Звичайне диференціальне рівняння першого порядку, розвязане відносно похідної

 

- Система звичайних диференціальних рівнянь першого порядку, розв'язана відносно похідних (нормальна система -го порядку)

Звичайне диференціальне рівняння -го порядку, розв'язане відносно старшої похідної

Диференціальні рівняння.

1. Диференціальні рівняння з відокремленими змінними.

X(x)Y(y)dx+X₁(x)Y₁(y)dy=0

має загальний інтеграл: (1)

Особливі розв¢язки, що не входять в інтеграл (1), визначаються з рівнянь: Х₁(х)=0 і У₁(у)=0.

2. Однорідні диференціальні рівняння першого порядку:

P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0,

де P(x, y) і Q(x, y) – щднорідні неперервні функції одинакового степеня, розв¢язуються за допомогою підстановки y=u*x (u – нова функція).

3. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку:

a(x)y¢+b(x)y+c(x)=0

можна розв¢язати за допомогою підстановки y=u*v,

де u – не нульовий розв¢язок однорідного рівняння

a(x)y¢+b(x)y=0, а v – нова функція.

4. Інтегровані випадки диференціального рівняння другого порядку:

а) якщо y¢¢=f(x), то загальний розв¢язок:

;

б) якщо y¢¢=f(у), то загальний інтеграл:

;

в) якщо y¢¢=f(у¢), то загальний інтеграл рівняння можна

знайти з співвідношення: , де у¢=р.

5. Випадки пониження порядку для диференціального рівняння другого порядку:

а) якщо у¢¢=f(x, y¢), то приймаючи у¢=р(х), отримуємо:

;

б) якщо у¢¢=f(у, y¢), то приймаючи у¢=р(у), отримуємо:

.

6. Загальний розв¢язок лінійного однорідного диференці-ального рівняння другого порядку:

у¢¢+р(х)у¢+q(x)y=0 має вигляд

у=С₁у₁+С₂у₂,

де у₁ і у₂ – лінійно незалежні частинні розв¢язки.

7. Загальний розв¢язок лінійного неоднорідного диференці-ального рівняння другого порядку:

у¢¢+р(х)у¢+q(x)y=f(x) має вигляд ,

де - загальний розв¢язок відповідного неоднорідного рівняння; z – частинний розв¢язок даного неоднорідного рівняння.

8. Таблиця 1.

Загальний вигляд розв¢язків однорідного рівняння у¢¢+ру¢+qy=0 (p i q - сталі) в залежності від коренів характеристичного рівняння k²+pk+q=0.

 

 

(a>0,a¹1); d(ln u)=

4) d(sin u)=cos u du; 10) d(arctg u)= ;

5) d(cos u)= -sin u du; 11) d(arcctg u)=

6) d(tg u)= 12) df(u)=f¢(u)du.

15.Малий приріст диференційованої функції:

f(x+∆x)-f(x)»f¢(x)∆x

16. Диференціал другого порядку функції у=f(x), де х - незалежна змінна (d²x)=0:

d²y=у''dx².

 

55. Диференціальні рівняння з відокремленими змінними.

X(x)Y(y)dx+X₁(x)Y₁(y)dy=0

має загальний інтеграл: (1)

Особливі розв¢язки, що не входять в інтеграл (1), визначаються з рівнянь: Х₁(х)=0 і У₁(у)=0.

 

56.. Однорідні диференціальні рівняння першого порядку:

P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0,

де P(x, y) і Q(x, y) – щднорідні неперервні функції одинакового степеня, розв¢язуються за допомогою підстановки y=u*x (u – нова функція).

 

57. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку:

a(x)y¢+b(x)y+c(x)=0

можна розв¢язати за допомогою підстановки y=u*v,

де u – не нульовий розв¢язок однорідного рівняння

a(x)y¢+b(x)y=0, а v – нова функція.