Отношение строгого и нестрогого порядка. Их свойства, примеры.

2) отношение на множестве Х называется отношением строго порядка, если оно антисимметрично и транзитивно. Отношение называется антисимметричным, если из того, что а находится в отношении с в не следует, что в находится в отношении с а (а, в ∈ Х, а R в → в R а) R – находиться в отношении. Отношение называется транзитивным, если для любых элементов а, в, с из того, что а R в и в R с → что а R с, а, в, с ∈ Х. Например: отношение «больше, меньше». Множество, на котором задано отношение строгого порядка, называется упорядоченным множеством.

3) отношение на множестве Х называется отношением не строгого порядка, если оно рефлексивно, ассиметрично и транзитивно. Например: отношение ≥ ≤. Если отношение порядка обладает свойством связности, то говорят, что оно является отношением линейного порядка. Отношение называется связанным на множестве Х, если для любых элементов х и у выполняется условие: из того, что х ≠ у следует, что х R у или у R х. Если на множестве задано отношение линейного порядка, то оно линейно упорядочивает данное множество.

 

 

5. Множество действительных чисел. Его свойства. К расширению множества рациональных чисел привела необходимость измерения длин отрезков, площадей и т.д. В основе любого измерения лежит один и тот же принцип: измеряемый объект сравнивается с эталоном (предметом или явлением), величина которого имеет численное значение, равное 1, но не всегда единичный отрезок вкладывается в измеряемом объекте. Поэтому при измерении делают 2 допущения, которые в математике определились как аксиомы: 1) Единичный эталон можно разделить на любое число равных между собой долей или частей. 2) Выбранным эталоном можно измерять любой как угодно большой объект. Для отрезков эти аксиомы сформулировал Архимед: Как бы ни был мал отрезок АВ и как бы ни был велик отрезок СД, существует такое натуральное число N, что N*AB>CD, если в измеряемом отрезке CD уложилось равное число отрезков АВ, то длина отрезка CD выражается натуральным числом. Если в измеряемом отрезке CD отрезок АВ укладывается неравное число раз, то АВ разбиваем на 10 одинаковых отрезков, называемых десятой долей эталонов. При необходимости десятая доля может разбиваться на 10 равных частей и т.д. Если в отрезок CD укладывается равное число 10, 100 и т.д. долей отрезков АВ, то длина отрезка CD выражается рациональным числом. Однако не всегда длина отрезка может выражаться натуральным или рациональным числом. Существуют несоизмеримые отрезки, т.е. отрезки, длина которых не выражается рациональным числом. (теоремы смотри вопрос 32)

Числа, которые могут быть представлены в виде бесконечных десятичных непериодических дробей называется иррациональными. Объединение множества рациональных чисел и множества иррациональных чисел есть множество действительных чисел ().

Свойства множества действительных чисел. 1). Множество точек числовой оси равномощно множеству действительных чисел.

0 М 1 Возьмем на отрезке от 0 до 1 любую точку М,

Д проведем полуокружность с центром в

середине этого отрезка и радиусом

К О С равным половине его. Проведем перпендикуляр из М до пересечения с полукругом. Получим Д. Эта точка единственная, так как полукруг и прямая пересекаются только в одной точке. Из середины данного отрезка через Д проведем прямую до пересечения с числовой осью. Получим К, которая определяется единственным образом, так как де прямые пересекаются только в одной точке. Выбирая другую произвольную точку на заданном отрезке и повторяя весь процесс получим, что любой точке отрезка от0 до 1 соответствует единственная точка числовой прямой. Рассуждая в обратном порядке можно показать, что любой точке числовой прямой также соответствует единственная точка от 0 до 1. Если произвольная точка Е принадлежит числовой прямой, то через точки М и Е можно провести только одну прямую, которая пересечет полуокружность. Из полуокружности можно опустить перпендикуляр на заданный отрезок. Таким образом, между точками отрезка от 0 до 1 и точками числовой прямой устанавливается взаимно одинаковое отображение, т.е. они равномощны.

2) множество действительных чисел не является счетным, т.е. оно не равно множеству натуральных чисел.

3). Множество действительных чисел является непрерывным множеством. Непрерывность множества действительных чисел состоит в том, что между любыми двумя действительными числами находится бесконечное множество только действительных чисел

 

6. Разбиение множества на классы. Примеры классификации. Отношение эквивалентности, его свойства. Взаимосвязь отношения эквивалентности с разбиением множества на классы. Рассмотрим на примере. Пусть задано множество М (множество выпуклых многоугольников), образуем все подмножества данного множества: А₁ – множество треугольников; А2 – множество четырехугольников; А3 – множество пятиугольников; Ак – множество к-угольников. Множество М считается разбитым на классы, если выполняются следующие условия:

1. каждое подмножество А не пусто
2. пересечения любых двух подмножеств является пустым множеством
3. объединение всех подмножеств есть данное множество М

Разбиение множества на классы называется классификацией.

Отношение на множестве Х называется эквивалентным, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Отношение называется рефлексивным, если любой элемент из множества Х находится в отношении сам с собой а ∈ Х, а R а (R – находиться в отношении). Отношение называется симметричным, если для любых двух элементов множества Х (а и в) из того, что а находится в отношении с в, будет следовать, что в находится в отношении с а (а, в ∈ Х, а R в → в R а). Отношение называется транзитивным, если для любых элементов а, в, с из того, что а R в и в R с → что а R с, а, в, с ∈ Х. На графе отношения эквивалентности есть петли, взаимно обратные стрелки и треугольные стрелки. Отношение эквивалентности, и только оно, связано с разбиением множества на классы. Это утверждение можно сформулировать в виде теоремы: Если на множестве Х задано отношение эквивалентности, то это отношение разбивает множество Х на классы, и наоборот, если множество Х разбито на классы, то на заданном множестве выполняется отношение эквивалентности. Например. Пусть задано отношение – жить в одном доме. Покажем, что множество жильцов в доме будет разбито на классы. А каждый класс, это отдельная квартира. Для данного разделения будут выполняться все необходимые условия разбиения множества на классы: а) каждый класс не пуст, т.к. в каждой квартире хотя бы 1 человек, но прописан, б) классы не пересекаются (1 человек не прописан в двух разных квартирах), в) объединение всех классов, т.е. жильцов каждой квартиры, и составляет множество жильцов дома.

 

18. Теоретико-множественный подход к построению теории целых неотрицательных чисел. Отношения равенства, больше (меньше). Два множества А и В называются эквивалентными или равномощными, если между ними можно установить взаимнооднозначное соответствие, т.е., если каждому элементу множества А ставится в соответствие единственный элемент множества В и наоборот. Мощность или кардинальное число – это такое свойство, которое присуще любому множеству В, равномощному множеству А и не присуще ни какому другому множеству не равномощному множеству А. А~В n (А)=а – это мощность. Отношение равномощности является отношением эквивалентности, т.е. для него выполняются свойства рефлексивности, симметричности и транзитивности. Отношение равномощности разбивает множество всех множеств на классы эквивалентности. Для определения понятия натурального числа и нуля рассмотрим разбиение всех конечных множеств.

Пусть М это множество всех конечных множеств. М=К₀ Ка Кв, где Ко – это класс пустых множеств, Ка – это множество, содержащее равномощные множества а_1,а₂, а₃ и т.д., Кв – это множество. Содержащее равномощные множества в₁, в₂, в₃ и т.д. Множество М может содержать и другие подмножества К различной природы, которые состоят из равномощных множеств. У каждого класса эквивалентности К есть общее то, что они состоят из одинакового количества элементов, других общих свойств нет. Целое неотрицательное число с теоретико-множественной точки зрения, есть общее свойство класса конечных равномощных множеств. Натуральное число есть общее свойство класса не пустых конечных равномощных множеств. Каждому классу приписывается кардинальное число (мощность). Классу пустое множество приписывается координальное число 0. Классу состоящему из множеств, имеющих 1 элемент приписывается число1. Классу, состоящему из множеств, имеющих 2 элемента приписывается число 2. (n(К₀)=0, n(К₁)=1, n(К₂)=2, n(Ка)=а).

Отношение равенства. Целые неотрицательные числа а и в называются равными, если множества А и В, численность которых они выражают, равномощны (А; n(А)=а, n(В)=в, А ~ В n(А)=n(В) а=в).

Теорема: отношение равенства во множестве целых неотрицательных чисел является отношением эквивалентности. Доказательство. Докажем, что отношение равенства обладает свойствами симметричности, транзитивности и рефлексивности.

1. свойство рефлексивности. Докажем, что а=а. Известно, что любое множество равномощно самому себе. Если множества равномощны, то их мощности равны (А~А; n(А)=n(А); а=а).
2. свойство симметричности. Докажем, что если а=в, то в=а. Дано: А и В такие, что А~В, т.к. для отношения равномощности выполняется свойство симметричности, то А~В В~А; n(А)=n(В) а=в; n(В)=n(А) в=а.
3. свойство транзитивности. Докажем, что если а=в и в=с, то а=с. Дано: А, В, С, где А~В и В~С. Для отношения равномощности выполняется свойство транзитивности А~В В~С А~С; n(А)=n(В) n(В)=n(С) n(А)=n(С); а=в в=с а=с.

Т.к. свойства рефлексивности, симметричности, транзитивности выполняются, то отношение равенства является отношением эквивалентности.

Отношение меньше. Целое неотрицательное число а<в, если множество А равномощно собственному подмножеству В₁ множества В. а<в; n(А)=а; n(В)=в; В₁ В n(В₁)<n(В); В₁~А n(В₁)=n(А); n(А)<n(В) а<в.

Теорема: отношение меньше во множестве целых неотрицательных чисел является отношением строго порядка. Доказательство: Докажем, что отношение меньше обладает свойствами анти симметричности и транзитивности.

1. свойство антисимметричности. Если а<в, то в а; Если а<в, то по определению А~В₁, где В₁ является подмножеством В, т.е. В₁ В. Т.к. В В₁, то n(В) n(В₁) в в₁. Т.к. А~В₁ n(А)=n(В₁), n(В) n(А); в а. Получили а<в, то в а.
2. свойство транзитивности. а<в и в<с, то а<с. По условию а<в А~В₁ и В₁подмножество В. а<в А~В₁ В₁ В. Т.к в<с, то выделяем С₁ такое что В~С₁ С₁ С. Во множестве С₁ можно выделить такое подмножество С₂, которое будет равномощно подмножеству В₁ и соответственно равномощно А.

С₂ С₁ С₂~В₁ С₂~А n(А)=n(С₂) n(С₂)<n(С₁) n(А)<n(С₁). Т.к. n(С₁)<n(С) с₁<с, то n(А)<n(С) а<с. Доказали, что отношение меньше является отношением строго порядка.

 

А В С₁ С

В₁ С₂

 

 

7. Понятие кортежа упорядоченной пары. Декартово произведение множеств и его свойства. Число элементов в декртовом произведении множеств. Для введения понятия декартово произведение множеств рассмотрим понятие кортежа. Это понятие, как и понятие множество, является основным неопределенным понятием. Для кортежа важен порядок следования элементов. Элементы в кортеже могут повторяться. Число элементов в заданном кортеже называется его длиной. Кортеж длины 2 называется упорядоченной парой. Картеж обозначается () или < >. × - обозначение декартового произведения множеств. (а,в,а); (а,в,с) ≠ (в,а,с); (а,е,с)=(а,е,с). Декартовым произведением множеств А и В называется множество, состоящее из всех упорядоченных пар, в которых первая компонента является элементом первого множества, а вторая компонента элементом второго множества. А={а,в,с} В={1,2} А×В={(а,1),(а,2), (в,1),(в,2),(с,1),(с,2)} Свойство декартова произведения множеств (ДПМ). ДПМ не обладает свойством коммутативности и ассоциативности: А×В≠В×А. Выполняются свойства дистрибутивности ДПМ:1) относительно объединения множеств А×(В⋃С)=(А×В)⋃(А×С); 2) относительно пересечения множеств А×(В∩С)=(А×В)∩(А×С). Чтобы найти число элементов в ДП в двух и более множеств нужно знать число элементов в каждом множестве. Если число элементов равно n. Если n(A)=n, а n(B)=m, то n(A×B)=n*m. Пусть А={а1,а2,а3,…аn} В={в1,в2,в3,…вm}. Составим ДПМ А и В: (а1,в1) (а1,в2) (а1,в3) …(а1, вm) (а2,в1) (а2,в2) (а2,в3) …(а2, вm) (а3,в1) (а3,в2) (а3,в3) …(а3,вm) ___________________________ (аn, в1) (аn,в2) (аn,в3) …(аn,вm) В каждой строчке эм-пар, таких строчек эн, значит всего перечислено эм на эн пар, следовательно число элементов в ДПМ А и В равно произведению числа элементов во множестве А на число элементов во множестве В.

8. Понятие соответствия между множествами. Способы задания соответствия. Виды соответствий. Соответствием эф между элементами множеств Х и У называют тройка множеств (Х;У; Gf (джи от эф), джи от эф это подмножество ДП (декартового произведения). Множество Х называется областью отправления, множество У называется областью прибытия джи от эф – называется графиком данного соответствия. Областью определения соответствия эф называется множество тех элементов первого множества (т.е. области отправления), которым соответствуют элементы второго множества (т.е. области прибытия). Множеством значения соответствия эф называется множество элементов области прибытия, которым поставлены в соответствие некоторые элементы области отправления. Способы заданиясоответствий: перечисление его элементов, с помощью графика, с помощью графа, при помощи таблицы, словесно, алгебраически, т.е. уравнением, неравенством. Виды соответствий. Соответствия называются всюдуопределенным, если область отправления совпадает с областью определения. На графе такого соответствия от каждого элемента первого множества отходит хотя бы одна стрелка. Соответствие называется сюръективным, если его множество значений совпадает с областью прибытия. На графе такого соответствия к каждому элементу 2-ого множества подходит хотя бы 1 стрелка. Соответствие называется инъективным, если никаким разным элементам 1-ого множества не соответствует один и тот же элемент 2-го множества. На графе такого соответствия ни к какому элементу 2-го множества не подходит более 1 стрелки. Соответствие называется функциональным, если к каждому элементу 1-го множества соответствует не более 1 элемента 2-го множества. На графе такого соответствия от каждого элемента 1-го множества, если будет отходить, то только 1 стрелка. Функциональное соответствие называется функцией. Среди всех функциональных соответствий выделяют всюдуопределительные соответствия, которые называют отображением. Соответствие называется взаимнооднозначным, если выполняются условия: 1) любым двум различным элементам множества Х соответствуют различные элементы множества У, 2) любому элементу множество У соответствует хотя бы один элемент множества Х. Два соответствия между множествами Х и У называются противоположными, если их графики взаимно дополняют декартово произведение Х на У. Соответствие называется обратным к данному соответствию, если данное соответствие выполняется в том и только том случае, когда выполняется обратное. Если данное соответствие есть подмножество декартова произведения множеств Х и У, то обратное соответствие – это подмножество декартового произведения множеств Х и У. Чтобы получить соответствие обратное данному. На его графе необходимо поменять направление стрелок.

 

19. Сложение и вычитание в количественной теории целых неотрицательных чисел. Их свойства. Суммой двух целых неотрицательных чисел а и в называется целое неотрицательное число с, которое является мощностью объединения двух непересекающихся множеств А и В, мощности которых соответственно равны а и в. а+в=с, n(С)=n(АUВ), n(АUВ)=n(А)+n(В).

Свойства сложения. 1. Сложение во множестве целых неотрицательных чисел всегда существует и определяется единственным образом. Докажем, что сумма всегда существует. Рассмотрим А и В, такие, что их пересечение пустое множество и число элементов А есть а, а мощность В есть – в. найдем объединение А и В. Так как объединение двух непересекающихся множеств всегда существует, а значит существует и сумма, а из определения суммы следует, что сложение всегда существует.

Докажем, что сумма определяется единственным образом. Существует С₁ и С₂ – неотрицательные целые числа. С₁=а+в и С₂=а+в. Сумма чисел а и в не зависит от того, какие множества А и В мы выбрали из класса равномощных множеств, а следовательно и объединение А и В, взятых из класса равномощных множеств не зависит от выбора множеств А и В, т.к мощности в каждом классе одинаковы, то С₁=С₂.

2. Каммутотивность сложения. Для любых целых неотрицательных чисел а и в выполняется свойство а+в=в+а. Из теории множеств знаем, что для АUВ=ВUА. Если равны множества, равны их численные значения. n(АUВ)=n(ВUА). Из теории множеств знаем, что мощность объединения равна сумме мощностей. N(А)+n(В)=n(В)+n(А).

3. Свойство ассоциативности. Для любых чисел а, в, с выполняется свойство: а+(в+с)=(а+в)+с. Из теории множеств известно, что для объединения множеств выполняется свойство ассоциативности: АU(ВUС)=(АUВ)UС, если равны множества, то равны их численные значения, n(АU(ВUС))=n((АUВ)UС). Из теории множеств известно, что мощность объединения равна сумме мощностей этих множеств, n(А)+n(ВUС)=n(АUВ)+n(С) n(А)+(n(В)+n(С))=(n(А)+n(В))+n(С) а+(в+с)=(а+в)+с.

Разностью целых неотрицательных чисел а и в называется целое неотрицательное число с, которое является мощностью дополнения множества В до множества А, таких, что В принадлежит А, n(А)=а, n(В)=в.

Свойства разности. 1. Для того чтобы разность целых неотрицательных чисел существовала, необходимо и достаточно, чтобы а было больше или равно в.

Докажем: 1) достаточное условие существования разности. Дано: а - в = с, доказать: а в. По определению разности следует, что существует дополнение множества В до множества А, и это дополнение имеет мощность, которую можно найти из равенства, известного из теории множеств.

n () = n(А)-n(В). Из того, что В является подмножеством А следует, что число элементов в В меньше числа элементов А. n (В)<n (А), следовательно в<а или а>в; В входит в А; n(В)<n(А).

2). Необходимое условие. Дано а в. доказать существование разности (а-в). Если а>в, по определению отношения «меньше» существует множество А₁, такое что А₁ входит в А и А₁~В. Составим разность А и А_1. Эта разность всегда существует (А- А₁ =С), а следовательно существует С, которое является этой разностью. Из этих условий следует, что С является дополнением А₁ до А. С = _1А Мощность С есть мощность дополнения А₁ до А. n (С)=n( _1А )=n(А)-n(А₁), так как А₁ ~ В, то n(А₁)=n(В), следовательно n(С)=n(А)-n(В), следовательно с=а-в.

2. Разность целых неотрицательных чисел находится единственным образом, так как разность есть мощность дополнения подмножеств до множества, а дополнение определяется единственным образом, то и разность целых неотрицательных чисел определяется единственным образом.

3. Для вычитания не выполняются свойства коммутативности и ассоциативности.

4. Вычитание суммы из числа. а-(в+с)=(а-в)-с. Из теории множеств известно А\(ВUС)=(А\В)\С, причем В Ì А; С Ì А; ВUСÌА.

n (А\(ВUС))=n((А\В)\С)

n(А)-n(ВUС)=n(А\В)-n(С)

n(А)-(n(В)+n(С))=(n(А)-n(В))-n(С)

а-(в+с)=(а-в)-с.

5. Вычитание числа из разности (а-в)-с=(а-с)-в. Доказательство основывается на свойстве разности множеств (А\В)\С=(А\С)\В.

6. Вычитание числа из суммы (а+в)-с=(а-с)+в. Доказательство опирается на свойство множеств (АUВ)\С=(А\С) UВ.

 

9.Функциональное соответствие. Свойства числовых функций. Соответствие называется функциональным, если к каждому элементу 1-го множества соответствует не более 1 элемента 2-го множества. На графе такого соответствия от каждого элемента 1-го множества, если будет отходить, то только 1 стрелка. Функциональное соответствие заданное на числовом множес тве называется числовой называется функцией. Свойства числовых функций. 1. каждая функция имеет область определения и множество значений. 2. функция может быть возрастающей или убывающей. Функция называется возрастающей на промежутке а в, если для любых х1 и х2 х1 > х2 следует f (x1) > f (x2). Функция называется убывающей на промежутке а в, если для любых х1 и х2 из этого промежутка, из того, что х1 > х2 следует f (x1) < f (x2). 3. функции могут быть четными или не четными. Функция называется четной, если она задана на симметричной области определения и выполняется условие f(-x)=f(x). Функция называется не четной, если на симметричной области определения выполняется условие f(-x)=-f(x). График четной функции симметричен относительно оси ОУ, не четной – симметричен относительно начала координат. у = х2 у = х3         Четная не четная На практике часто встречаются функции, которые не являются четными и не четными. 4. функции могут быть периодичными. Функция называется периодичной, если существует такое число Т, что выполняется условие f(x+Т)=f(x). К периодичным относятся все тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс). 5. функции могут иметь особые точки. Это точки пересечения с осями координат и точки экстремумов, т.е. точки минимума и максимума. Точка х0 называется точкой минимума функции, если для всех Х из окрестности х0 выполняется условия f (x) > f (x0). Точка х0 называется точкой максимума функции, если для всех х из окрестностях х0 f(x)< f (x0). 6. функции могут иметь промежутки знаков постоянства, т.е. это те подмножества, области определения, элементы которых обращают функцию либо только в положительную, либо только в отрицательную. 7. функция может иметь точки разрыва, т.е. те значения переменной х, в которых у не существует (функции обратной пропорциональности). у = , если х = 0

11. Понятия отношения между элементами одного множества. Свойства отношений. Отношение – это соответствие, заданное между элементами одного и того же множества. Соответствие, заданное между равными множествами называется бинарным отношением. Отношение на множестве Х – это упорядоченная пара «икс» и «джи», где «джи» - это подмножество декартового произведения множества Х само на себя (Х*Х). Свойства отношений. 1) отношение называется рефлексивным, если любой элемент из множества Х находится в отношении сам с собой а ∈ Х, а R а (R – находиться в отношении). На графе такого отношения от каждого элемента будет отходить петля. 2) отношение называется симметричным, если для любых двух элементов множества Х (а и в) из того, что а находится в отношении с в, будет следовать, что в находится в отношении с а (а, в ∈ Х, а R в → в R а). На графе такого отношения два элемента будут соединены взаимно обратной стрелкой. 3) отношение называется транзитивным, если для любых элементов а, в, с из того, что а R в и в R с → что а R с, а, в, с ∈ Х. На графе такого отношения три элемента связаны треугольной стрелкой. 4) отношение называется антирефлексивным, если любой элемент из множества Х не находится в отношении с самим собой (а ∈ Х, а R а). 5) отношение называется антисимметричным, если из того, что а находится в отношении с в не следует, что в находится в отношении с а (а, в ∈ Х, а R в → в R а). 6) отношение называется антитранзитивным, если из того, что а, в, с ∈ Х, а R в и в R с→ а R с. 7) отношение называется ассиметричным, если а R в и в R а, только при условии, что а = в. Способы задания отношений: перечисление его элементов, с помощью графика, с помощью графа, при помощи таблицы, словесно, алгебраически, т.е. уравнением, неравенством.