Можливі варіанти розриву функцій в точці

Неперервність функції

4.3.1. Основні поняття

Означення (Коші)

Функція у = f (x) називається неперервною в точці х ₀ функцією, якщо ця функція f визначена в точці х ₀ і для кожного (достатньо малого) числа

існує число

, таке що при

виконується

або

f (x) — неперервна в точці х ₀, якщо

Відношення можна переписати у вигляді

Графічна ілюстрація

Рис. 4.9

Пояснення. Функція y = f (x) — неперервна в точці х ₀, якщо при будь-якому х з інтервалу значення f (x) лежать у смузі .

Дамо означення неперервності функції, еквівалентні означенню Коші

Означення. Функція y = f (x) називається неперервною в точці х₀, якщо

1) f (x) визначена в точці х ₀;

2) границя зліва в точці х ₀дорівнює границі справа в цій точці і дорівнює значенню в ній функції (рис. 4.10):

Рис. 4.10

Означення. Функція у = f (x) називається неперервною в точці х ₀, якщо нескінченно малому приросту аргументу відповідає нескінченно малий приріст функції .

Приклад. Довести за означенням, що функції y = x ² і y = sin x неперервні в будь-якій точці х ₀ Î R.

· 1. Надамо аргументу х ₀ Î R приросту D х, тоді .

Якщо D х — нескінченно мала величина, то D у — також нескінченно мала величина, оскільки коли D х ® 0, то і D у ® 0. Отже, y = x ²— неперервна функція при будь-якому х ₀ Î R.

2. Надамо аргументу х ₀ Î R приросту D х:

Якщо D х ® 0, то D у ® 0. Отже, функція y = sin x неперервна функція при будь-якому х ₀ Î R.

Означення. Функція у = f (x) неперервна на проміжку (а, b), якщо вона неперервна в кожній точці цього проміжку.

Означення. Функція у = f (x) неперервна на відрізку [ а, b ], якщо вона неперервна на проміжку (а, b) і неперервна в точці х = а справа і в точці х = b зліва.

Означення. Функція у = f (x) називається неперервною в точці х ₀ справа (зліва), якщо

Функція

неперервна в точці х ₀ зліва (рис. 4.11).

Рис. 4.11

Теорема 1. Усі елементарні функції неперервні на інтервалах визначеності.

4.3.2. Властивості неперервних функцій

Теорема 2. Нехай функції у = f (x) i y = g (x) — неперервні на інтервалі (а, b). Тоді їх наведені далі комбінації також неперервні:

1) f (x) ± g (x); 3) const g (x);

F(x) g(x); 4) f(x) / g(x), g(x) ¹ 0.

Теорема 3. Якщо функція у = f (x) неперервна в будь-якій точці х ₀ і u = F (y) неперервна в точці f (x ₀), то їх композиція
f о F — cкладена функція і u = F (f (x)) — неперервна в точці х₀.

Доведення. За означенням

Довести, що функція

неперервна в будь-якій точці х.

· Функція у є композицією двох неперервних функцій

Функція f (x) і F (x) неперервна згідно з теоремою 1, а їх композиція f о F неперервна за теоремою 3. ·

4.3.3. Розриви функції

Означення. Функція у = f (x), яка не є неперервною в точці х ₀, називається розривною в цій точці.

Можливі варіанти розриву функцій в точці

(рис. 4.12)

Рис. 4.12

(рис. 4.13).

Рис. 4.13

(рис. 4.14)

Рис. 4.14

Означення.	Точка х ₀ називається точкою розриву першого роду функції у = f (x), якщо існують скінченні границі і при цьому:
	1. або 2. або 3. або	неусувний розрив 1-го роду;
	4. — усувний розрив 1-го роду

Означення.

Точка х ₀ називається точкою розриву 2-го роду функції у = f (x), якщо одна із границь

не існує або нескінченна.

4.3.4. Методика дослідження
функції у = f (x) на неперервність

1. Знаходимо точку х ₀ — «підозрілу» на розрив. Це може бути точка, в якій функція невизначена або змінює закон визначеності.

2. Визначаємо інтервали неперервності функції.

3. Обчислюємо

4. Робимо висновок згідно з теоремами (якщо такі границі існують), або використовуючи означення точок розриву.

Дослідити на неперервність функцію

Рис. 4.15

1. Точка х ₀ = 1 є «підозрілою» на розрив, оскільки в ній функція змінює закон визначеності (на проміжку (– ¥; 1) маємо у = х, на проміжку (1, +¥) — іншу залежність: у = х + 1).

2. Функція неперервна на проміжках (– ¥; 1) і (1; + ¥).

3. Знаходимо