Методические указания и задания
К контрольным работам студентов
I курса заочного отделения
(кроме ЗПМ)
Составители: Ваксман К.Г.
Михайлова А.В.
Москва,
2010 г.
Контрольная работа № 1
Контрольная работа содержит
задания по основным разделам
математики за курс средней школы
Основные теоретические сведения
Для успешного выполнения контрольной работы необходимо повторить по любому учебнику математики (Алгебра) следующие разделы:
1. Понятие модуля
.
– расстояние от точки х до а на числовой оси.
2. Линейная функция 
, свойства и график. Функция 
, свойства и график. Квадратный трехчлен 
.
3. Определение 
, 
, 
, 
. Формулы: 
, 
, 
, 
, 
.
4. Тригонометрические функции 
, 
, 
, 
.
Основные свойства и графики (период функции, нули функции, наибольшее и наименьшее значения, участки возрастания, убывания).
5. Значение тригонометрических функций в точках 
, 
, 
, 
, 
.
6. Основные тригонометрические формулы 
.
7. Степени, их свойства.
8. Показательная функция 
, свойства и график.
9. Логарифмическая функция 
, свойства и график.
Пример решения контрольного задания
Задача 1. а) 
или 
.
б) 
в) 
верно при всех х, 
Задача 2. Построить графики функций 
и 
.Для построения составим таблицы
, 
| –2 | –1 | –0,5 | 0,5 | |||
| 
| – | –2 | –1 | 
|
|
| –1 | |
|
|
Точки пересечения 
.
Задача 3. Дана функция 
.
1) 
2) Нули функции 
. 
.
Для построения графика: абсцисса вершины 
, 
;
ордината вершины 
.
Для построения графика составим таблицу:
|
| –3 | –2 | – 
| –1 | |
|
|
|
3) 
при 
при 
.
4) возрастает при 
убывает при 
.
Задача 4. Даны функции 
и 
.
1) Построить графики. Для их построения составим таблицы.
|
| -1 | ||
|
|
|
|
| 
| 
| 
| |
|
| -1 |
2) 
;
.
3) 
;
Задача 5.
1) 
.
;
;
; 
.
2) 
Построить график 
при 
. Построим таблицу.
|
| 
| 
| 
|
| 
| 
| |
|
| 
| -1 |
|
периодическая функция, период 
.
Нули функции: при 
.
Наименьшее значение: 
.
Наибольшее значение: 
.
возрастает на данном интервале при 
.
Задача 6. Вычислить
1) 
.
2) 
.
3) 
.
Задания к контрольной работе №1
(Значения буквенных параметров даны в вариантах контрольной работы)
Задача 1. Решить неравенства и показать решения на числовой оси 
, 
, 
.
Задача 2. Построить графики функций на одном рисунке, указать их точки пересечения, проверить решение аналитически. 
, .
Задача 3. Дана функция требуется:
1) выделить полный квадрат из квадратного трехчлена и построить график функции; 2) найти нули функции по формуле корней квадратного уравнения; 3) определить, при каких значениях аргумента функция принимает положительные или отрицательные значения; 4) указать области возрастания и убывания функции.
Задача 4. Даны функции и 
. Требуется: 1) построить графики функций; 2) показать на графике значение функции в точке 
и указать поведение функции при 
и 
; 3) показать на графике значение функции в точке 
и указать поведение функции при 
и ;
Задача 5. Требуется: 1) построить на единичной окружности угол 
и вычислить 
, 
, 
, 
; 2) построить график функции 
на заданном интервале 
. Указать период функции, нули функции, её наибольшее и наименьшее значения, участки возрастания и убывания на заданном интервале х.
Задача 6. Вычислить следующие выражения:
1) 
;
2) 
3) 
.
| № вар-та | Значения параметров | № вар-та | Значения параметров |
1) 
 .
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 1. 
2. 
3. 
|
1) 
 .
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 1. 
2. 
3. 
| ||
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 1. 
2. 
3. 
|
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 1. 
2. 
3. 
| ||
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 1. 
2. 
3. 
| 1) 
 .
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 1. 
2. 
3. 
| ||
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 1. 
2. 
3. 
|
1) 
 .
2)
3)
4)
5) 
6) 1. 
2. 
3. 
| ||
1) 
 .
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 1. 
2. 
3. 
|
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 1. 
2. 
3. 
|
Контрольная работа № 2
Тема: «Пределы и непрерывность»
Основные теоретические сведения
(см. «Методические указания»)
- Символика
с – постоянная
(неопределенность); 
(неопределенность).
- Бесконечно-малые и бесконечно-большие функции
Функция 
называется бесконечно-малой (бесконечно-большой) при 
, если 
(
).
- Предел отношения двух многочленов
1) 
. Для раскрытия неопределенности числитель и знаменатель требуется разделить на 
,где 
- наибольший показатель степени при в числителе и знаменателе. Затем использовать, что 
и 
при 
.
2) 
Для раскрытия неопределенности 
числитель и знаменатель требуется разложить на множители и сократить на общий множитель 
. Использовать формулы: 
;
,где 
и 
–корни, 
, 
;
- Первый замечательный предел
при 
. Следствие: 
, так как 
.
Сделав замену переменной 
получим 
, аналогично: 
.
Использовать формулы: 
; 
; 
.
- Второй замечательный предел
; 
. Число 
6. Функция 
называется непрерывной в точке 
, если 
.
7. Условия непрерывности функции в точке :
1) функция должна быть определена в некотором интервале, содержащем точку а (т.е. в самой точке и вблизи этой точки);
2) функция должна иметь одинаковые односторонние пределы:
;
3) эти односторонние пределы должны быть равны 
.
