Отношения между множествами.
1) множества не имеют общих элементов
А В
2) два множества имеют общие элементы
А В
3) 
одно множество является подмножеством другого. Множество называется подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является элементом множества А. Также говорят, что множество В включено в множество А
4) 
два множества равны. Множества называются равными или совпадающими. Если каждый элемент множества А является элементом множества В и наоборот.
А=В
Пустое множество является подмножеством любого множества.
Объединение множеств и его свойства. Пересечение множеств и его свойства.
1. а) объединение двух множеств. Объединением двух множеств А и В называется множество С, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат множеству А или множеству В. Объединение определяется штриховкой и обозначается
 |  |  |  | ||||
А В В А В А В
1) А U В=С, 2) 3) АU В=А, 4) АUВ=А=В.
б) свойства операции объединения множеств:
· коммутативное свойство: АUВ=ВUА
· ассоциативное свойство: АU (ВUС)=(АUВ) UС
· закон поглощения: АUА=А; АUØ=А; АUУ=У.
2. а) пересечение двух множеств. Пересечением двух множеств А и В называется множество С, содержащее все элементы, которые принадлежат и множеству В одновременно.
А В А В А В
А В
1) А∩В= Ø, 2) 3) А∩В=В 4) А∩В=А=В.
б) свойства пересечения:
· коммутативное свойство: А∩В= В∩А
· ассоциативное свойство: А∩(В∩С)=(А∩В)∩С
· закон поглощения: А∩А=А, А∩ Ø= Ø, А∩У=А
Дистрибутивные свойства, связывающие операции объединения и пересечения.
Их можно доказать на кругах Эйлера.
1). АU (В∩С)=(АUВ)∩(АUС)
2). А∩(ВUС)=(А∩В) U (А∩С)
Доказательство. Обозначим левую часть равенства М, а правую – Н. Чтобы доказать верность данного равенства, докажем, что множество М включено в Н, а Н в М.
Пусть 1). 
(произвольно выбранный элемент).
2).
Принцип расширения числового множества. Множества целых и рациональных чисел, их свойства.
1. Расширяемое множество является подмножеством расширенного множества (натуральные числа являются подмножеством целых) N – множество натуральных чисел, Z – множество целых чисел, Q – множество рациональных чисел, R – множество действительных чисел.
2. Операция арифметических действий в расширяемом R
множестве, являющаяся алгебраической, выполняется
точно также и в расширенном множестве. Если в Q
расширяемом множестве арифметические действия Z
не выполняются, т.е. операция не является N
алгебраической, то в расширенном множестве эта
операция становится алгебраической.
Н-р: вычитание во множестве натуральных чисел
неалгебраическая операция, а во множестве целых чисел – алгебраическая. Деление во множестве целых чисел неалгебраическая, а во множестве рациональных чисел – алгебраическая.
Множество целых чисел (Z) включает в себя множество натуральных чисел, число 0 и числа противоположные натуральным. Множество целых чисел можно расположить на числовой прямой так, что каждому целому числу будет соответствовать одна и только одна точка на числовой прямой. Обратное утверждение не верно, любой точке не всегда будет соответствовать целое число.
Целые числа расположены на числовой прямой на одинаковом расстоянии от 0. Число 0 называется нейтральным элементом. Число, находящееся от заданного числа на таком же расстоянии левее 0, называется противоположным. Сумма двух противоположных чисел равна 0.
Z – является линейно упорядоченным, т.е. для любых чисел А и В, взятых из Z, справедливо одно из следующих отношений А=В, А<В, А>В. Z является счетным множеством. Множество называется счетным, если оно эквивалентно множеству натуральных чисел, т.е. можно установить соответствия между заданным множеством и множеством N.
Покажем, что Z является счетным, т.е. каждому натуральному числу взаимно однозначно (единственным образом) соответствует целое число. Для того, чтобы установить такое соответствие поставим каждому нечетному натуральному числу в соответствие отрицательное целое число. А каждому четному натуральному числу поставим соответствие положительное число. Установив такое соответствие можно показать, что оно будет взаимно однозначным, а значит множество Z является счетным.
Z является дискретным. Множество дискретно, если оно упорядочено и между любыми двумя элементами этого множества находится конечное число элементов данного множества.
Множество рациональных чисел (Q). К рассмотрению дробных чисел привела необходимость измерения различных величин. Впервые дроби появились в ДР. Египте, но рассматривались только как доли 1, т.е. рассматривались только дроби вида 1\н. Дроби появились на геометрической основе при измерении длин отрезков. Н-р. пусть дан отрезок А, чтобы измерить этот отрезок, выбирается в качестве единицы длины другой отрезок Е и укладывается в заданном. если оказывается, что отрезок Е уложится равное число раз, то длина отрезка А выражается натуральным числом. Но часто оказывалось, что отрезок Е укладывался неравное число раз. Тогда его разбивали на более мелкие части и получали отрезок Е1 и уже этот отрезок укладывали в заданном отрезке А. Тогда длина отрезка А измерялась парой натуральных чисел. Первое число показывало, сколько раз в отрезке А уложился отрезок Е. Второе число показывало, сколько раз уложился отрезок Е1 в остатке отрезка А после измерения отрезка Е. Эта пара чисел и определяла дробь. Запись вида м\н называется дробью, где м и н натуральные числа. Две дроби называют эквивалентными (равносильными), если произведение числителя первой дроби на знаменатель второй равно произведению знаменателя первой дроби на числитель второй.
Свойства множества рациональных чисел. 1). Q является линейно упорядоченным, т.е.для любых рациональных чисел А и В выполняется одно из отношений А=В, А>В, А<В. Рациональное число 
, если a*d>b*c. Докажем, что Q линейно упорядоченное и отношение является отношением строгого порядка.
--докажем антисимметричность. Из того, что 
, из того, что дробь 
. Т.К. во множестве натуральных чисел отношение «больше» антисимметрично, можно записать 
.
--докажем транзитивность отношения «больше».
Если 
, то 
Так как произведение (bc)n=(cn)b и отношение «больше» в множестве натуральных чисел транзитивно → (ad)n>(dm)b | сократим на d
. Так как выполняются свойства антисимметричности и транзитивности, то отношение «больше» является отношением строгого порядка.
2). Любому рациональному числу можно поставить в соответствие единственную точку числовой прямой. Обратное утверждение неверно.
3). Q является множеством всюду плотным. Числовое множество называется всюду плотным, если оно линейно упорядочено и между любыми двумя его элементами находится бесконечное количество элементов заданного множества. Для доказательства этого выберем на числовой прямой два рациональных числа к1, к2. докажем. Что между ними находится бесконечно много рациональных чисел. Используем операцию нахождения среднего арифметического
К1 к4 к3 к5 к2 
Число к – рациональное, так как операция сложения и деления на 2 определены. Процесс нахождения среднеарифметического всегда выполним и бесконечен, т.е. между к и к находится бесконечно много рациональных чисел.
4). Q – счетное множество, так как оно равномощно множеству натуральных чисел.
3. Разность между множествами, дополнение одного множества до другого. Свойства разности и дополнения. Разностью множеств А и В называется множество С, элементы которого принадлежат множеству А, но не принадлежат множеству В. Если множество В является подмножеством множества А, то разность между множествами А и В называется дополнением множества В до множества А.
 | |  |
А В \ - разность А В
1) А \ В = А 2)
2) 
3) 
А (В дополнение до А)
4) 
А \ В = Ø
Свойства разности и дополнения:
· разность не обладает свойством коммутативности и ассоциативности.
· Дополнение Ø =У (дополнение пустого множества ест универсальное), 
= Ø (дополнение универсального множества есть пустое множество), А \ Ø = А, 
UА=У, 
А = Ø, 
=А (двойное дополнение множества А до универсального множества)
· Закон де-Моргана
= 
(дополнение пересечения множества А и В равно объединению дополнений А и В)
= 
(дополнение объединения множеств А и В равно пересечению дополнений А и В)
4. Число элементов в объединении двух конечных множеств и в дополнении подмножества до данного множества. Мощностью множества называется число или количество элементов в данном множестве. Обозначение п(А), читается «эн от А». n(A)=5.
1. Если множества не пересекаются. Число элементов объединения двух непересекающихся конечных множеств равно сумме численности этих множеств. Доказательство:
А={a1, a2, a3...ak} n(A)=k
B={b1, b2, b3,…bt} n(B)=t
Докажем, что n(AUB)=k+t
AUB={a1, a2, a3,…ak, bk+1, bk+2,…bk+t}
A∩B=Ø n(AUB)=k+t
n(AUB)=n(A)+n(B).
2. Если множества пересекаются. Число элементов объединения двух конечных пересекающихся множеств равно разности между суммой численности этих множеств и численности пересечения данных множеств. Доказательство.
A={a1, a2, a3,…as, as+1, as+2…… as+t } n(A)=s+t
B={a1, a2, a3, …as, bs+1, bs+2, bs+3,…s+k } n(B)=s+k
A∩B={a1, a2, a3,…as} n(A∩B)=s
AUB={a1, a2,…as…as+t, bs+1, bs+2, bs+3…bs+k}
n(AUB=s+t+k=s+t+k+s-s=(s+t)+(s+k)-s, тогда
n(AUB)=n(A)+n(B)-n(A∩B);
3. Число элементов дополнения конечного множества А до конечного множества В равно разности численности этих множеств. Доказательство.
B={b1, b2, b3…bk}
А={b1, b2, b3,……bm} m<k n(B)=k n(A)=m
(B\A)={bm+1, bm+2,…bk} n(B\A)=k-m Þ
n(B\A)=n(B)-n(A)
