Если 
и 
– дифференцируемые функции своих аргументов, то производная сложной функции 
вычисляется по формуле
. (8)
Обобщенная таблица производных:
1) 
, где 
,
в частности
а) 
,
б) 
;
2) 
где 
,
в частности
;
3) 
где 
,
в частности
;
4) 
;
5) 
;
6) 
;
7) 
;
8) 
;
9) 
;
10) 
;
11) 
;
12) 
;
13) 
;
14) 
;
15) 
.
Если для функции 
существует обратная функция 
, которая имеет производную 
, то верна формула
. (9)
Пример 1: Найти производную функции:
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
Решение. 1.Функцию необходимо рассматривать как сложную функцию, где 
и 
-- дифференцируемые функции своих аргументов. Тогда согласно формуле (8) и соответствующим формулам таблицы производных, получим:
2. Сначала преобразуем функцию, используя свойства логарифмов:
Вычисляем производную, используя правило дифференцирования суммы функций, формулу (8) и обобщенную таблицу производных:
3. Рассмотрим функцию как 
, где 
– также сложная функция. Применив формулу (8) дифференцирования сложной функции, обобщенную таблицу производных, а также правило дифференцирования частного двух функций, получим:
4. Пусть 
, тогда 
. Согласно формуле (8), получаем:
5. Рассмотрим функцию как 
, где 
.
Функцию 
можно представить в виде 
, где 
. Тогда:
6. Перед тем как дифференцировать функцию, преобразуем выражение, пользуясь свойствами логарифма:
Продифференцируем полученное выражение по формулам (3), (4), (5), (8) и соответствующим формулам таблицы производных:
Применив далее формулы тригонометрии, окончательно получим:
Пример 2. Вычислить 
, если 
.
Решение
Это сложная функция с промежуточным аргументом 
Дифференцируем её по формуле (8). При этом пользуемся первой формулой обобщенной таблицы производных при условии 
.
.
Вычислим значение производной при 
:
Пример 3. Вычислить 
, если 
Решение
Преобразуем функцию, используя свойства логарифмов:
.
Теперь продифференцируем выражение по формулам (3), (5), (8) и соответствующим формулам таблицы производных. Функцию 
рассмотрим как 
, где 
.
Теперь вычислим
и 
Тогда 
Задания для самостоятельного решения
I уровень
1.1. Найдите производную функции:
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
;
7) 
; 8) 
;
9) 
; 10) 
;
11) 
; 12) 
;
13) 
; 14) 
;
15) 
; 16) 
;
17) 
; 18) 
.
1.2. Найдите производную функции при данном значении аргумента:
1) 
;
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
1.3. Решите неравенство 
, где 
и 
.
II уровень
2.1. Вычислите 
, если
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
;
7) 
;
8) 
; 9) 
;
10) 
11) 
12) 
13) 
14) 
.
2.2. Вычислите производную функции при заданном значении аргумента:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
;
5) 
;
6) 
;
7) 
;
8) 
.
2.3. Вычислите значение производной 
, предварительно упростив выражение:
1) 
2) 
3) 
2.4. Вычислите производную функции, предварительно упростив выражение:
1) 
; 2) 
;
3) 
;
4) 
.
2.4. Известно, что 
и 
. Найдите значение выражения 
где 
.
2.5. Найдите производную функции 
если 
.
2.6. Найдите производную функции 
если 
.
2.7. Докажите тождество:
а) 
если 
;
б) 
если 
.
Ш уровень
3.1. Найдите производную функции:
1) 
; 2) 
;
3) 
;
4) 
.
3.2. Найти производную функции, предварительно преобразовав выражение по тригонометрическим формулам:
1) 
; 2) 
;
3) 
;
4) 
;
5) 
.
6) 
.
3.3. Дана функция 
Определите, чему равно значение выражения 
.
3.4. Даны функции 
и 
. Найдите количество значений 
на отрезке 
, для которых выполняется равенство 
.
