Задания для самостоятельного решения. Правила дифференцирования

Производная функции

Понятие производной.

Правила дифференцирования. Таблица производных

 

Пусть определена в точке и в некоторой ее окрестности.

Пусть точка рассматриваемой окрестности, то приращением аргумента в точке называется величина , приращением функции – величина . Если выразить , то .

Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю, при условии, что предел существует.

Производную в точке обозначают . По определению

, (1)

или, что то же,

, (2)

при условии, что пределы (1),(2) существуют.

Функция, имеющая производную в точке, называется дифференцируемой в этой точке. Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Производная функции в точке – это число. Если функция дифференцируема на некотором множестве X из ее области определения, то также является функцией (ее обозначают также ).

 

Основные правила дифференцирования

Пусть -дифференцируемые функции. Справедливы формулы:

; (3)

; (4)

; (5)

; (6)

. (7)

 

Таблица производных основных элементарных функций

1) , где ,

в частности

а) ,

б) ;

2) где ,

в частности

;

3) где ,

в частности

;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) ;

11) ;

12) ;

13) ;

14) ;

15) .

Пример 1: Найти производную функции в точке , пользуясь определением, если:

1) , ;

2) .

Решение. 1. Используем определение производной в виде формулы (1):

Поскольку по условию , то

2. По формуле (1) получаем

Далее, применив тригонометрическую формулу , получим:

Так как при имеем и, применив формулу первого замечательного предела, получаем:

Поскольку по условию , то

Пример 2: Вычислить производную функции , пользуясь определением производной.

Решение. Пусть произвольная фиксированная точка из . Пользуясь формулой (1), имеем:

Таким образом, операция дифференцирования ставит в соответствие функции , функцию .

Пример 3. Найти производную функции:

1) ;

2) ; 3) .

Решение. 1. Дифференцируем функцию и используем формулы (4), (5) и таблицу производных, получаем:

2. Дифференцируем функцию по формулам (3), (4), (6) и соответствующим формулам таблицы производных:

3. Дифференцируем функцию по формулам (7), (5), (3) и первой формуле таблицы производных:

Пример 4. Вычислить производную функции, используя правила дифференцирования и таблицу производных:

1) 2) ;

3)

Решение. 1. Преобразуем функцию, пользуясь свойствами логарифма:

Полученное выражение дифференцируем по формулам (4), (5), (6) и формулам таблицы производных:

 

2. Перед дифференцированием преобразуем выражение, пользуясь свойствами логарифма:

Дальше воспользуемся формулами (3), (4), (5) и таблицей производных:

3. Так как непосредственное дифференцирование вызывает значительные трудности, предварительно упростим выражение по формулам тригонометрии:

Полученное выражение дифференцируем по формуле (7) и соответствующим формулам таблицы производных.

Задания для самостоятельного решения

 

I уровень

1.1.Пользуясь определением, найдите производную функции:

1) 2)

1.2.Найдите производную функции:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) .

1.3. Найдите , если

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) .

1.4.Вычислите:

1) , если: ;

2) если

;

3) если .

1.5. Вычислите , если

1.6.Вычислите , если .

1.7. Решите уравнение:

1) , где

2) , где .

 

II уровень

2.1. Найдите производные , предварительно преобразовав выражение:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

2.2. Для функции найдите

2.3.Известно, что . Найдите .

2.4. Решите неравенство , где .

 

III уровень

 

3.1. Вычислите , если:

1) ,

2) , .

3.2. Пользуясь определением производной, найдите , где

3.3. Найдите значение производной функции в точке , если .

3.4.Найдите сумму значений производной функции в точках x = 1 и x = 0.