Производная функции
Понятие производной.
Правила дифференцирования. Таблица производных
Пусть 
определена в точке 
и в некоторой ее окрестности.
Пусть 
точка рассматриваемой окрестности, то приращением аргумента в точке называется величина 
, приращением функции – величина 
. Если выразить 
, то 
.
Производной функции 
в точке 
называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю, при условии, что предел существует.
Производную в точке обозначают 
. По определению
, (1)
или, что то же,
, (2)
при условии, что пределы (1),(2) существуют.
Функция, имеющая производную в точке, называется дифференцируемой в этой точке. Операция нахождения производной называется дифференцированием.
Производная функции в точке – это число. Если функция дифференцируема на некотором множестве X из ее области определения, то 
также является функцией (ее обозначают также 
).
Основные правила дифференцирования
Пусть 
-дифференцируемые функции. Справедливы формулы:
; (3)
; (4)
; (5)
; (6)
. (7)
Таблица производных основных элементарных функций
1) 
, где 
,
в частности
а) 
,
б) 
;
2) 
где 
,
в частности
;
3) 
где 
,
в частности
;
4) 
;
5) 
;
6) 
;
7) 
;
8) 
;
9) 
;
10) 
;
11) 
;
12) 
;
13) 
;
14) 
;
15) 
.
Пример 1: Найти производную функции 
в точке , пользуясь определением, если:
1) 
, 
;
2) 
.
Решение. 1. Используем определение производной в виде формулы (1):
Поскольку по условию , то 
2. По формуле (1) получаем
Далее, применив тригонометрическую формулу 
, получим:
Так как при 
имеем 
и, применив формулу первого замечательного предела, получаем:
Поскольку по условию 
, то 
Пример 2: Вычислить производную функции 
, пользуясь определением производной.
Решение. Пусть произвольная фиксированная точка из 
. Пользуясь формулой (1), имеем:
Таким образом, операция дифференцирования ставит в соответствие функции 
, 
функцию 
.
Пример 3. Найти производную функции:
1) 
;
2) 
; 3) 
.
Решение. 1. Дифференцируем функцию и используем формулы (4), (5) и таблицу производных, получаем:
2. Дифференцируем функцию по формулам (3), (4), (6) и соответствующим формулам таблицы производных:
3. Дифференцируем функцию по формулам (7), (5), (3) и первой формуле таблицы производных:
Пример 4. Вычислить производную функции, используя правила дифференцирования и таблицу производных:
1) 
2) 
;
3) 
Решение. 1. Преобразуем функцию, пользуясь свойствами логарифма:
Полученное выражение дифференцируем по формулам (4), (5), (6) и формулам таблицы производных:
2. Перед дифференцированием преобразуем выражение, пользуясь свойствами логарифма:
Дальше воспользуемся формулами (3), (4), (5) и таблицей производных:
3. Так как непосредственное дифференцирование вызывает значительные трудности, предварительно упростим выражение по формулам тригонометрии:
Полученное выражение дифференцируем по формуле (7) и соответствующим формулам таблицы производных.
Задания для самостоятельного решения
I уровень
1.1.Пользуясь определением, найдите производную функции:
1) 
2) 
1.2.Найдите производную функции:
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
;
7) 
; 8) 
.
1.3. Найдите 
, если
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
.
1.4.Вычислите:
1) 
, если: 
;
2) 
если 
;
3) 
если 
.
1.5. Вычислите 
, если 
1.6.Вычислите 
, если 
.
1.7. Решите уравнение:
1) 
, где 
2) , где 
.
II уровень
2.1. Найдите производные 
, предварительно преобразовав выражение:
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
.
2.2. Для функции 
найдите 
2.3.Известно, что 
. Найдите 
.
2.4. Решите неравенство 
, где 
.
III уровень
3.1. Вычислите 
, если:
1) 
, 
2) 
, 
.
3.2. Пользуясь определением производной, найдите , где
3.3. Найдите значение производной функции 
в точке 
, если 
.
3.4.Найдите сумму значений производной функции 
в точках x = 1 и x = 0.
