1. Если материальная точка M движется неравномерно по пути, заданному функцией 
, то мгновенная скорость движения в момент времени 
есть производная от пути S по времени t:
(11)
2. Если функцией 
описывается процесс изменения скорости неравномерного движения в зависимости от времени, то мгновенное ускорение материальной точки в момент времени есть производная от скорости 
по времени t:
(12)
3. Если 
– функция, описывающая процесс изменения количества теплоты, сообщаемой телу при нагревании его до температуры T, то теплоёмкость тела есть производная от количества теплоты Q по температуре T:
4. Линейная плотность неоднородного тонкого стержня в точке 
есть производная от массы m по длине l:
5. Мгновенное значение электродвижущей силы индукции равно скорости изменения магнитного потока, т.е. производной от магнитного потока 
по времени 
6. Сила тока в колебательном контуре в момент времени равна производной заряда 
по времени 
:
Пример 1. Написать уравнение касательной и нормали, проведённой к графику функции 
в точке с абсциссой x = 2.
Решение. Для нахождения уравнения касательной воспользуемся формулой (9). Сначала найдём ординату точки касания 
. Для этого значение 
подставим в уравнение функции:
Для нахождения углового коэффициента найдём производную 
, используя формулу дифференцирования дроби:
Найдём значение производной при :
Подставляем найденные значения в формулу (9), получаем уравнение касательной:
, т.е. 
Чтобы написать уравнение нормали, воспользуемся формулой (10):
Получим, что уравнение нормали, проведенной к заданной кривой в заданной точке имеет вид 
Пример 2. Определить, в какой точке кривой 
касательная наклонена к оси абсцисс под углом 45°.
Решение. Так как тангенс угла наклона касательной к оси абсцисс равен значению производной в точке касания, найдём производную функции:
.
По условию 
Значит, 
.
Отсюда
, 
, 
.
Получили два значения абсциссы точки касания:
, 
,
т.е. существует две точки касания, в которых касательная образует угол 
с осью 
.
Найдём соответствующие ординаты точек касания, подставляя значения 
в формулу функции:
Приходим к ответу: в точках 
и 
касательная к заданной кривой образует с осью угол 
Пример 3. Найти острый угол между параболами 
и 
в точке их пересечения, имеющей отрицательную абсциссу.
Решение. Угол между двумя кривыми в точке их пересечения - это угол между касательными к этим кривым, проведёнными в точке их пересечения. Тангенс этого угла вычислим по формуле:
(13)
где 
и 
-угловые коэффициенты заданных парабол.
Найдём точку пересечения этих парабол. Для этого решим систему:
Отсюда 
Условие задачи удовлетворяет точка 
Найдём коэффициент 
Аналогично найдём :
Воспользуемся формулой и получим:
,
откуда 
Пример 4. Тело движется прямолинейно по закону 
Найти скорость движения тела в тот момент, когда ускорение равно нулю.
Решение. Согласно формуле (11) скорость есть производная пути, а, согласно формуле (12), ускорение есть производная от скорости.
Последовательно вычислим производные:
Найдём момент времени, когда ускорение равно нулю:
Вычислим скорость движения тела в момент времени 
