрессии примет вид:
.
Данное уравнение статистически значимо на уровне a=0,05: коэффициент детерминации имеет значение R2=0,666; F-статистика — F=17,92; табличное значение F-критерия Фишера — F0,05; 1;9=5,12.
Таким образом при росте индекса рынка на 1 пункт цена акции возрастает в среднем на 0,257 руб. или на 25,7 коп.
ЛИТЕРАТУРА
1. Балдин К.В., Быстров О.Ф., Соколов М.М. Эконометрика: Учеб. пособие для вузов. — М.: ЮНИТИ–ДАНА, 2004. — 254 с.
2. Доугерти К. Введение в эконометрику.—М.: ИНФРА-М, 1997. —402 с.
3. Дрейпер Н, Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. — М.: Статистика, 1973. — 392 с.
4. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. — 311 с.
5. Практикум по эконометрике: Учеб. пособие / И.И. Елисеева, С.В. Курышева, Н.М. Гордеенко и др.; Под ред. И.И. Елисеевой. — М.: Финансы и статистика, 2002. — 192 с.
6. Эконометрика: Методические указания по изучению дисциплины и выполнению контрольной и аудиторной работы на ПЭВМ для студентов III курса по специальностям «Финансы и кредит», «Бухгалтерский учет, анализ и аудит», «Экономика труда». — М.: Вузовский учебник, 2005. — 122 с.
7. Эконометрика: Учебник / Под ред. И.И. Елисеевой. — М.: Финансы и статистика, 2002. — 344 с.
