Дифференциалдық теңдеулердің түрлері.Қарапайым.

Дифференциалдық теңдеу қарапайым деп аталады,егер белгісіз функция бір аргументке тәуелді болса.Мысалы 2хdх=3уdу

Дифференциалдық теңдеулер шешімдер жалпы және нақты шешімдер бөлінеді. Жалпы шешімдер белгісіз тұрақтылар, және дербес туындылы дифференциалдық теңдеулер үшін — қосымша жағдайлар (қарапайым дифференциалдық теңдеулер үшін бастапқы шарттары, дербес туындылы дифференциалдық теңдеулер үшін бастапқы және шекаралық шарттар) интеграция тазартылған болатын тәуелсіз айнымалы еркін функциялары. Түрін анықтау кейін тұрақты және белгісіз шешім функциялары жеке көрсетілген.

Сызықтық теңдеу.
Анықтама.Егер бірінші ретті дифференциялдық теңдеу ізделетін белгісіз функция және оның туындысы y’ бойынша сызықты болып келсе, оны сызықтық теңдеу деп атайды.
Мәселен, , деп алып, теңдеудің екі жағын бөлейік, сонда Мұнда деп белгілеп.

М₁(х)dx + N₂(y)dy = 0 түріндегі теңдеуді айнымалылары ажыратылған теңдеу деп атайды. Жалпы шешімі: F(x) + f(y) = C.

Айнымалылары ажыратылатын дифференциалдық теңдеулерді шешу.М₁(Х)N₁(У)dх+М₂(Х)N₂(У)dу=0 түріндегі теңдеуді айнымалылары ажыратылатын теңдеу деп атайды.Теідеудің екі жағын да N₁(У)M₂(Х) өрнегіне бөліп айнымалылары ажыратылған теңдеуге келтіруге болады.

Айнымалылары ажыратылатын теңдеулерде айнымалыларды ажыратуды орындаймыз.Ол үшін берілген теңдеудің екі жағын да өзіне кері өрнегіне көбейтеміз.Сөйтіп айнымалылары ажыратылған дифференциалдық теңдеу аламыз.Теңдеудің екі жағын да интегралдап жалпы шешімін тауып,берілген х жане у мандерін жалпы шешімге қойып дербес шешімін табуға болады.

3.Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулердің шешімдері. Бірінші ретті дифференциалдық теңдеу деп түріндегі теңдеуді айтады.Егер бұл теңдік у^/ арқылы шешілсе, яғни түрінде жазылса, онда соңғы теңдеу туындысы арқылы шешілген дифференциалдық теңдеу делінеді. - бұл бірінші ретті теңдеудің дифференциалды түрі деп аталады. Анықтама. Бірінші ретті дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі деп кез-келген бір тұрақты С –дан тәуелді және келесі шарттарды қанағаттандыратын функциясын айтады: а) ол С тұрақтының кез келген мәнінде дифференциалдық теңдеуді қанағаттандырады; ә) бастапқы шарт х=х₀ болғанда у=у₀ қандай болмаса да функциясы берілген бастапқы шартты қанағаттандыратындай С=С₀ мәнін табуға болады; Дифференциалдық теңдеудің жалпы шешіміндегі с тұрақтысына мәнін берсеk, онда - теңдеудің дара шешімі деп аталады.. - айнымалысы ажыратылған теңдеу, - оның жалпы интегралы деп аталады.

6. Медицина –биологиялық,фармациялық,физика-химиялық мазмұнды есептерді дифференциалдық теңдеулерді құру арқылы шешу. Дифференциалдық теңдеулер,артүрлі медициналық-биологиялық,химиялық физикалық процесстерді немесе құбылыстарды сипаттайтын айнымалы шамалар арасында байланыс құрайды.Кез келген есепті дифференциалдық теңдеудің көмегімен шығарғанда үш этапқа бөлуге болады:

1Сипатталған процесстің математикалық теңдеуін құру.

2Дифференциалдық теңдеуді шешу,жалпы жане дербес шешімін табу

3Нәтижелерін талдау

Қарапайым диф. Теңдеудің маңызы зор. Ол механика сласында, астрономияда, физикада, медицинада кеңінен қолданылады. Бұлардың бәрі табиғатта болып жатқан құбылыстардың көбі дифференциалдық теңдеумен тағыз байланысты болып саналады.Мысалы, медицинада дифф. Теңдеулердің қолданылуы:Қан ағудың жылдамдығын білуге, клапандардың және жүректің қозғалу, соғу жылдамдығын анықтауға (эхокардиография), гемодинамиканның параметрлері қанның ұюын анықтау;Медициналық-биологиялық ультразвук жұмыстарын сиппаттау-эхоэнцефалограмма, УЗИ, ультразвукті физиотерапия, ультразвукті локация және кардиография;Адамның не жануардың дыбыс қабылдау және дыбыс шығару ағзаларының жұмысын түсіндіретін физиологиялық акустика прицесстерін сипатту үшін қолданылады

4.Тұрақты коэффициентті екінші ретті сызықт.. Құрамында екінші ретті туынды жане дифференциалы бар тендеулер екінші ретті дифференциалдык тендеулер деп аталады.1.Құрамында алғашқы функциясы жоқ у′′=f(х) немесе d²у / dх² =f(х) екінші ретті дифференциалдық теңдеуді ретін төмендетуге мүмкіндік беретін айнымалыны енгізіп екі рет интегралдау арқылы шығарылады.Екінші ретті дифференциалды теңдеудің жалпы шешімінде екі еркін тұрақты болады.Шарт бойынша берілген функцияны өрнектейміз.Екінші теңдеудің анықтамасы бойынша дифференциалдық теңдеу түріне келтіреміз.Теңдеудің екі жағын интегралдап жалпы шешім түріндегі теңдікті аламыз. Бұл теңдеудің екі жағын да интегралдап дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімін аламыз.Жалпы шешімге бастапқы мандерді қойып дербес шешімін табамыз. түріндегі теңдеу n-ретті біртекті емес сызықтық дифференциалдық теңдеу деп аталады. Теорема. -сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі оған сәйкес біртекті теңдеудің жалпы шешімі мен біртекті емес теңдеудің дербес шешімдерінің қосындысынан тұрады. y = + y *,мұндағы y - сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі, - біртекті теңдеудің жалпы шешімі (оны табуды алдыңғы тақырыпта қарастырғанбыз), y * - сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеудің дара шешімі, оны біртекті емес теңдеудің оң жағы f (x) функциясына ұқсас анықтаймыз

5.Қарапайым дифференциалдық теңдеу.Қарапайым дифференциалдық теңдеулер (ҚДТ) — бір тәуелсіз айнымалы тәуелді теңдеулерболып табылады; олар нысанын бар или қалдырды! немесе , онда — тәуелсіз айнымалы байланысты белгісіз функциясы (жиі дифференциалдық теңдеулер жүйесін айтуға, бұл жағдайда мүмкін вектор—функция), ~ х, премьер ~ х қатыстысаралануды білдіреді. Саны ~ N дифференциалдық теңдеудің реті деп аталады. Ең маңыздыбірінші және екінші ретті дифференциалдық теңдеулер іс жүзінде болып табылады. Ретті дифференциалдық теңдеу теңдеу пайда жоғары тәртібі туынды деп аталады