Теорема – это высказывание, истинность которого необходимо доказать. С логической точки зрения теорема это высказывание вида: А(х) 
В(х).
В теореме можно выделить 3 части: 1) преамбула. В ней описываются множества, относительно которых задана теорема. Это области определения высказывания А и высказывания В.2) условия теоремы. Это предложение А или то что дано в теореме. 3) заключение теоремы. Это предложение В или то что нужно доказать в теореме.
Различают 4 вида теорем:
- Данная теорема – А (х) В (х) (если А, то В). Например: вертикальные углы равны. Если углы вертикальные, то они равны.
- Теорема обратная данной – В (х) А(х) (если В, то А). Например: если углы равны, то они вертикальные (данная теорема – ложна).
- Теорема противоположная данной –
. Если углы не вертикальные, то они не равны (данная теорема ложна). - Теорема противоположная обратной – и
. Если углы не равны, то они не вертикальные. (Истинная теорема.)
Из истинности данной теоремы не следует истинность обратной и противоположной данной теорем. Для каких бы теорем мы не формулировали теорему противоположную обратной, она всегда будет истинной. Т.о., теорема данная и теорема противоположная обратной равносильны. Эту равносильность называют законом контропозиции 
. Согласно этому закону, вместо данной теоремы можно доказывать теорему противоположную данной. И это доказательство называется доказательством от противного. Если дана теорема из А(х) В(х), то в этом случае А(х) является достаточным условием для В, а В(х) необходимым условием для А. Если А является необходимым и достаточным условием для В, то в этом случае одновременно истины два высказывания – из А следует В и из В следует А. Если высказывание А необходимо и достаточно для В, то говорят, что А и В равносильны. В любом утверждении о необходимости и достаточности содержатся два независимых друг от друга высказывания. Поэтому, если мы хотим доказать такое утверждение, то сначала доказывается достаточность, а затем необходимость. Н-р: для того чтобы прямые были параллельны необходимо и достаточно, чтобы перпендикуляр, проведенный к одной из них, был перпендикулярен ко второй прямой. В данной теореме два высказывания: 1) если прямые параллельны, то перпендикуляр, проведенный к одной из них, является перпендикуляром к другой прямой (это необходимость). 2) если перпендикуляр проведенный к одной прямой перпендикулярен ко второй прямой, то такие прямые параллельны (это достаточность). Для доказательства теоремы в целом следует сначала доказать достаточность (достаточное условие), а затем необходимость (необходимое условие).
21. Аксиоматическое построение множества натуральных чисел. Требования к системе аксиом, аксиомы Пеано. При аксиоматическом построении какой-либо математической теории соблюдаются определенные правила: 1) некоторые понятия теории выбираются в качестве основных и принимаются без определения; 2) каждому понятию теории, которое не содержится в списке основных, дается определение. В нем разъясняется его смысл с помощью основных и предшествующих данному понятий. 3) формулируется аксиомы, т.е предложения, которое в данной теории принимается без доказательства. В аксиомах раскрываются свойства основных понятий. 4) каждое предложение теории, которое не содержится в списке аксиом должно быть доказано. Такие предложения называются теоремами. Их доказывают на основе аксиом и теорем, предшествующих данной.
Т.О. аксиоматический метод построения математической теории проходит через несколько этапов: 1) введение основных неопределяемых понятий (н-р: множество, элемент множества в теории множеств). 2)введение основных отношений (н-р: отношение принадлежности в теории множеств). 3) через указание основных понятий и основных отношений вводится определение других понятий и отношений (н-р: в теории множеств понятия объединения, пересечения, разности, дополнения).
При аксиоматическом построении теории все утверждения выводятся путем доказательства из аксиом. Основу такой теории составляет система аксиом, и к системе аксиом предъявляются особые требования: 1)система аксиом должна быть непротиворечивой. Систему аксиом называют непротиворечивой, если из нее нельзя логически вывести два взаимоисключающих друг друга предложения. Другими словами, нельзя вывести высказывание и отрицание данного высказывания, так чтобы они одновременно были истинными. Чтобы убедится в непротиворечивости системы аксиом достаточно построить модель этой системы. 2) система аксиом должна быть независимой. Система аксиом называется независимой, если никакие из аксиом этой системы не являются следствием других аксиом. Другими словами каждая аксиома этой системы не может быть выведена из остальных аксиом. Чтобы доказать независимость системы аксиом достаточно построить модель этой системы. 3) система аксиом должна быть полной, т.е. количество аксиом выбранных в данной теории должно быть достаточно для введения новых понятий, отношений, доказательства теорем, для построения всей теории.
При аксиоматическом построении одной и той же теории можно использовать разные системы аксиом, но они должны быть равносильными. В качестве основного понятия при аксиоматическом построении системы натуральных чисел взято отношение «непосредственно следовать за». Известными так же считаются понятия «множество», «элемент множества», правило логики. Элемент, непосредственно следующий за элементом а, обозначается а – штрих.
Суть отношения «непосредственно следовать за» раскрывается в следующих аксиомах: 1) во множестве натуральных чисел существует элемент, непосредственно не следующий ни за каким элементом этого множества, данный элемент 1 (единица). 2) для каждого элемента а из множества натуральных чисел (N) существует единственный элемент а′, не посредственно следующий за а. 3) для каждого элемента а из N, существует не более одного элемента, за которым непосредственно следует а. 4) всякое подмножество М множества N, обладающего свойствами: 1 Î М, и из того, что а содержится в М Þ что и а′ содержится в М, совпадает со множеством N.
Перечисленные системы аксиом называются аксиомами Пеано. Т.О. множество чисел, для которых устанавливается отношение непосредственно следовать за, удовлетворяющее аксиомам Пеано, называется множеством натуральных чисел, а его элемент – натуральным числом. Четвертая аксиома описывает бесконечность натурального ряда чисел и называется аксиомой индукции. На ее основе проводится доказательство различных утверждений методом математической индукции, который заключается в следующем: чтобы доказать, что данное утверждение истинно для любого натурального числа необходимо: 1) доказать, что это утверждение истинно для единицы, 2) из предложения, что утверждение истинно для произвольного числа к, доказать, что оно истинно и для следующего числа к′.
В определении множества N ничего не говорится о природе этого множества, значит оно может быть каким угодно. Выбирая в качестве множества N любое множество, на котором задано отношение непосредственно следовать за и удовлетворяющее аксиомам Пеано получим модель данной системы аксиом. Между всеми такими моделями можно установить взаимно однозначное соответствие. Эти модели будут отличаться только природой элементов, названием и обозначением. Н-р: 1, 2, 3, 4, 5… 0.00,000,0000,00000, … ½, 1/3, ¼, 1/5,
23. Аксиоматическое определение умножения натуральных чисел. Свойства умножения. Алгебраическая операция, которая паре натуральных чисел а и в ставит в соответствие число а и в называется произведением, для которого выполняются условия: 1) а·1=а; 2) а·в′=ав+а.
Свойства умножения. 1. Дистрибутивное свойство сложения относительно умножения. Для любых натуральных чисел а, в, с выполняется равенство (а+в) ·с=а·с+в·с. Доказательство. Пусть натуральные числа а и в выбраны произвольно, а число с принимает различные натуральные значения. Обозначим через М множество всех тех натуральных чисел с, для которых данное равенство верно. 1) докажем, что 1 принадлежит М, с=1.
по опред умножения опр умножения
(а+в) ·1============а+в==========а·1+в·1
2) предположим, что с принадлежит М, т.е., равенство (а+в) ·с=а·с+в·с – истинно. Докажем, что с′ тоже принадлежит М. (а+в) ·с′=а·с′+в·с′
опр умножен по предполож по коммутат св 3 опр умножен
(а+в)·с′====(а+в)·с+(а+в)=====а·с+в·с+а+в======(а·с+а)+(в·с+в)====а·с′+в·с′
Доказали, что 1 содержится во множестве М и с каждым числом с во множестве М содержится число с′Þ по аксиоме индукции, множество М совпадает со множеством натуральных чисел Þ данное равенство верно для любого натурального числа.
2. Ассоциативное свойство умножения. Для любых натуральных чисел а, в, и с выполняется равенство а*(в*с)=(а*в)*с. Доказательство. Пусть натуральные числа а и в выбраны произвольно, а число с принимает различные натуральные значения. Обозначим через М множество всех тех натуральных чисел с, для которых равенство верно. 1) докажем, что 1 принадлежит М, с=1.
опр умножен опр умножен
а· (в·1)======а·в============(а·в) ·1
2) предположим, что с принадлежит М, то а· (в·с)=(а·в) ·с – истинно. Докажем, что равенство истинно для с′. а· (в·с′)=(а·в) ·с′.
опр умножен по дистрибут св по предполож опр умножен
а· (в·с′)======а· (в·с+в)=======а·(в·с)+а·в=======(а·в)с+а·в========(а·в) ·с′
Получили, что М содержит 1 и наряду с каждым числом с во множестве М содержится число с′Þпо аксиоме индукции М совпадает с множеством натуральных чисел, а значит данное свойство выполняется для любого натурального числа.
3. Коммутативное свойство (частный случай). 1·в=в·1. Доказательство проведем методом математической индукции. 1) докажем, что для 1 равенство истинно. в=1
1·1=1====1·1 (определение умножения). 2) предположим, что для в равенство истинно. 1*в=в*1. Докажем, что для в′ равенство верно: 1·*в′=в′·1. Доказательство:
опр умножен дистрибут св по предпол опр умнож опр слож опр умнож
1·в′======1·в+1)========1·в+1======в·1+1=======в+1======в′=====в′·1
Общий вид. а·в=в·а. Пусть в произвольно выбранное число, а а принимает различные натуральные значения. Доказательство проводится по а. 1) а=1, доказать, что равенство верно. 1·в=в·1 (доказано в коммутативном свойстве частный случай). 2) предположим, что для а а·в=в·а – истинно. Докажем истинность а′·в=в·а′
опр сложен дистрибут св по предполож дистрибут св опр сложен
а′·в======(а+1) ·в=======а·в+в========в·а+в=======в· (а+1)=======в·а′
Из того, что данное равенство верно для 1 и из предположения верности равенства для а, доказана истинность равенства для а, а значит равенство верно для любого натурального числа.
Покажем, как составляется таблица умножения.
2*2=2*1′=2*1+2=2+2=4 3*3=3*2′=3*2+3=6+3=9
2*3=2*2′=2*2+2=4+2=6 3*4=3*3′=3*3+3=9+3=12
2*4=2*3′=2*3+2=6+2=8
