Отыскание пары чисел q и r для заданных чисел а и в, для которых выполняется равенство а=в·q+r называется делением с остатком числа а на число в.
Теорема. Для любой пары чисел а и в существует единственная пара чисел q и r, для которых выполняется равенство а=в· q+r 0≤r<в. Доказательство:1) Докажем, что если деление с остатком существует, то r<в. При делении а на в возможны три случая: а) а=в, тогда в·1+0, где q=1, r=0, б) а<в, тогда а=в·0+а, где q=0, r=а, в) а>в, тогда можно найти целый ряд чисел, которые являются произведением в·q, в·1, в·2, в·3, в·4, в·q, в· (q+1). И в данном случае а либо равно одному из перечисленных чисел ряда, тогда выполняется деление на целое число, либо расположено между двумя числами, тогда выполняется деление с остатком. Пусть а расположено между числами: в·q≤а<в· (q+1). Вычтем из обеих частей неравенства в·q. Получим 0≤а-в·q<в. Если обозначить разность (а- в·q) за r, то получим 0≤ r<в. Получили а=в·q+r, r<в,где q - неполное частное, r – остаток от деления числа а на число в. Докажем, что если деление с остатком существует, то пара чисел q и r определяется единственным образом. Допустим противное. Пусть существуют две пары чисел q и r – q1 и r1. а=в·q1+r1 и а =в·q2+r2; в·q1+r1=в·q2+r2 в·q1-в·q2=r2-r1 в(q1-q2)=r2-r1. Так как в левой части равенства есть множитель в, то произведение в(q1-q2) делится на в. Если левая часть равенства делится на в, то и правая должна делится на в, т.е (r2-r1) должна делится на в. Так как r1 <в и r2 <в, то и (r2 –r1)<в. Получили, что меньшее число должно разделиться на большее. Такое деление существует только тогда, когда делимое равно 0. r2 –r1 =0 r2 =r1. Если остатки равны, то подставив их значение в равенство в·q1 +r1 =в·q2 +r2 q1 =q2. Показали, что r и q находятся единственным образом.
24. Вычитание и деление в аксиоматической теории, свойства. Вычитание и деление в аксиоматической теории вводится через введенные ранее операции умножение и сложение. Разностью натуральных чисел а и в называется натуральное число с, такое, что а=в+с. Теорема: разность натуральных чисел существует, только тогда, когда а>в. Доказательство. 1) докажем, что если а>в, то разность а-в существует. По условию а>в, а значит по определению отношения «больше» существует натуральное число с, такое, что а=в+с. Фактически это значит, что число с всегда существует, а из равенства а=в+с следует по определению разности, что существует натуральное число с=а-в. 2) Докажем, что если существует разность а-в, то а>в. По определению разности чисел а и в существует такое натуральное число с, что выполняется равенство а=в+с, отсюда по определению отношения «больше» следует что а>в.
Теорема. Если разность а-в существует, то она находится единственным образом. Доказательство. Допустим противное: пусть
а-в=с | отсюда по определению разности получается а=в+с | в+с=в+с1
а-в=с1 | а=в+с1 |
Из свойства аддитивности суммы получаем с=с1, т.о разность находится единственным образом.
Свойства разности. 1. Вычитание суммы из числа. а-(в+с)=(а-в)-с. Доказательство: обозначим разность а-(в+с)= к, тогда по определению разности
а=к+(в+с)=к+(с+в)=(к+с)+в а-в=к+с Þ к =(а-в)-с а-(в+с)=(а-в)-с
2. Вычитание числа из суммы: (а+в)-с=а+(в-с). Обозначим разность в-с=х, в=с+х (а+в)-с=(а+(с+х))-с=(а+с+х)-с=а+х+с-с=а+х=а+(в-с)
3. Вычитание разности из числа. а-(в-с)=(а-в)+с
4. Вычитание суммы из суммы. (а+с)-(в+с)=а-в
5. Вычитание разности из разности. (а-с)-(в-с)=а-в
Частным натуральных чисел а и в называется натуральное число с, удовлетворяющее условию: а=в*с.
Деление часто называют операцией, обратной умножению.
Теорема. Для того, чтобы существовало частное двух натуральных чисел а и в необходимо, чтобы а≥в. Данный признак не является достаточным, т.е. из условия а≥в не всегда находится а и в.
Доказываем: 1) докажем, что если частное существует, то а≥в. По условию частное двух чисел существует, тогда по определению частного, выполняется равенство а+в*с, где с≥1. Домножим последнее неравенство на в, т.к в число натуральное, то знак неравенства сохранинся. в·с≥1·в в·с≥в а≥в.
2) Докажем, что если частное а:в существует, то оно находится единственным образом. Допустим противное, пусть существуют два числа с1 и с2, которые являются частным чисел а и в. тогда по определению частного
а=в·с1 а=в·с2 Þ в·с1=в·с2Þс1=с2.
Свойства деления. 1. Деление суммы на число: (а+в):с=а:с+в:с.
Доказываем. Из условия равенства Þ, что существует частное чисел а и с, в и с. Пуст а:с=х в:с=у. По определению частного а=с·х в=с·у. Найдем сумму а и в. а+в=с·х+с·у по дистрибутивному свойству с· (х+у). Отсюда по определению частного (а+в):с=х+у (а+в):с=а:с+в:с.
2. Деление разности на число: (а-в):с=а:с-в:с. Докажем по аналогии деления суммы на число, заменив + на -.
3. Деление произведения на число (а·в):с=(а:в)·в.
Существуют и другие свойства.
4. (а:в)·(с:д)=(а·с):(в·д) 5. (а:в):с=а:(в·с) 6. а:(в·с)=(а:в):с 7. а:(в:с)=(а:в)·с
25. Признаки делимости на 2 и 5, на 3 и 9, на 4 и 25. Любое натуральное число можно представить в виде суммы разнорядных слагаемых:
а=ан·10н+ан-1·10н-1+ан-2·10н-2+…а2·102+а1·101+а0·100.
В данной записи ан, ан-1, ан-2,..а0 – это цифры в записи данного числа, а 10н, 10н-1, …100 – разрядные числа (или разрядные единицы).
Признак делимости на 2 и 5. Если число, обозначаемое последней цифрой в записи данного числа делится на 2 или 5, то и все число разделится на 2 или5. Доказательство. Запишем данное число а в виде суммы разрядных слагаемых: а=ан·10н+ан-1·10н-1+ан-2·10н-2+…а2·102+а1·101+а0·100.. В данной сумме каждое слагаемое, кроме последнего, содержит степень числа 10, а значит каждое из этих слагаемых, будет делиться на 2 или 5. Последнее слагаемое а0*100=а0*1=а0 есть последняя цифра в записи данного числа. И если число, обозначаемое последней цифрой в записи данного числа, будет делиться на 2 или 5, то по достаточному признаку делимости и все число будет делиться на 2 или 5.
Признак делимости на 4 и 25. Если число, образованное двумя последними цифрами в записи данного числа а, делится на 4 или 25, то и все число будет делиться на 4 и 25. Доказательство. Пусть дано число а. Представим его в виде суммы разрядных слагаемых
а=ан·10н+ан-1·10н-1+ан-2·10н-2+…а2·102+а1·101+а0·100.
В данной сумме каждое слагаемое кроме последних двух содержит степень числа 10, которая будет делиться на 4 или 25. Последние два слагаемых а1*101+а0 есть число записанное двумя последними цифрами в записи данного числа а, а значит, если сумма а1*101+а0 делится на 4 или 25, то и все число а будет делиться на 4 или 25.
Признак делимости на 3. Если сумма цифр в записи данного числа делится на 3, то и все число будет делиться на 3. Доказательство. Пусть дано число а. Представим его в виде суммы разрядных слагаемых:
а=ан·10н+ан-1·10н-1+ан-2·10н-2+…а2·102+а1·101+а0·100.
Рассмотрим разрядные единицы или степени числа 10 и представим каждое из них по теореме делимости с остатком в виде равенств.
100=0·3+1
101=3·3+1
102=33·3+1
103=333·3+1
10н=33…3*3+1
Заменим в данном числе каждую степень числа 10 на полученные суммы:
а=ан·(333… н раз 3·3+1)+ан-1· (33… н-1 раз 3·3+1)+…+а2· (33·3+1)+а1· (3·3+1)+а0· (0·3+1)=(ан·333… н раз 3·3+ан-1·33… п-1 раз 3·3+а2·33·3+а1·3·3+а0·0·3)+
(ан+ан-1+…+а2+а1+а0)
первое слагаемое в данной сумме, записанное в первой скобке, будет делиться на 3 по достаточному признаку делимости суммы, т.к. каждое из слагаемых, записанных в первой скобке, содержит множитель 3 и по достаточному признаку делимости произведения будет делиться на 3. Значит, для того чтобы все число а делилось на 3 достаточно, чтобы второе слагаемое, записанное во второй скобке, делилось на 3. Это второе слагаемое есть сумма цифр в записи данного числа.
Признак делимости на 9. Если сумма цифр в записи данного числа делится на 9, то и все число делится на 9. Доказательство. Пусть дано число а. Представим его в виде суммы разрядных слагаемых.
а=ан·10н+ан-1·10н-1+ан-2·10н-2+…а2·102+а1·101+а0·100.
Рассмотрим разрядные единицы (степень числа 10). Каждая разрядная единица при делении на 9 дает в остатке 1, тогда по теореме о делимости с остатком, каждую степень числа 10 представим в виде равенства:
100=0·9+1
10=9+1
100=99+1
1000=999+1
10н =99…н раз 9+1
Заменим степень числа 10 полученными равенствами, тогда:
а=ан·(99… н раз 9+1)+ан-1·(99… н-1 раз 9+1)+…+а2·(99+1)+а1·(9+1)+а0·(0·9+1)=ан·99… н раз 9+ан-1·99… н-1 раз 9+а2·99+а1·9+а0·0·9)+(ан+ан-1+…+а2+а1+а0)
По достаточному признаку делимости произведения каждое слагаемое записанное в первой скобке делится на 9, следовательно по достаточному признаку делимости суммы все выражение записанное в первой скобке, будет делиться на 9. Значит, для того, чтобы все число делилось на 9 необходимо и достаточно, чтобы выражение, записанное во второй скобке, делилось на 9. Это выражение есть сумма цифр в записи данного числа.
27. Отношение делимости во множестве целых неотрицательных чисел. Свойства делимости. Число а находится в отношении делимости, если существует натуральное число с такое, что а=в*с. Теорема. Отношение делимости является отношением нестрогого порядка. Доказательство. Чтобы доказать, что отношение делимости является отношением нестрогого порядка следует доказать, что оно рефлексивно, ассиметрично, транзитивно. 1) Докажем рефлексивность. а находится в отношении делимости с а (а:а). По определению делимости существует такое натуральное число с=1, а=а*1, а значит свойство рефлексивности выполняется. 2). Докажем, что отношение делимости ассиметрично. а:в, в:а, то а=в. Если а находится в отношении делимости с в (а:в), то существует с, которое а=в*с. Если в:а, то по определению делимости существует натуральное число к, такое, что в=а*к.
а=в*с=(а*к)*с=а*(к*с) это возможно если к*с=1→к=1 с=1
а=в*1 а=в
в=а*1 в=а
3). Докажем, что отношение делимости транзитивно а:в, в:с, то а:с. Если а:в, то существует такое натуральное число д, где а=в*д. Если в:с, то существует такое натуральное число к, что в=с*к а=(с*к)*д=с*(к*д). Так как к и д натуральные числа, то их произведение есть число натуральное. Обозначим произведение чисел к и д черезм (к*д=м). а=с*м, м принадлежит N, то по определению отношения делимости а находится в отношении делимости с с.
Теорема. Достаточный признак делимости суммы. Если каждое слагаемое в заданной сумме делится на число в, то и вся сумма будет делиться на это число. Доказательство. Пусть дана сумма чисел S=а1+а2+а3+…+ан.
а1:в, существует q1, где а=в*q1
а2:в, существует q2, где а=в*q2
ан:в, существует qн, где а=в*qн
S=вq1+вq2+…+вqн=в(q1+q2+…+qн), так как q1, q2, qн - натуральные числа, то их сумма число натуральное. Обозначим ее как q, тогда получим S=в*q, ф принадлежит N. По определению делимости S:в (S кратно в).
Теорема. Достаточный признак делимости разности. Если уменьшаемое и вычитаемое делится на данное число, то вся разность будет на это число делиться.
Дано: а:в, с:в, доказать (а-с):в. Если а:в,, то а=в*q1, если с:в, то с=в*q2. Найдем разность (а-с)=вq1-вq2=в(q1-q2).Так как q1 и q2 числа натуральные, то их разность есть число натуральное. Обозначим эту разность q (а-с)=вq, где q принадлежит N, тогда по определению делимости получим, что разность а и с находится в отношении делимости числа в.
Теорема. Если в сумме одно слагаемое не делится на число в, а все остальные слагаемые на это число делится, то и вся сумма на данное число делиться не будет.
S=а1+а2+…+ан+с. Числа а1, а2, ан делятся на заданное число в, а слагаемое с на число в не делится. Докажем, что вся сумма не делится на в. Допустим противное. Пусть S:в, преобразуем сумму в разность с=S-(а1+а2+…+ан). В данной разности сумма делится на в по предположению, (а1+а+…+ан) - по достаточному признаку делимости суммы, т.к по условию теоремы каждое слагаемое а1,а2….ан:в. Получим, что по достаточному признаку делимости разности число с: в, а это не возможно, т.к по условию теоремы число с не делится на в. Наше предположение не верно, а значит сумма на в не делится.
Теорема. Достаточный признак делимости произведения. Если в произведении один из множителей делится на заданное число, то и все произведение будет делиться на заданное число. Дано: а:с, доказать (а*в):с. Если а:с→, что существует натуральное число к, что а=с*к, к принадлежит N. Найдем произведение а и в. а*в=(с*к)*в=с*(к*в). Получили, что по определению делимости произведение чисел а и в делится на с, т.к существует такое натуральное число (к*в)=м, что а*в=с*м.
Теорема. Необходимый и достаточный признак делимости суммы. Если сумма остатков r1 и r2, получаемых от деления чисел а и в на число с делится на с, то и сумма а+в будет на с делится. а=с*q1+r1 в=с*q2+r2. Дано: (r1+r2):с, доказать (а+в):с.
а+в=(сq1+r1)+(сq2+r2)=(сq1+сq2)+(r1+r2)=с(q1+q2)+(r1+r2). с(q1+q2) – первое слагаемое. Оно делится на с по достаточному признаку делимости произведения. (r1+r2) – второе слагаемое, оно делится на с из условия теоремы. Тогда по достаточному признаку делимости суммы получаем, что (а+в):с. Докажем обратное. Дано: (а+в):с, доказать (r1+r2):с. (а+в)=(сq1+r1)+(сq2+r2)=(сq1+сq2)+(r1+r2)=с(q1+q2)+(r1+r2). Найдем (r1+r2) из полученного равенства (r1+r2)=(а+в)-с(q1+q2) (а+в):с – дано с(q1+q2):с – по достаточному признаку делимости произведения, тогда по достаточному признаку делимости разности сумма (r1+r2):с.
теорема. Необходимый и достаточный признак делимости разности. Если разность остатков r1 и r1, получаемых от деления чисел а и в на число с делится на это число, то и разность чисел а и в будет делиться на число с. Дано (r1-r2):с, доказать (а-в):с.
а-в=(сq1+r1)-(сq2+r2)=(сq1-сq2)+(r1-r2)=с(q1-q2)+(r1-r2) с(q1-q2) – делится на с по достаточному признаку делимости произведения. (r1-r2) – делится на с по условию. Следовательно по достаточному признаку делимости суммы (а-в) также будет делиться на с. Докажем обратное. Дано (а-в):с, доказать (r1-r2):с (а-в)=(сq1+r1)-(сq2+r2)=(сq1-сq2)+(r1-r2)=с(q1-q2)+(r1-r2) r1-r2=(а-в)-с(q1-q2). В данной разности уменьшаемое делится на с по условию, вычитаемое делится на с по достаточному признаку делимости произведения. Значит по достаточному признаку делимости разности разность остатков r1 и r2 будет делиться на с.
Теорема. Необходимый и достаточный признак делимости произведения. Если произведение остатков r1 и r2, получаемых от деления чисел а и в на число с делится на с, то и произведение а на в будет делиться на с. Дано (r1*r2):с, доказать (а*в):с
а=сq1+r1 в=сq2+r2
ав=(сq1+r1)(сq2+r2)=сq1*сq2+сq1*r2+r1*сq2+r1r2=с*(q1сq2+q1 r2+r1q2)+r1r2 В полученной сумме 1 слагаемое делится на с по достаточному признаку делимости произведения. 2 слагаемое делится на с из условия. Следовательно, по достаточному признаку делимости суммы произведение чисел а и в будет делиться на с. (а*в):с. Докажем обратное. Дано (а*в):с, доказать (r1 r2):с. а*в=(сq1+r1)(сq2+r2)=сq1*сq2+сq1*r2+r1*сq2+r1 r2=с(q 1сq2+q1 r2+r1 q2)+r1 r2
r1 r2=ав-с(q1 сq2+q1 r2+r1 q2). В данной разности уменьшаемое делится на с по условию. Вычитаемое делится на с по достаточному признаку делимости произведения, а значит, по достаточному признаку делимости разности произведения остатков r1 r2 будут делиться на с.
28. Простые и составные числа. Свойства множества простых чисел. Отношение делимости разбивает множество целых неотрицательных чисел на классы.
1 класс – множество чисел, которые имеют бесконечно много делителей. Данный класс состоит из одного числа 0 (ноль).
2 класс – множество чисел, которые имеют 1 и только 1 делитель. Этот класс состоит из одного числа 1.
3 класс – множество чисел, имеющих только 2 делителя. Это числа, которые делятся только на себя и на 1. эти числа называются простыми.
4 класс – числа, имеющие более 2-х делителей. Эти числа называются составными. Делители данного числа равны 1 или самому числу, называют несобственными делителями. Все остальные делители называются собственными делителями данного числа. Множество делителей любого числа конечно.
Свойства простых чисел.
1. Во множестве простых чисел существует единственное четное число – 2. Все другие четные числа составные.
2. Если простое число р делится на число а, то а=р или а=1.
3. Если простое число р1 не равно простому числу р2, то р1 не делится на р2. Доказательство этого свойства вытекает из свойства 2.
4. Для любого натурального числа больше 1 существует простое число р, такое что данное число делится на р.
5. Если произведение нескольких множителей делится на простое число р, то хотя бы один из этих множителей делится на число р.
6. Если произведение нескольких простых чисел делится на простое число р, то хотя бы один из этих множителей равен этому простому числу.
29. Понятие дроби и рационального числа. Сложение и вычитание рациональных чисел. Их свойства. Запись вида м/н называется дробью, где м и н натуральные числа. Класс равносильных друг к другу дробей называется рациональным числом. Классы равносильных дробей составляют множество рациональных чисел. Дробь является записью рационального числа.
- одно рациональное число.
Суммой двух положительных рациональных чисел 
называется положительное рациональное число вида 
.
Свойства сложения. 1. Коммутативное 
определение сложения
опред коммут умнож коммут сложен
2. Ассоциативность 
Найдем значение левой и правой части данного равенства:
Раскроем скобки в числителе используя дистрибутивное свойство сложения относительно умножения 
Используя ассоциативное, коммутативное и дистрибутивное свойства умножения получим
.
3. Рациональное число 0 является нейтральным элементом для операции сложения во множестве рациональных чисел, т.е а/в+0=0+а/в=а/в. Число 0 можно представить в виде дроби вида 0/н. 
.
4. Для любого рационального числа вида а/в существует единственное число –а/в такое, что их сумма равна 0.
Разностью двух положительных рациональных чисел а/в и с/д называется рациональное число м/н, которое в сумме с рациональным числом с/д равно рациональному числу а/в. 
, так как операция сложения выполняется всегда и определяется однозначно, то и операция вычитания во множестве рациональных чисел будет выполнима и определяется однозначно. Для вычитания не выполняются свойства коммутативности и ассоциативности.
30. Умножение и деление дробей. Их свойства. Произведением двух положительных рациональных чисел а/в и с/д называется дробь м/н, в которой м=а*с, н=в*д.
Свойства умножения. 1. Коммутативное. 
. Найдем по коммутативному свойству умножения натуральных чисел получаем 
по определению умножения 
.
2. Ассоциативность умножения. 
Опред умнож опред умнож ассоциат свойс опред умнож опред умнож
3. Дистрибутивное 
Опред умнож дистрид св.умн N правило делен суммы на число
Использ ассоциат умн опред произвед дробей
4. Единица является нейтральным элементом для умножения рациональных чисел. Во множестве рациональных чисел единицу можно представить в виде дроби м/м.
Частным двух положительных чисел есть положительное рациональное число вида 
. Для частного не выполняется свойство коммутативности и ассоциативности.
31. Десятичные дроби. Действия над конечными десятичными дробями. Периодические дроби. Десятичной дробью называется дробь со знаменателем равным степени числа 10, записываемой в десятичной системе счисления. 
.
Свойства десятичных дробей. 1. Из двух рядом стоящих цифр в записи десятичной дроби левая цифра имеет разрядную единицу в 10 раз больше, чем правая цифра. 2. Приписывание нулей к десятичной дроби и отбрасывание нулей в конце десятичной дроби не изменяет ее значение. 3. Умножение десятичной дроби на 10н достигается переносом запятой на н цифр вправо. Деление десятичной дроби на 10н достигается переносом запятой на н цифр влево. Цифры после запятой называются десятичными знаками, а число перед запятой – целой частью числа. 4. Десятичные дроби сравниваются также как и натуральные числа. Из двух десятичных дробей та больше, у которой целая часть больше. Если целые части равны, то та дробь больше, у которой первый десятичный знак больше. Среди десятичных дробей выделяют дробь 0,01 и называют ее процентом и обозначают 1%.
Действия над десятичными дробями. Чтобы сложить две десятичные дроби нужно записать их таким образом. Чтобы целая часть второй дроби была подписана под целой частью первой дроби, а каждый десятичный знак второй дроби под соответствующими десятичными знаками первой дроби. Далее дроби складывают как натуральные числа. Если число десятичных знаков в одной из дробей больше. Чем в другой, то нужно дописать соответствующее количество нулей той дроби, у которой их меньше. Аналогично выполняется вычитание десятичных дробей. Чтобы перемножить две десятичные дроби нужно выполнить умножение не обращая внимание на запятые. В полученном произведении отделить запятой такое количество десятичных знаков, которое равно сумме десятичных знаков в обоих множителях. Чтобы разделить одну десятичную дробь на другую нужно в делителе отбросить запятую, а делимое увеличить во столько раз, во сколько увеличился делитель. Дальше проводится деление по правилам деления натуральных чисел.
Периодические дроби. Не любые несократимые дроби можно представить в виде конечной десятичной дроби, а только те, у которых знаменатель представим в виде разложения 2λ *5β. Остальные дроби обращаются в бесконечные дроби, у которых цифры десятичных знаков повторяются. 1/3=0,3333…=0,(3) называется «ноль целых, 3 в периоде». Группа цифр, повторяющихся после запятой в десятичной записи числа, называется периодом дроби. 1/54=0,0(185). Бесконечные десятичные периодические дроби, у которых период начинается сразу после запятой, называются чистыми периодическими дробями, все остальные – смешанными периодическими дробями. Число, образованное из цифр, стоящих между запятой и началом первого периода называют предпериодом.
Теорема. Если дробь а/в несократимая, а в разложении на простые множители знаменателя в есть простые числа, отличные от 2 и 5, то дробь а/в представима в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Доказательство. Так как по условию в разложении знаменателя есть простой множитель, отличный от 2 и 5, то процесс деления а на в бесконечен. При делении а на в получаются остатки, которые по теореме о делении с остатком меньше в, т. е они равны 1, 2, 3, 4 и т. д, в-1. Поскольку множество различных остатков конечно, то, начиная с некоторого шага какой-то остаток повториться, что повлечет за собой повторение знаков в записи частного, следовательно бесконечная десятичная дробь, представляющая число а/в, обязательно будет периодической. Число, представимое в виде бесконечной десятичной периодической дроби, называется рациональным числом. Чтобы превратить бесконечную десятичную чистую периодическую дробь в обыкновенную, нужно в числителе записать период, а в знаменателе столько 9, сколько цифр в периоде. 0,(3)=3/9=1/3 0,(45)=45/99=5/11 Чтобы превратить бесконечную десятичную смешанную периодическую дробь в обыкновенную нужно, в числителе записать разность между числом, записанным от запятой до начала второго периода и числом, являющимся предпериодом, а в знаменателе столько 9, сколько цифр в периоде и столько нулей, сколько цифр в предпериоде. 13,5(8)=13 58-5/90
0,27(9)=279-27/900=252/900=28/100.
32. Действительные числа. Действия над действительными числами. (начало смотри вопрос 5). Теорема. Диагональ квадрата несоизмерима с его стороной. Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что диагональ АС соизмерима со стороной Ав, т.е. существует отрезок, который укладывается равное число раз в отрезке АВ и в отрезке АС. Пусть в АВ выбранный отрезок уложился
Д С н раз, а в АС – м раз. Построим на диагонали
АС новый квадрат АСЕФ. Найдем площадь
м обоих квадратов и сравним их. SАСЕФ=2 SАВСД
м2=2н2 м2/н2=2 (м/н)2=2
А н В Е Пусть дробь м/н не сократимая, тогда м может
2 н быть четным числом. Пусть м=2к
4к2=2н2 2к2=н2→н2 кратно 2, а значит и н
кратно 2. Получили, что м и н кратно 2, а
Ф значит дробь м/н – сократимая. Мы предположили, что она не сократима, получили противоречие, а значит, отрезки АС и АВ несоизмеримы. →их нельзя измерить рациональным числом.
Теорема. Среди положительных рациональных чисел не существует числа, квадрат которого равен 5. Выберем числовую прямую и построим на ней прямоугольник со
А В
О
0 1 С2 Д 3 Х
сторонами, равными двум и одному единичным отрезкам. Найдем длину диагонали ОВ по теореме Пифагора ОВ2=ОС2+CВ2 ОВ2=4+1 ОВ2=5→ОВ=√5.
С помощью циркуля найдем проекцию отрезка ОВ на числовую ось Х и находим Д. Отрезок ОВ=ОД. Точка Д находится между 2 и 3. т.е. ей соответствует рациональное число, обозначим его дробью а/в, тогда а/в=√5. Разделим отрезок от 2 до 3 на 10 равных частей: 2,1; 2,2; 2,3; 2,4; 2,5; 2,6; 2,7; 2,8; 2,9. Возведем в квадрат каждое из этих чисел и среди этих квадратов выберем 2 числа, между которыми находится число 5. 2,2<√5<2,3. Полученный отрезок от 2,3 до 2,4. Вновь разделим на 10 равных частей, возведем в квадрат полученные числа и сравним с числом 5.
4,9729<5<5, 0176 2,23<√5<2,24. Продолжим этот процесс далее получим последовательность двойных неравенств, которая является бесконечной, а значит дробь а/в не является рациональным числом. Обозначим а/в=λ. Значение числа λ представимо в виде бесконечных десятичных непериодических дробей. Значение λ, которое меньше его называется десятичным приближением числа λ по недостатку. Значение λ, которое больше его называется десятичным приближением λ по избытку и обозначают 
Действия над действительными числами. Если два действительных числа являются натуральными, рациональными или целыми, то действия над ними выполняются по правилам выполнения действий над натуральными, рациональными или целыми числами. Рассмотрим правила выполнения арифметических действий над действительными числами, если каждое из них представлено в виде иррационального числа.
1. Суммой двух действительных чисел а и в называется такое действительное число с, которое не меньше суммы любых десятичных приближенных этих чисел с недостатком и не больше суммы любых десятичных приближений этих чисел с избытком.
.
2. Разностью двух действительных чисел а и в называется число с, которое не превосходит разности между десятичным приближением числа а, взятым с избытком и десятичным приближением числа в, взятым с недостатком и не меньше разности между десятичным приближением числа а, взятым с недостатком и десятичным приближением числа в, взятым с избытком. 
.
3. Произведением двух действительных чисел а и в называется действительное число с, которое не превосходит произведения десятичных приближений данных чисел, взяв их с избытком и не меньше произведения данных чисел, взявших с недостатком.
/
4. Частным двух действительных чисел а и в называется действительное число с, которое не превосходит частного между десятичным приближением числа а, взятого с избытком и десятичного приближения числа в, взятого с недостатком и не меньше частного между десятичным приближением числа а, взятого с недостатком и числа в, взятого с избытком. 
.
33. Понятие величины. Основные свойства аддитивно-скалярных величин. Понятие измерения величин. Величина – это свойство предметов, явлений окружающей действительности, позволяющее сравнивать их. Устанавливать, какие из заданных предметов и явлений обладают данным свойством в равной или большей мере. Однородные величины выражают одно и то же свойство объектов некоторого множества. Например: толщина, высота, ширина, длина обладают одним свойством: иметь протяженность на плоскости и являются однородными величинами. Площадь и длина не являются однородными величинами, т.к. выражают разные свойства предметов.
Однородными величинами называются величины, которые обладают свойствами, удовлетворяющие условиям: 1). Однородные величины можно сравнивать. Для любых объектов А и В, обладающих величиной М, выполняются только 3 условия: А=В, А<В, А>В. 2). При сложении двух однородных величин получается величина того же рода. 3). Однородные величины можно умножать на натуральное число, положительное действительное число, так что в результате получится величина того же рода. 4). Величины одного рода вычитают, определяя разность через сумму. Разностью величин А и В называется такая величина С, для которой справедливо равенство А=В+С. 5). Величины одного рода можно делить друг на друга, устанавливая, во сколько раз одна величина больше другой.
Измерение величин заключается в сравнении данной величины с некоторой величиной того же рода, принятой за единицу измерения. Если дана величина А и выбрана единица измерения Е, то в результате измерения находят такое положительное действительное число Х, для которого справедливо равенство А=Х*Е. Измерение величины позволяет свести сравнение величин к сравнению чисел, которые их выражают. Если величины А и В измерены при помощи одной и той же единицы измерения, то отношения между величинами А и В будут такими же как и отношения между их численными значениями. Численные значения величины А при выбранной единицы измерения Е обозначают me a. a=b → me a=meb a>b → me a>meb
Если величины А и В измерены при помощи единицы измерения Е, то чтобы сложить эти величины достаточно сложить их численные значения. Если величины А и В таковы, что В=Х*А, где Х действительное положительное число, то для нахождения Х достаточно численное значение В разделить на численное значение А. me b: mea
Величины, которые характеризуются только числом, называются скалярными. Величины, которые характеризуются числом и направлением, называются векторными. Величины, являющиеся скалярными и обладающие свойством аддитивности называются аддитивно-скалярными. Свойства адитивности. Для любых натуральных чисел а, в, с из того, что а=в→а+с=в+с. Аддитивно-скалярные величины допускают неограниченное дробление предметов и явлений на части. Величина целого предмета или явления складывается из величин его частей. Примером аддитовно-скалярных величин являются длина, масса, площадь и т.д. Понятия величины появилось в математике гораздо раньше, чем понятие число. Впервые ввел аксиоматику величин Колмогоров. Основные свойства. 1). Величины линейно упорядочены. Для любых величин х1 и х2 выполняются условия х1=х2, x1>x2, х1<х2. 2). Величины обладают свойством транзитивности. Для любых х1, х2, х3 из того, что x1>x2 и x2>x3→что x1>x3. 3). Величины обладают свойством аддитивности, причем, сумма как результат операции сложения определяется единственным образом. 4). Операция сложения для величин обладает свойством коммутативности. х1+х2=х2+х1. 5). Операция сложения для величин обладает свойством ассоциативности. х1+(х2+х3)=(х1+х2)+х3. 6). Сумма двух или нескольких величин больше любого из слагаемых. 7). Существует операция обратная действию сложения, которая называется вычитание. 8). Для любой аддитивно-скалярной величины х1 и положительного действительного числа н найдется величина х2, такая, что х1=х2*н. 9). Для любых величин х1 и х2 существует положительное действительное число н, такое, что х1*н>х2.
34. Длина и ее свойства. Длина – это свойства объектов действительного мира характеризующие их протяженность на плоскости. Длиной отрезка называют положительную величину, определенную для каждого отрезка таким образом, что 1) равные отрезки имеют равные длины, 2) если отрезок состоит из конечного числа непересекающихся отрезков, то его длина равна сумме длин отрезков его составляющих. Свойство длины. 1). При выбранной единицы измерения длина любого отрезка выражается положительным действительным числом и для каждого положительного действительного числа найдется отрезок, длина которого выражается этим числом. Из данного свойства следует, что между длиной отрезка и положительным действительным числом установлено взаимно однозначное соответствие. Докажем данное свойство. Пусть дан отрезок А и единичный отрезок Е. На отрезке А от одного из его концов отложим последовательно отрезки равные Е до тех пор, как это возможно. При таком откладывании отрезка Е возможно 3 случая получения результата:
--отрезок Е отложится так, что конец отрезка А совпал с концом последнего отрезка Е. в этом случае длина отрезка А выражается натуральным числом.
--отрезок Е отложился н раз в отрезке А и остался отрезок А2>Е. Разделим отрезок Е на 10 равных частей, получим единичный отрезок Е1, если при откладывании отрезка Е1 конец отрезка А совпадет с концом отрезка Е1 то отрезок имеет длину, выраженную десятичной дробью. Если отрезок Е1 не укладывается в отрезке А. разобьем его на 10 равных частей и новый единичный отрезок Е2 будем укладывать, продолжая процесс далее какой-либо из полученных единичных отрезков уложится равное число раз в отрезке А и тогда длина отрезка А будет выражена положительным рациональным числом.
--возможно, что при делении отрезка Е для откладывания его частей в отрезке А длина отрезка будет выражена бесконечной десятичной непериодической дробью, т. е. иррациональным числом.
Из трех рассмотренных случаев получаем, что длина отрезка выражается натуральным числом, положительным рациональным или положительным иррациональным числом. Все перечисленные числа принадлежат множеству положительных действительных чисел, а значит, длина отрезка выражается положительным действительным числом. Докажем обратное. Любое положительное действительное число может быть выражено либо натуральным числом, либо конечной десятичной дробью, либо бесконечной десятичной дробью. Для данных чисел на числовой прямой всегда можно найти отрезок, длина которого будет равна этому числу, т. к. между точками числовой прямой и множеством действительных чисел установлено взаимно однозначное соответствие, то всегда для любого положительного действительного числа будет существовать отрезок, длина которого равна этому числу.
2). Если два отрезка равны, то и численные значения их длин так же равны. Верно и обратное утверждение. Доказательство: из того, что отрезок А=В→, что, откладывая выбранный единичный отрезок Е в каждом из них, мы получим одно и тоже число А. Следовательно, равные отрезки имеют и равные длины.
3). Если дан отрезок, который равен сумме нескольких не перекрывающих отрезков, то численное значение его длины равно сумме численных значений длин отрезков, его составляющих. Доказательство. Пусть даны отрезки А1 и А2. Составим отрезок А, равный сумме этих отрезков. Чтобы найти значение длины отрезка А, вначале нужно измерить отрезок А1, а затем в тех же единицах измерения измерить отрезок А2. Получим, что длина отрезка А равна сумме численных значений длин отрезков А1 и А2. Т. к. в процессе измерения все действия выполнялись однозначно, то данное свойство доказано.
4). Если длины отрезков А и В таковы, что В=Х*А, где Х положительное действительное число и длина А измерена при помощи единицы измерения Е, то чтобы найти численное значение длины В, при единицы измерения Е достаточно число Х умножить на численное значение длины отрезка А.
5). При замене единицы длины чисел, значение этой длины увеличивается (уменьшается) во столько раз, во сколько новая единица меньше (больше) старой.
В школьном курсе математике за единицу длины выбран 1 см. В международной системе единиц – 1 м.
35. Площадь фигуры и ее свойства. Площадь – это свойство предмета занимать место на плоскости. Площадью фигуры называется неотрицательная величина, определяемая для каждой фигуры так, что 1) равные фигуры имеют равные площади, 2) если фигура составлена из конечного числа фигур, то ее площадь равна сумме площадей фигур ее составляющих. Площадь фигуры – это аддитивно-скалярная величина. Для нее выполняются все аксиомы, перечисленные в аксиоматике Колмогорова.
Аксиома 1 выполняется, т.к. любые фигуры можно сравнивать, указывая, какая из них занимает большее, меньшее, одинаковое место на плоскости. Аксиома 2 так же выполняется и площадь удовлетворяет отношению транзитивности. Если S1>S2 и S2>S3→S1>S2. Аксиома 3. Для площади определена операция сложения и выполняется свойство аддитивности. Если мы разобьем фигуру на несколько частей, не обязательно равные, то площадь всей фигуры равна сумме площадей ее частей. Аксиома 4 и 5 для площади выполняется, т.к. для сложения площадей справедливы коммутативность и ассоциативность. Аксиома 6 выполняется, т.к. площадь фигуры всегда больше, чем площадь ее части. Аксиома 7 выполняется, т.к. для площади выполняется действие вычитания. И по заданной площади всей фигуры можно найти площадь фигуры ее составляющей, которая находится только вычитанием. Аксиомы 8 и 9 выполняются, т.к. для каждой из двух фигур всегда можно найти во сколько раз площадь первой фигуры больше или меньше площади другой фигуры. И как бы не была мала фигура А1 и как бы не была велика фигура А2, всегда найдется такое число м, что м*А1>А2.
Измерение площади фигуры состоит в сравнении площади данной фигуры и площади фигуры, принятой за единицу измерения. За единицу измерения площади принимают квадрат, стороной которого является отрезок с единичной длиной. В школе это квадрат со стороной в 1 см, в международной системе единиц – это квадрат со стороной 1 м. существует прямое и косвенное измерение площади. Прямое измерение площади основано на применении палетки. Палетка – это сетка квадратов, нанесенная на прозрачный материал. Палетку накладывают на фигуру и считают квадраты, которые полностью укладываются внутри фигуры, а так же квадраты, через которые проходит контур фигуры. Если м это количество квадратов, которые полностью помещены в фигуре, а н – это количество квадратов, через которые проходит контур фигуры, то площадь измеряемой фигуры будет заключена между числами ме2<S<(м+н)е2. в начальной школе площадь фигуры с использованием палетки определяется по формуле. 
. Для более точного измерения палеткой находят несколько значений площади. Для этого поворачивают палетку на фигуре несколько раз и подсчитывают число квадратов. Полученные приблизительные значения площади складывают и делят на число измерений. Измерение с помощью палетки имеет определенные недостатки: неточность и невозможность использование палетки для больших фигур. Для точного измерения площади существует косвенный способ измерения с помощью формул: S∆=1/2 а*н,.S▱=а*н, Sприз=(а+в)/2*н.
Свойства площади. Если две фигуры совпадают при наложении, т.е. равны, то равны и численные значения их площадей при одной и той же единицы измерения. Если фигура А составлена из фигур А1, А1, …Ан, то численное значение SА=SА1+SА2+…+SАн
Это правило хорошо использовать для фигур, которые можно разбить на части, площадь которых удобнее вычислить. Это же правило подходит и для измерения площади фигур, которые относятся к равносоставленным или к равно дополненным. Две фигуры называют равновеликими, если их площади равны. Две фигуры называются равносоставленными, если они при наложении не совпадают, но их удается разбить на такие фигуры, которые равным образом составляют их. Если две фигуры можно разложить на одинаковое число попарно равных фигур, то их называют равносоставленными. Если две фигуры дополняют другими фигурами так, что они становятся равновеликими, то данные фигуры называются равнодополненными. Численное значение площади всегда выражается положительным действительным числом. При замене единицы площади, численное значение увеличивается (уменьшается) во столько раз, во сколько новая единица измерения меньше (больше) старой.
