Доведення. Нехай 
. Шукаємо границю:
Нескінченно мала величина 
замінюється еквівалентною їй величиною 
. При цьому значення границі не змінюється. ¨
Означення. Нехай і 
— нескінченно малі величини. У разі, коли
говорять, що нескінченно мала величина b має порядок k відносно нескінченно малої величини a або скорочено: b — величина порядку k. Тоді
Величина 
— називається головною частиною нескінченно малої величини b .
Порівняємо нескінченно малі величини 
і 
при 
· 
Тоді
.
Отже, величина 
є нескінченно малою другого порядку мализни відносно х. Її головна частина дорівнює 
.
4.3.7. Шкала еквівалентних
нескінченно малих величин
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
Знайти границю:
Зауваження. У виразі, який містить суму та різницю, заміна нескінченно малих величин еквівалентними їм може іноді призвести до помилки.
Знайдемо границю
· Спосіб 1-й. Скориставшись формулою 
, запишемо:
.
· Спосіб 2-й. У чисельнику застосуємо формулу 
:
ВИСНОВОК. Спосіб 1-й помилковий. Якщо в сумі або різниці при заміні нескінченно малих їм еквівалентними взаємно знищуються малі вищого порядку, то така заміна неприпустима. ·
4.3.8. Властивості функцій
неперервних на відрізку
Теорема 1. (Больцано-Коші). Нехай функція 
неперервна на відрізку [ а; b ] і на кінцях його набуває значень різних знаків. Тоді на інтервалі (а; b) знайдеться точка с, в якій функція перетворюється на нуль.
Доведення. Припустивши, для визначеності, що 
(рис. 4.16, а), розіб’ємо відрізок [ а; b ] пополам. У точці 
значення функції f (x) може дорівнювати нулю. У такому разі теорему доведено. Якщо ця функція не перетворюється на нуль у зазначеній точці, то позначимо [ а 1; b 1] ту з половин даного відрізка, де на кінцях функція f (x) набуває значень різних знаків. Аналогічно відрізок [ а 1; b 1] також розіб’ємо пополам. Якщо в його середині функція перетворюється на нуль, то теорему доведено. Якщо в цій точці функція відмінна від нуля, то позначаємо [ а 2; b 2] ту з половин відрізка [ а 1; b 1], на кінцях якої набуває значень різних знаків. Міркуючи так, або дістанемо функцію, що стає нулем у середині одного з утворюваних відрізків, або утворимо нескінченну послідовність вкладених відрізків [ а; b ], [ а 1; b 1], [ а 2; b 2], ….
Довжина цих відрізків прямує до нуля. Отже, існує точка с, така що 
. За припущенням маємо 
тобто 
і 
. Це означає, що 
. ¨
Зауваження 1. Точок, в яких функція перетворюється на нуль, може бути кілька (рис. 4.16, б).
Рис. 4.16, б
2. Алгоритм, запропонований Коші, придатний для чисельного відшукання коренів функції.
Теорема 2 (Коші). Нехай функція у = f (x) неперервна на відрізку [ а; b ] і на його кінцях набуває різних значень. Позначимо 
і 
. Тоді при будь-якому С: А < C < B знайдеться точка с із [ a, b ], така що f (с) = С.
Доведення. Розглянемо допоміжну функцію 
. Вона неперервна як різниця неперервних функцій. Маємо:
Тоді за теоремою Больцано—Коші знайдеться значення с, для якого 
і 
¨
Теорема 3 (Вейєрштрасса). Якщо функція у = f (x) визначена і неперервна на деякому відрізку [ а, b ], то вона обмежена на цьому відрізку.
Доведення. Якщо функція у = f (x) неперервна на відрізку [ а, b ], то в кожній точці х 0 цього відрізка при деякому заданому 
знайдеться інтервал 
, де функція задовольняє не-
рівності
,
або
За теоремою Бореля із нескінченного покриття відрізка інтервалами завжди можна вибрати скінченне підпокриття, тобто існує скінченна множина точок 
з інтервалів 
, що покривають відрізок 
, таких що на кожному інтервалі виконується нерівність
Позначимо
За побудовою інтервалів виконується нерівність 
. Отже, функція обмежена. ¨
Розглянемо функцію 
Вона неперервна на інтервалі (0; 1], але не обмежена (рис. 4.18).
Рис. 4.18
Теорема 4 (Вейєрштрасса). Функція у = f (x), неперервна на відрізку [ а, b ], досягає на ньому свого найбільшого та найменшого значення.
Доведення. Міркуємо від противного. Нехай функція у = f (x) має точну верхню межу 
, але не досягає її, тобто при всіх х виконується нерівність 
.
Розглянемо функцію
.
Вона не перетворюється на нуль, тому вона неперервна і згідно з теоремою 3 обмежена. Існує число 
, таке що при всіх х, які належать відрізку 
, маємо: 
або 
.
Маємо суперечність. Адже М не є точною верхньою межею функції f (x) при будь-якому х. Отже, припущення не правильне, тобто неперервна функція досягає своєї точної верхньої межі. Це означає, що існує точка 
, в якій 
. Розглянемо функцію у = f (x). За доведеним вона досягає свого точного нижнього значення m при 
. ¨
Розглянемо функцію у = х на інтервалі (0; 1). Ця функція обмежена. Її значення мають точну верхню та точну нижню межі. Побудуємо графік (рис. 4.19).
Рис. 4.19
| Можна знайти   Але точок, в яких функція досягає найбільшого та найменшого значень, немає.
|
4.3.9. Рівномірна неперервність
Означення. Функція у = f (x) називається рівномірно неперервною на деякому проміжку І, якщо для довільного знайдеться 
, таке що для будь-яких х 1, х 2 Î І, які задовольняють умову 
, виконується нерівність 
Розглянемо неперервну функцію 
на проміжку (0; 1). Візьмемо довільне і спробуємо знайти , таке щоб за умови виконувалась нерівність 
. Дістанемо:
або 
Вираз 
за умови може бути як завгодно великим. Якщо значення 
достатньо малі, то нерівність 
не може виконуватися при всіх із (0, 1). Отже, ця функція не є рівномірно неперервною.
Зауваження. Поняття рівномірної неперервності пов’язане з проміжком, на якому розглядається функція («рівномірно» — це приблизно однаково).
Теорема 5 (Кантора). Якщо функція у = f (x) неперервна на відрізку [ а, b ], то вона рівномірно неперервна на ньому.
Доведення. Візьмемо довільне . Припустимо, що функція не є рівномірно неперервною, тобто при будь-якому знайдуться значення х 1, х 2 Î [ a, b ], такі що виконується нерівність
Візьмемо послідовність значень 
. При кожному значенні 
знаходимо значення аргументу 
такі що для 
маємо:
Послідовність значень 
— обмежена, тому знайдеться частинна послідовність 
що має границю с. Дістанемо:
Водночас має виконуватися нерівність 
Здобута суперечність означає, що припущення неправильне, а отже, функція f (x) рівномірно неперервна. ¨
