Принцип расширения числового множества. Множества целых и рациональных чисел, их свойства.

Отношения между множествами.

1) множества не имеют общих элементов

А В

 

2) два множества имеют общие элементы

А В

 

3) одно множество является подмножеством другого. Множество называется подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является элементом множества А. Также говорят, что множество В включено в множество А

4) два множества равны. Множества называются равными или совпадающими. Если каждый элемент множества А является элементом множества В и наоборот.

 

А=В

Пустое множество является подмножеством любого множества.

Объединение множеств и его свойства. Пересечение множеств и его свойства.

1. а) объединение двух множеств. Объединением двух множеств А и В называется множество С, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат множеству А или множеству В. Объединение определяется штриховкой и обозначается

А В В А В А В

1) А U В=С, 2) 3) АU В=А, 4) АUВ=А=В.

б) свойства операции объединения множеств:

· коммутативное свойство: АUВ=ВUА

· ассоциативное свойство: АU (ВUС)=(АUВ) UС

· закон поглощения: АUА=А; АUØ=А; АUУ=У.

2. а) пересечение двух множеств. Пересечением двух множеств А и В называется множество С, содержащее все элементы, которые принадлежат и множеству В одновременно.

А В А В А В

А В

1) А∩В= Ø, 2) 3) А∩В=В 4) А∩В=А=В.

б) свойства пересечения:

· коммутативное свойство: А∩В= В∩А

· ассоциативное свойство: А∩(В∩С)=(А∩В)∩С

· закон поглощения: А∩А=А, А∩ Ø= Ø, А∩У=А

Дистрибутивные свойства, связывающие операции объединения и пересечения.

Их можно доказать на кругах Эйлера.

1). АU (В∩С)=(АUВ)∩(АUС)

2). А∩(ВUС)=(А∩В) U (А∩С)

Доказательство. Обозначим левую часть равенства М, а правую – Н. Чтобы доказать верность данного равенства, докажем, что множество М включено в Н, а Н в М.

Пусть 1). (произвольно выбранный элемент).

 

2).

Принцип расширения числового множества. Множества целых и рациональных чисел, их свойства.

1. Расширяемое множество является подмножеством расширенного множества (натуральные числа являются подмножеством целых) N – множество натуральных чисел, Z – множество целых чисел, Q – множество рациональных чисел, R – множество действительных чисел.

2. Операция арифметических действий в расширяемом R

множестве, являющаяся алгебраической, выполняется

точно также и в расширенном множестве. Если в Q

расширяемом множестве арифметические действия Z

не выполняются, т.е. операция не является N

алгебраической, то в расширенном множестве эта

операция становится алгебраической.

Н-р: вычитание во множестве натуральных чисел

неалгебраическая операция, а во множестве целых чисел – алгебраическая. Деление во множестве целых чисел неалгебраическая, а во множестве рациональных чисел – алгебраическая.

Множество целых чисел (Z) включает в себя множество натуральных чисел, число 0 и числа противоположные натуральным. Множество целых чисел можно расположить на числовой прямой так, что каждому целому числу будет соответствовать одна и только одна точка на числовой прямой. Обратное утверждение не верно, любой точке не всегда будет соответствовать целое число.

Целые числа расположены на числовой прямой на одинаковом расстоянии от 0. Число 0 называется нейтральным элементом. Число, находящееся от заданного числа на таком же расстоянии левее 0, называется противоположным. Сумма двух противоположных чисел равна 0.

Z – является линейно упорядоченным, т.е. для любых чисел А и В, взятых из Z, справедливо одно из следующих отношений А=В, А<В, А>В. Z является счетным множеством. Множество называется счетным, если оно эквивалентно множеству натуральных чисел, т.е. можно установить соответствия между заданным множеством и множеством N.

Покажем, что Z является счетным, т.е. каждому натуральному числу взаимно однозначно (единственным образом) соответствует целое число. Для того, чтобы установить такое соответствие поставим каждому нечетному натуральному числу в соответствие отрицательное целое число. А каждому четному натуральному числу поставим соответствие положительное число. Установив такое соответствие можно показать, что оно будет взаимно однозначным, а значит множество Z является счетным.

Z является дискретным. Множество дискретно, если оно упорядочено и между любыми двумя элементами этого множества находится конечное число элементов данного множества.

Множество рациональных чисел (Q). К рассмотрению дробных чисел привела необходимость измерения различных величин. Впервые дроби появились в ДР. Египте, но рассматривались только как доли 1, т.е. рассматривались только дроби вида 1\н. Дроби появились на геометрической основе при измерении длин отрезков. Н-р. пусть дан отрезок А, чтобы измерить этот отрезок, выбирается в качестве единицы длины другой отрезок Е и укладывается в заданном. если оказывается, что отрезок Е уложится равное число раз, то длина отрезка А выражается натуральным числом. Но часто оказывалось, что отрезок Е укладывался неравное число раз. Тогда его разбивали на более мелкие части и получали отрезок Е₁ и уже этот отрезок укладывали в заданном отрезке А. Тогда длина отрезка А измерялась парой натуральных чисел. Первое число показывало, сколько раз в отрезке А уложился отрезок Е. Второе число показывало, сколько раз уложился отрезок Е₁ в остатке отрезка А после измерения отрезка Е. Эта пара чисел и определяла дробь. Запись вида м\н называется дробью, где м и н натуральные числа. Две дроби называют эквивалентными (равносильными), если произведение числителя первой дроби на знаменатель второй равно произведению знаменателя первой дроби на числитель второй.

Свойства множества рациональных чисел. 1). Q является линейно упорядоченным, т.е.для любых рациональных чисел А и В выполняется одно из отношений А=В, А>В, А<В. Рациональное число , если a*d>b*c. Докажем, что Q линейно упорядоченное и отношение является отношением строгого порядка.

--докажем антисимметричность. Из того, что , из того, что дробь . Т.К. во множестве натуральных чисел отношение «больше» антисимметрично, можно записать .

--докажем транзитивность отношения «больше».

Если , то

Так как произведение (bc)n=(cn)b и отношение «больше» в множестве натуральных чисел транзитивно → (ad)n>(dm)b | сократим на d

. Так как выполняются свойства антисимметричности и транзитивности, то отношение «больше» является отношением строгого порядка.

2). Любому рациональному числу можно поставить в соответствие единственную точку числовой прямой. Обратное утверждение неверно.

3). Q является множеством всюду плотным. Числовое множество называется всюду плотным, если оно линейно упорядочено и между любыми двумя его элементами находится бесконечное количество элементов заданного множества. Для доказательства этого выберем на числовой прямой два рациональных числа к₁, к₂. докажем. Что между ними находится бесконечно много рациональных чисел. Используем операцию нахождения среднего арифметического

К₁ к₄ к₃ к₅ к₂

Число к – рациональное, так как операция сложения и деления на 2 определены. Процесс нахождения среднеарифметического всегда выполним и бесконечен, т.е. между к и к находится бесконечно много рациональных чисел.

4). Q – счетное множество, так как оно равномощно множеству натуральных чисел.

 

3. Разность между множествами, дополнение одного множества до другого. Свойства разности и дополнения. Разностью множеств А и В называется множество С, элементы которого принадлежат множеству А, но не принадлежат множеству В. Если множество В является подмножеством множества А, то разность между множествами А и В называется дополнением множества В до множества А.

А В \ - разность А В

 

1) А \ В = А 2)

2) 3) _А (В дополнение до А)

4) А \ В = Ø

Свойства разности и дополнения:

· разность не обладает свойством коммутативности и ассоциативности.

· Дополнение Ø =У (дополнение пустого множества ест универсальное), = Ø (дополнение универсального множества есть пустое множество), А \ Ø = А, UА=У, А = Ø, =А (двойное дополнение множества А до универсального множества)

· Закон де-Моргана

= (дополнение пересечения множества А и В равно объединению дополнений А и В)

= (дополнение объединения множеств А и В равно пересечению дополнений А и В)

 

4. Число элементов в объединении двух конечных множеств и в дополнении подмножества до данного множества. Мощностью множества называется число или количество элементов в данном множестве. Обозначение п(А), читается «эн от А». n(A)=5.

1. Если множества не пересекаются. Число элементов объединения двух непересекающихся конечных множеств равно сумме численности этих множеств. Доказательство:

А={a_1, a₂, a₃...a_k} n(A)=k

B={b₁, b₂, b₃,…b_t} n(B)=t

Докажем, что n(AUB)=k+t

AUB={a₁, a₂, a₃,…a_k, b_k+1, b_k+2,…b_k+t}

A∩B=Ø n(AUB)=k+t

n(AUB)=n(A)+n(B).

2. Если множества пересекаются. Число элементов объединения двух конечных пересекающихся множеств равно разности между суммой численности этих множеств и численности пересечения данных множеств. Доказательство.

A={a₁, a₂, a₃,…a_s, a_s+1, a_s+2…… a_s+t } n(A)=s+t

B={a₁, a₂, a₃, …a_s, b_s+1, b_s+₂, b_s+₃,…s+k } n(B)=s+k

A∩B={a₁, a₂, a₃,…a_s} n(A∩B)=s

AUB={a₁, a₂,…a_s…a_s+t, b_s+1, b_s+₂, b_s+₃…b_s+_k}

n(AUB=s+t+k=s+t+k+s-s=(s+t)+(s+k)-s, тогда

n(AUB)=n(A)+n(B)-n(A∩B);

3. Число элементов дополнения конечного множества А до конечного множества В равно разности численности этих множеств. Доказательство.

B={b₁, b₂, b₃…b_k}

А={b₁, b₂, b₃,……b_m} m<k n(B)=k n(A)=m

(B\A)={b_m+1, b_m+2,…b_k} n(B\A)=k-m Þ

n(B\A)=n(B)-n(A)