Доведення. Візьмемо довільне число 
і число N, таке що для 
виконується нерівність
.
Візьмемо частинну послідовність 
, коли 
. При 
виконується нерівність
.¨
Теорема 10 (принцип вибору Больцано–Вейєрштрасса). З будь-якої обмеженої послідовності можна вибрати збіжну частинну послідовність.
Доведення. Нехай усі члени послідовності містяться на відрізку [ x, b ]. Поділимо відрізок пополам. В одну його половину (або й в обидві) обов’язково потрапляє нескінченне число членів послідовності. Ту половину відрізка, яка містить нескінченне число членів послідовності, позначимо [ а 1, b 1]. Візьмемо в ній точку 
. Відрізок [ а 1, b 1] поділимо пополам і одну з половин, яка містить нескінченне число членів послідовності, позначимо [ а 2, b 2].
Виберемо в ній точку 
, причому 
. Далі поділимо відрізок [ а 2, b 2] пополам і позначимо половину, що містить нескінченне число членів послідовності, через [ а 3, b 3] та виберемо тут точку 
(
) і т. д. Дістанемо послідовність вкладених відрізків. Довжина n відрізків [ аn, bn ] дорівнює 
. Вона прямує до нуля при 
. За лемою про вкладені відрізки існує єдина точка с, така що 
при 
. Для всіх n виконується нерівність 
. За теоремою 7 про «охоплену» послідовність маємо
¨
Означення. Точна верхня межа границь усіх можливих частинних послідовностей з повної послідовності хn називається верхньою межею послідовності і позначається
.
Точна нижня межа границь зазначених частинних послідовностей називається нижньою межею послідовності і позначається
.
У будь-якої послідовності існують верхня та нижня межі.
Якщо послідовність не обмежена зверху, то
.
Якщо послідовність не обмежена знизу, то
.
Зауважимо, що необмежена послідовність не може мати границі.
Розглянемо послідовність 
, тобто
, і визначимо для неї верхню та нижню межі:
·
Розглянемо послідовність 
. Для неї можна знайти верхню та нижню межі:
·
4.1.10. Теорема Бореля
Розглянемо деяку точкову множину та множину інтервалів, що мають таку властивість: кожна точка даної множини належить хоча б одному з них. Тоді говорять, що маємо покриття множини інтервалів:
Якщо точка х належить інтервалу (a, b), то деякий окіл цієї точки також належить цьому інтервалу:
Теорема 11. З будь-якого нескінченного покриття відрізка інтервалами завжди можна вибрати скінченне підпокриття. Іншими словами: якщо існує нескінченна множина інтервалів, таких що кожна точка належить хоча б одному з них, то з цієї множини інтервалів можна вибрати скінченне число таких точок, щоб вони повністю покривали відрізок.
Доведення. Візьмемо відрізок [ a, b ], який покрито нескінченною множиною інтервалів. Припустимо, що не можна знайти скінченного підпокриття. Поділимо відрізок пополам. Ту з половин, яку не можна покрити скінченним числом інтервалів, позначимо [ a 1, b 1]. Якщо обидві половини відрізка [ a, b ] можна було б покрити скінченним числом інтервалів, то й весь відрізок можна було б покрити скінченним числом інтервалів. Поділимо відрізок [ a 1, b 1] пополам, і ту з половин, яку не можна покрити скінченним числом інтервалів, позначимо [ a 2, b 2]. Продовжуючи процес такого поділу, дістаємо послідовність вкладених відрізків [ an, bn ], довжина яких прямує до нуля. Для кожного з відрізків не можна знайти скінченного підпокриття. За лемою про вкладені відрізки в такому разі існує єдина точка с, точка, що 
.
Візьмемо інтервал (a, b), який містить точку с:
Знайдеться номер N, такий що при 
точки an належать інтервалу (a, b):
Тоді відрізок [ an, bn ] повністю покривається одним інтервалом. Припущення неправильне. Отже, відрізок [ a, b ] можна покрити скінченним числом інтервалів. ¨
Візьмемо проміжок (0, 1]. Його покриває така множина інтервалів:
.
Випишемо послідовність інтервалів:
;
Рис. 4.3
Ця множина інтервалів повністю покриває проміжок (0, 1], причому з неї не можна вилучити жодного інтервалу, оскільки при цьому не буде покриватися частина проміжку (0, 1]. Не існує скінченного покриття. ·
Зауваження. Із прикладу випливає, що теорему Бореля можна застосовувати лише до відрізків, а до проміжків іншого виду вона не застосовна.·
4.1.11. Принцип збіжності Больцано–Коші
