Теорема 2. Нескінченно малі величини, які входять до добутку та відношення, можна замінювати їм еквівалентними.

Доведення. Нехай . Шукаємо границю:

Нескінченно мала величина замінюється еквівалентною їй величиною . При цьому значення границі не змінюється. ¨

Означення. Нехай і — нескінченно малі величини. У разі, коли

говорять, що нескінченно мала величина b має порядок k відносно нескінченно малої величини a або скорочено: b — величина порядку k. Тоді

Величина — називається головною частиною нескінченно малої величини b .

Порівняємо нескінченно малі величини і при

·

Тоді

.

Отже, величина є нескінченно малою другого порядку мализни відносно х. Її головна частина дорівнює .

4.3.7. Шкала еквівалентних
нескінченно малих величин

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Знайти границю:

Зауваження. У виразі, який містить суму та різницю, заміна нескінченно малих величин еквівалентними їм може іноді призвести до помилки.

Знайдемо границю

· Спосіб 1-й. Скориставшись формулою , запишемо:

.

· Спосіб 2-й. У чисельнику застосуємо формулу :

ВИСНОВОК. Спосіб 1-й помилковий. Якщо в сумі або різниці при заміні нескінченно малих їм еквівалентними взаємно знищу­ються малі вищого порядку, то така заміна неприпустима. ·

4.3.8. Властивості функцій
неперервних на відрізку

Теорема 1. (Больцано-Коші). Нехай функція неперервна на відрізку [ а; b ] і на кінцях його набуває значень різних знаків. Тоді на інтервалі (а; b) знайдеться точка с, в якій функція перетворюється на нуль.

Доведення. Припустивши, для визначеності, що (рис. 4.16, а), розіб’ємо відрізок [ а; b ] пополам. У точці значення функції f (x) може дорівнювати нулю. У такому разі теорему доведено. Якщо ця функція не перетворюється на нуль у зазначеній точці, то позначимо [ а ₁; b ₁] ту з половин даного відрізка, де на кінцях функція f (x) набуває значень різних знаків. Аналогічно відрізок [ а ₁; b ₁] також розіб’ємо пополам. Якщо в його середині функція перетворюється на нуль, то теорему доведено. Якщо в цій точці функція відмінна від нуля, то позначаємо [ а ₂; b ₂] ту з половин відрізка [ а ₁; b ₁], на кінцях якої набуває значень різних знаків. Міркуючи так, або дістанемо функцію, що стає нулем у середині одного з утворюваних відрізків, або утворимо нескінченну послідовність вкладених відрізків [ а; b ], [ а ₁; b ₁], [ а ₂; b ₂], ….

Довжина цих відрізків прямує до нуля. Отже, існує точка с, така що . За припущенням маємо тобто і . Це означає, що . ¨

Зауваження 1. Точок, в яких функція перетворюється на нуль, може бути кілька (рис. 4.16, б).

Рис. 4.16, б

2. Алгоритм, запропонований Коші, придатний для чисельного відшукання коренів функції.

Теорема 2 (Коші). Нехай функція у = f (x) неперервна на відрізку [ а; b ] і на його кінцях набуває різних значень. Позначимо і . Тоді при будь-якому С: А < C < B знайдеться точка с із [ a, b ], така що f (с) = С.

Доведення. Розглянемо допоміжну функ­цію . Вона неперервна як різниця неперервних функцій. Маємо:

Тоді за теоремою Больцано—Коші знайдеться значення с, для якого і ¨

Теорема 3 (Вейєрштрасса). Якщо функція у = f (x) визначена і неперервна на деякому відрізку [ а, b ], то вона обмежена на цьому відрізку.

Доведення. Якщо функція у = f (x) неперервна на відрізку [ а, b ], то в кожній точці х ₀ цього відрізка при деякому заданому знайдеться інтервал , де функція задовольняє не-
рівності

,

або

За теоремою Бореля із нескінченного покриття відрізка інтервалами завжди можна вибрати скінченне підпокриття, тобто існує скінченна множина точок з інтервалів , що покривають відрізок , таких що на кожному інтервалі виконується нерівність

Позначимо

За побудовою інтервалів виконується нерівність . Отже, функція обмежена. ¨

Розглянемо функцію Вона неперервна на інтервалі (0; 1], але не обмежена (рис. 4.18).

Рис. 4.18

Теорема 4 (Вейєрштрасса). Функція у = f (x), неперервна на відрізку [ а, b ], досягає на ньому свого найбільшого та найменшого значення.

Доведення. Міркуємо від противного. Нехай функція у = f (x) має точну верхню межу , але не досягає її, тобто при всіх х виконується нерівність .

Розглянемо функцію

.

Вона не перетворюється на нуль, тому вона неперервна і згідно з теоремою 3 обмежена. Існує число , таке що при всіх х, які належать відрізку , маємо: або .

Маємо суперечність. Адже М не є точною верхньою межею функції f (x) при будь-якому х. Отже, припущення не правильне, тобто неперервна функція досягає своєї точної верхньої межі. Це означає, що існує точка , в якій . Розглянемо функцію у = f (x). За доведеним вона досягає свого точного нижнього значення m при . ¨

Розглянемо функцію у = х на інтервалі (0; 1). Ця функція обмежена. Її значення мають точну верхню та точну нижню межі. Побудуємо графік (рис. 4.19).

Рис. 4.19

Можна знайти Але точок, в яких функція досягає найбільшого та найменшого значень, немає.

4.3.9. Рівномірна неперервність

Означення. Функція у = f (x) називається рівномірно неперервною на деякому проміжку І, якщо для довільного знайдеться , таке що для будь-яких х ₁, х ₂ Î І, які задовольняють умову , виконується нерівність

Розглянемо неперервну функцію на проміжку (0; 1). Візьмемо довільне і спробуємо знайти , таке щоб за умови виконувалась нерівність . Дістанемо:

або

Вираз за умови може бути як завгодно великим. Якщо значення достатньо малі, то нерівність не може виконуватися при всіх із (0, 1). Отже, ця функція не є рівномірно неперервною.

Зауваження. Поняття рівномірної неперервності пов’яза­не з проміжком, на якому розглядається функція («рівномірно» — це приблизно однаково).

Теорема 5 (Кантора). Якщо функція у = f (x) неперервна на відрізку [ а, b ], то вона рівномірно неперервна на ньому.

Доведення. Візьмемо довільне . Припустимо, що функція не є рівномірно неперервною, тобто при будь-якому знайдуться значення х ₁, х ₂ Î [ a, b ], такі що виконується нерівність

Візьмемо послідовність значень . При кожному значенні знаходимо значення аргументу такі що для маємо:

Послідовність значень — обмежена, тому знайдеться частинна послідовність що має границю с. Дістанемо:

Водночас має виконуватися нерівність Здобута суперечність означає, що припущення неправильне, а отже, функція f (x) рівномірно неперервна. ¨