Прямой пропорциональностью называется функция, которая может быть задана при помощи формулы у=кх, где к ≠ 0 (действительное число). Это число называется коэффициентом пропорциональности. Областью определения функции у=кх является множество действительных чисел. График прямой пропорциональности – прямая, проходящая через начало координат.
Свойства прямой пропорциональности. 1) При к>0 функция у=кх возрастает на всей области определения. При к<0 – убывает на всей области определения.
У У
Х Х
2). Если функция прямая пропорциональность, то отношения двух значений аргумента х равно отношению соответственных значений функции у, т.е. 
т. е. с увеличением (уменьшением)значения переменной х в несколько раз соответствующее значение переменной у увеличивается (уменьшается) во столько же раз (если значениями переменных х и у являются положительные числа). Пример для прямой пропорциональной зависимости: если время постоянное, то с увеличением скорости пройденный путь увеличивается.
Обратной пропорциональностью называется функция, которую можно задать при помощи формулы 
, где к ≠ 0. Это число называется коэффициентом обратной пропорциональности. Областью определения функции является множество действительных чисел, отличных от нуля. График обратной пропорциональности – гипербола.
Свойства обратной пропорциональности. 1) При к>0 функция убывает на всей области определения, при к<0 – возрастает на всей области определения.
 |
У
Х
2) Если функция обратная пропорциональность, то отношение двух значений аргумента х равно обратному отношению соответственных значений функции у, т.е 
Если значениями переменных х и у являются положительные числа, то это свойство обратной пропорциональности можно сформулировать так: с увеличением (уменьшением) значения переменной х в несколько раз соответствующее значение переменной у уменьшается (увеличивается) во столько же раз. Пример для обратной пропорциональной зависимости: расстояние постоянная величина, тогда с увеличением скорости время уменьшается.
20. Умножение и деление в количественной теории. Их свойства. Определение умножению целых неотрицательных чисел можно дать дважды:1) произведением двух целых неотрицательных чисел а и в называется целое неотрицательное число с, которое находится по следующим правилам: а) аÎN; вÎN, в>1; а·в= а+а+а+а+…+а в раз;б) аÎN, в=1, а*1=а; в) аÎN, в=0, а*0=0. 2) произведением а и в называется целое неотрицательное число с, которое является мощностью декартового произведения множеств А и В, таких что мощность А=а. n(А)=а, n(В)=в. Из теории множеств мы знаем, что n(А×В)=n(А)*n(В) – мощностью декартового произведения есть произведение мощностей.
Свойства произведения. 1. произведение а и в всегда существует и определяется единственным образом. Докажем это свойство, используя первое определение умножения. Так как произведение есть сумма одинаковых слагаемых, и сумма целых неотрицательных чисел всегда существует, то и произведение всегда существует. Так как сумма одинаковых слагаемых а взятых в раз определяется единственным образом, то и произведение находится единственным образом.
2. Для любых а, в, с из того что а=в Þ а*с=в*с. Докажем используя первое определение умножения
а=в
а·с=а+а+а+…+а === в+в+в+…+в = в·с
с раз с раз
3. Для любых а, в, с, д, из того что а=в и с=д Þа·с=в·д
а=в с=д
а·с=а+а+а+…+а==в+в+в+…+в==в+в+в+в+…+в=в·д
с раз с раз д раз
3. Коммутативное свойство умножения. Для любых целых чисел а и в выполняется равенство а·в=в·а. Для доказательства данного свойства рассмотрим несколько случаев: а) а=1, в>1, а·в=1·в=1+1+1+1=…=1=в. Из первого определения умножения, его второго случая знаем, что в·1=в, 1·в=в·1Þа·в=в·а. б) а=0, в>1, а·в=0·в=0+0+0+…+0=0. Из первого определения умножения, его третьего случая, есть, что в·0=0Þ0·в=в·0Þа·в=в·а. в) а>1, в>1, воспользуемся вторым определением умножения. Дано: А и В. А={а1,а2,а3,…аа}; В={в1, в2,в3,…вв}. Составим декартово произведение этих множеств: А×В={(а1в1)(а1в2)(а1в3)…(а1вв)
(а2в1)(а2в2)(а2в3)…(а2вв)
***
(а ав1)(а ав2)(а ав3)…(а авв)}
В этом произведении число столбцов равно в, а число строк равно а. Число элементов в данном произведении можно найти двумя способами: посчитав количество пар во всех столбцах или посчитав количество пар во всех строчках Þа*в=в*а.
4. Ассоциативное свойство умножения. Для любых целых неотрицательных чисел а, в, с выполняется равенство (а·в)·с=а·(в·с).
(а·в)·с=а·в+а·в+а·в+…+а·в=а+а+а+…+а+а+а+а+…+а+ …+а+а+а+…+а = а·(в·с).
└-------- с раз-------- ┘ └----в раз---┘ └----в раз---┘ └----в раз----┘
│_________________с раз_______________│
Частное двух целых неотрицательных чисел будем рассматривать как разбиение множества на классы. Такое разбиение можно продемонстрировать на примере задач. Задача 1. 12 карандашей разложили в 3 коробке поровну. Сколько карандашей в каждой коробке? В данной задаче рассмотрим множество, 12 элементов. Это множество разбивается на равночисленные подмножества и требуется узнать число элементов в каждом подмножестве. Это число можно найти делением 12 на 3, получаем что в каждой коробке по 4 карандаша. Задача 2. В коробке 12 карандашей, их нужно раздать учащимся по 3 карандаша каждому. Сколько учеников получат карандаши? В данной задаче множество из 12 элементов разбивается на подмножества, в каждом из которых по 3 элемента. Требуется узнать число таких подмножеств. Найти его можно делением 12 на 3. В ответе 4 ученика. На примере этих задач, что с теоретико-множественной точки зрения деление чисел оказывается связанным с разбиением множества на равночисленные попарно не пересекающиеся подмножества. С помощью этого разбиения можно решить две задачи: 1) отыскание числа элементов в каждом подмножестве разбиения; 2) отыскание числа таких подмножеств. Определение частного можно дать дважды: 1) деление на равные части. Пусть а число элементов подмножества А, которое разбито на попарно непересекающиеся равномощные подмножества, число которых – в. Тогда частным чисел а и в называется число с, обозначающее мощность каждого подмножества. 2) деление по содержанию. Пусть множество А, содержащее а элементов, разбито на непересекающиеся равномощные подмножества, каждое из которых содержит в элементов. Частным чисел а и в является число с, указывающее на число полученных подмножеств.
Т. о., делением во множестве целых неотрицательных чисел называется: 1) отыскание числа элементов в каждом подмножестве, разбиение данного множества на классы по известному числу элементов в заданном множестве и известному числу подмножества (деление на равные части); 2) отыскание числа подмножеств по известному числу элементов в заданном множестве и известному числу элементов в каждом подмножестве (деление по содержанию).
Свойства частного. 1. Если частное двух целых неотрицательных чисел существует, то оно находится единственным образом. Доказательство. Допустим противное. Пусть существует 2 частных чисел а и в, т.е а:в=с1, а:в=с2. Тогда по известному числу элементов в данном множестве и числу элементов в каждом подмножестве отыскиваются два числа, являющихся числом подмножеств. Следовательно, разбиение заданного множества проходит на не равномощные подмножества, а это противоречит определению операции деления. Следовательно, если частное существует, то находится единственным образом.
2. Связь деления с умножением. Если а:в=с, то а=в·с. доказательство. Пусть а – это число элементов во множестве А. Данное множество разбито на в попарно непересекающихся равномощных подмножеств А1, А1…Ав. Каждое подмножество включено во множество А и по определению деления а:в=с, где с это число элементов в каждом подмножестве с=n(А1)=n(А2)=…=n(Ав). подмножества попарно не пересекаются и объединение всех подмножеств есть множество А. А1 UА2 U…UАв=А. Если равны множества, то рано число элементов данных множеств. n (А1 UА2 U…UАв)=n(А). По определению мощности объединения получим: n(А1)+n(А2)+n(Аn)+…+n(Ав)=n(А). Так как каждое слагаемое в правой части равенства равно с, имеем с+с+с+…+с=а с·в=а Þ в·с=а (по коммутативному свойству).
3. Деление на 0 невозможно. Если а это число элементов в данном множестве и множество не разбито на классы, то о числе полученных подмножеств и числе элементов в каждом подмножестве ничего нельзя сказать. Если число а это число элементов в данном множестве и множество разбито на пустые подмножества, но нельзя определить число таких пустых подмножеств, поэтому о делении на 0 сказать не возможно.
| 12. Понятие, объем и содержание понятий, способы определения понятий. Математика как и другие науки использует понятийный аппарат. Термин «понятие» применяется для обозначения целого класса объектов любой природы. Которые обладают одним или некоторыми характеристическими свойствами, т.е. свойствами, которые присущи только этому классу объектов. Понятие часто отожествляется со словом или со словосочетанием, которые фактически и обозначают данный класс объектов. При написания понятий, их обозначают маленькими буквами, как и элементы множеств. Множества объектов, которые можно назвать данным словом называют объемом понятия. Встречаются единичные понятия, равные 1, а также конечные и бесконечные понятия. К единичному понятию относится цифра. Понятие многоугольника имеет бесконечный объем. Существуют понятия носящие всеобщий характер. Им трудно дать определения, их называют категориями. Множество всех свойств, каждое из которых присуще только элементам а из множества объемов понятия А, называется содержанием этого понятия. Для треугольников в содержание понятия будут входить такие свойства: иметь 3 угла, иметь 3 стороны. Определить понятие, значит дать способ, позволяющий отделить объекты, охватываемые данным понятием, от всех других понятий. Т.о, определение понятия – это логическая операция, в результате которой выясняется содержание понятий. Различают вербальные (словесные) и не вербальные способы определения понятий. Не вербальные определение – это определение значения слов путем непосредственной демонстрации предметов или указания части текста, в котором применяется то или иное слово. Не вербальное определение может быть остенсивным или контекстуальным. Остенсивные определения даются с помощью показа предмета или демонстрации объекта. Простой показ, название. Контекстуальное определение дается по ходу контекста или части текста (часто используется в начальных классах). Например: чтобы определить, что значит «больше», дается пояснение «больше на 3» – это столько же и еще 3. пояснение, небольшой текст. В математике как и в других науках используется определение неизвестных понятий через известные. Такое определение называется вербальным. К вербальным относятся определения через род и видовые отличия, а также генетические и рекурсивные определения. Определение понятия через род и видовые отличия заключаются в следующем: в данных определениях выделяется опорное, исходное понятие, а затем указываются свойства, которые присущи только данному понятию. Например: прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые. В данном определении исходное понятие – четырехугольник, его называют родовым понятием. Свойство, которое присуще только прямоугольникам – иметь все углы прямые, называется видовым отличием. Одно и то же понятие можно определить, используя различные родовые понятия и указав видовые отличия. Генетические определения являются частным случаем определения через род и родовые отличия. В них вместо видовых свойств указывается происхождение или способ построения. Например: угол – это фигура, образованная лучами, исходящими из одной точки. В этом примере понятие фигура является родовым и вместо видовых отличий, дан способ образования этой фигуры. Рекурсивные определения. В данных определениях указываются некоторые основные базисные элементы определяемого множества и правила, позволяющие получить новые элементы данного множества. · | 14. Высказывания и предикаты. Конъюнкция и дизъюнкция высказываний. Их свойства. Области истинности конъюнкции и дизъюнкции предикатов. Повествовательное предложение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно называется высказыванием. Вопросительные и восклицательные предложения к высказываниям не относятся. Высказывания обозначают заглавными буквами, как множества. Высказывания могут быть простыми и составными. Простые высказывания – это такие, которые не состоят из других высказываний. Составные можно разбить на другие, причем эти составляющие соединены логическими союзами (и, или, если, то, либо, неверно что, хотя бы одно из). Два высказывания называются равносильными или эквивалентными, если всегда, когда истинно одно высказывание, истинно и другое.
Понятие предиката (высказывательная форма). Предикаты по форме построения похожи на высказывания, но ими не являются, т.к. о них сразу нельзя сказать истины они или ложны. Предложение с одним или несколькими переменными, обращающиеся в высказывания при подстановке вместо переменных их значений, называется предикатом или высказывательной формой. Например: «икс больше 5» нельзя сказать истинно или ложно, но если х=7, то получается предиката. Предикаты, имеющие одну переменную, называют – одноместным, две переменной – двуместным и т.д. Один и тот же предикат, при подстановке в него значения переменной, принимает только одно значение или истинно, или ложно. Множество Х, на котором задан предикат, называется областью определения предиката. Область определения предиката делится на два подмножества: 1 – область истинности предиката ИА(х) или ТА(х) - это множество тех значений переменных, которые обращают предикат в истинное высказывание. 2 – множество, тех значений переменной, которое обращает предикат в ложное высказывание.
Конъюнкцией двух предикатов G(х) и Р(х) называется предикат, область истинности которого равна пересечению областей истинности данных предикатов.
ИР(х)  G(х) = ИР(х)  ИG(х)
Дисъюнцией двух предикат Q(х) и Р(х) называют предикат, область истинности которого равна объединению областей истинности данных предикатов.
ИР(х)  Q(х)= ИР(х)  ИQ(х).
Конъюнкция высказываний. Составное высказывание А и В, в котором используется логический союз «и», называется конъюнкцией высказывания и записывается следующем образом:  . Конъюнкцией двух высказываний называется высказывание А и В, которое истинно тогда и только тогда, когда истины оба высказывания, и ложно тогда и только тогда, когда хотя бы одно высказывание ложно.
Свойства конъюнкции: 1. коммутативное 2. ассоциативное 3. закон противоречия (Конъюнкция данного высказывания и его отрицание всегда ложна) 4. законы поглощения Отрицание конъюнкции есть дизъюнкция отрицаний этих высказываний Дисъюнцией двух высказываний А и В называется высказывание С, которое истинно тогда и только тогда, когда хотя бы одно из высказываний истинно, и ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны.
Свойство дизъюнции: · коммутативное · ассоциативное · дистрибутивное · закон поглощения · Закон исключенного третьего (
| |||||||||||||||||||||||||||||||
5. коммутативное 
6. ассоциативное 
7. закон противоречия (Конъюнкция данного высказывания и его отрицание всегда ложна) 
8. законы поглощения 
Отрицание конъюнкции есть дизъюнкция отрицаний этих высказываний 
Дисъюнцией двух высказываний А и В называется высказывание С, которое истинно тогда и только тогда, когда хотя бы одно из высказываний истинно, и ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны.
Свойство дизъюнции:
· коммутативное 
· ассоциативное 
· дистрибутивное 
· закон поглощения 
· Закон исключенного третьего ( И) означает, что утверждение выполняется, если выполняется хотя бы одно из высказываний. Высказывание А или отрицание высказывания А всегда истинно, какое бы высказывание А мы не рассматривали. В математике это часто встречается при разборе каких-то взаимно исключающих друг друга случаях. Например: при решении квадратных уравнений разбираются два случая: дискриминант больше или равно 0; дискриминант меньше 0. Если обозначить каждый случай за высказывание, то первое высказывание А, а второе – отрицание А. Поскольку других случаев А и А- не существует, задача о решении квадратного трехчлена и разложение его на линейные множители либо решается, когда А – истинно, или не решается, когда истинно отрицание А. Отрицанием дисъюнции двух высказываний будет конъюнкция отрицаний этих высказываний.  .
| ||||||||||||||||||||||||||||||||
| А | В | 
|
| И | И | И |
| Л | Л | Л |
| И | Л | И |
| Л | И | И |
15. Высказывания и предикаты. Отрицание, импликация, эквиваленция высказываний. Их свойства. Области истинности отрицания и импликации предикатов. Начало см вопрос 14
Отрицанием предиката Р(х) называется предикат 
, область истинности которого является множество тех значений переменной х, которое обращает данный предикат Р(х) в ложное высказывание.
Импликацией двух предикат Р(х) и В(х) есть предикат, область истинности которого равна объединению областей истинности предиката и В(х).
ИР(х) 
В(х)= И 
ИВ(х).
1). Отрицание высказывания. Если задано высказывание, то отрицание этого высказывания можно сформулировать следующим образом: «не верно, что». Если заданное высказывание истинно, то отрицание его всегда ложно и наоборот. 
- отрицание.
Свойства отрицания:
| А | 
|
| И | Л |
| Л | И |
1 – закон двойного отрицания
2). Импликацией двух высказываний А и В называется высказывание «если А, то В», которое ложно тогда и только тогда, когда первое высказывание истинно, а второе – ложно. В остальных случаях импликация истина. В импликации связка «если А, то В» не означает ни каких причинно-следственных связей. Например: если 2*2=4, то сегодня хорошая погода.
Свойства импликации:
| А | В | 
|
| И | И | И |
| Л | Л | И |
| И | Л | Л |
| Л | И | И |
1 
- закон контропозиции
3. И→А=А
А→И=И
Л→А=И
А→Л=Ā
3). Эквиваленцией высказываний А и В называется высказывание «А если и только если В», которое истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания истины или оба высказывания ложно. В остальных случаях эквиваленция ложна.
| А | В | 
|
| И | И | И |
| Л | Л | И |
| И | Л | Л |
| Л | И | Л |
Свойство эквивалентности: 
22. Аксиоматическое определение сложения натуральных чисел, свойства. По правилам построения аксиоматической теории определение операции сложения вводится используя только отношение непосредственно следующее за. Если к любому натуральному числу прибавить 1, то получим число, непосредственно следующее за а. а+1=а′.
Сложение натуральных чисел это алгебраическая операция, обладающая свойствами: 1) а+1=а′; 2) а+в′=(а+в)′. Число а и в называют слагаемыми, число (а+в) – суммой.
Теорема. Сложение натуральных чисел существует и определяется единственным образом. Докажем единственность операции сложения. Допустим, что существует две операции сложения, обладающими данными свойствами.
1) аË1=а′ 1) а+1=а′
2) аËв′=(аËв)′ 2) а+в′=(а+в)′
пусть число а выбрано произвольно, а в – принимает различное натуральное значение. Доказательство проводим методом математической индукции.
Докажем, что для единицы операции совпадают.
Опред сложения 1 опред сложен 2
а+1===========а′==========аË1 а+1=аË1
k Докажем, что если операции совпадают для числа в, то они совпадают для числа в′. предположим, что верно равенство а+в=аËв. Докажем, исходя из этого, что а+в′=аËв′
Опр слож 1 по предположнию опр слож 2
а+в′======(а+в)′==========(аËв)′=======аËв′
Поскольку равенство верно для 1, и из предположения, что оно верно для в следует, что оно верно для в′. Значит равенство верно для любого натурального числа. А значит, операции совпадают и могут отличаться только обозначениями.
Свойства сложения. 1. Ассациотивность. Для любых натуральных чисел а, в, с выполняется свойство а+(в+с)=(а+в)+с. Доказательство. Пусть натуральные числа а и в выбраны произвольно, а число с принимает различные натуральные значения. Обозначим через М множество всех тех натуральных чисел с, для которых равенство выполняется. 1) докажем, что 1 принадлежит М, т.е с=1.
по опр слож по опр слож опр слож
а+(в+1)======а+в′=======(а+в)′======(а+в)+1
2) предположим, что равенство а+(в+с)=(а+в)+с – истинно.
Докажем, что равенство а+(в+с′)=(а+в)+с′ - истинно.
опр слож опр слож по предполож опр слож
а+(в+с′)=====а+(в+с)′======(а+(в+с))′=====((а+в)+с)′=====(а+в)+с′.
Т.О., множество М содержит 1 и из того, что число с содержится во множестве М следует, что и с′ содержится в множестве М. следует по аксиоме индукции, что множество М совпадает со множеством натуральных чисел, следовательно равенство истинно для любого натурального числа.
2. Коммутативное свойство сложения (частный случай). Для любого натурального числа а выполняется равенство 1+а=а+1. Доказываем методом математической индукции: 1) докажем, что а=1, равенство выполняется. а=1 1+1=2=1′=1+1 2) предположим, что равенство истинно 1+а=а+1. Докажем, что и верно равенство 1+а′=а′+1.
опр слож по предполож по опр послед цел числа по опр последующ целого числа
1+а′====(1+а)′=======(а+1)′===============(а′)′================а′+1.
Получили равенство истинно для 1, а из того, что данное равенство истинно для числа а, доказали истинность для а′, следовательно равенство истинно для любого натурального числа.
3. Коммутативное свойство сложения. Для любых натуральных чисел а и в выполняется равенство а+в=в+а. Доказательство. Пусть а произвольно выбранное натуральное число, в принимает различное натуральное значение. Доказательство проводим по в. 1) докажем, что в=1, равенство выполняется.
в=1 а+1=1+а доказано в свойстве 2. 2) предположим, что для в равенство истинно а+в=в+а. Докажем истинность для в′ а+в′=в′+а.
опр слож по предпол опр слож опр слож по свойст 2 свойст 1 опр слож
а+в′====(а+в)′====(в+а)′===в+а′=====в+(а+1)=====в+(1+а)==(в+1)+а==в′+а
Доказали, что для 1 равенство истинно. И из предположения, что равенство истинно для в, доказали истинность равенства для в′, следовательно равенство истинно для любого натурального числа.
4. Аддитивность суммы. Для любых натуральных чисел а, в, с, из того, что а=в Þ а+с=в+с. Доказательство методом математической индукции. Пусть а и в произвольно выбранные натуральные числа, а с принимает различные натуральные значения. 1) с=1
опр слож а=в опр слож
а+1======а′====в′========в+1
2) предположим, что равенство истинно для с.
а+с=в+с а+с′=в+с′
опр слож по предполож опр слож
а+с′======(а+с)′=========(в+с)′======в+с′
Доказали, что равенство истинно для любого натурального числа.
Покажем как составляется таблица сложения.
1′=2
2′=3
3′=4
4′=5
5′=6
1+2=1+1′=(1+1)′=2′=3 2+2=2+1′=(2+1)′=3′=4
1+3=1+2′=(1+2)′=3′=4 2+3=2+2′=(2+2)′=4′=5
