Примеры решения заданий контрольной работы №4

Задание 1. Найти предел функции, пользуясь правилом Лопиталя

=

 

Задание 2. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение. Будем следовать общему плану.

Построим координатную плоскость, на которую будем наносить результаты, полученные в

каждом разделе.

I. Общая характеристика функции.

1. Область определения :

Т. е

2. Характеристика функции.

Функция называется четной, если , нечетной, если , иначе - функцией общего вида

По определению, - нечетная функция.

3. Непрерывность функции.

является непрерывной везде, кроме точек и , где она терпит бесконечный

 

разрыв.

4. Точки пересечения графика функции с осями координат.

5. Асимптоты.

1. Вертикальные асимптоты связаны с точками бесконечного разрыва

предел слева:

предел справа:

предел слева:

предел справа:

2. Наклонные асимптоты.

; ;

Наклонная асимптота

При и при график функции будет неограниченно приближаться к

графику прямой .

Полученные точки и асимптоты наносим на координатную плоскость.

 

 

 

 

 

Схематический график 1.

II. Исследование функции на возрастание и убывание, экстремумы.

1.Находим

2.

или ,

не существует, если =0, т.е. и , но эти точки не входят в область

определения.

Нанесем полученные точки на ось

 

Определяем знак первой производной в каждом полученном интервале, для чего определим

знак в произвольной точке каждого интервала.

Возьмем, например, , , , , , .

4. Определяем участки возрастания и убывания функции.

функция убывает

функция возрастает

функция возрастает

функция возрастает

функция возрастает

функция убывает

6. Определяем точки экстремума.

7.

Точка -мининум

Точка -максимум

 

Нанесем точки экстремума на координатную плоскость.

 

 

 

 

 

Схематический график 2.

III. Исследование функции на выпуклость, вогнутость и точки перегиба.

1. Находим вторую производную

2.

- не существует при , т.е. и ; но эти точки не входят в область

определения .

3. Нанесем эти точки на ось .

 

Определяем знак второй производной в каждом полученном интервале, для чего определяем

знак , например, в точках , , и

4. Определяем интервалы выпуклости и вогнутости функции

- функция вогнутая

- функция выпуклая

- функция вогнутая

- функция выпуклая

5. Определяем точки перегиба.

При переходе через меняет знак (выпуклость меняется на вогнутость).

Определяем значение в точке перегиба.

; точка перегиба (0,0).

Наносим точку перегиба на схематический график.

 

 

 

Схематический график 3.

 

IV. Строим график.