Ортогональные функции.
Две вещественные функции 
и 
на интервале 
называются ортогональными, если
Для комплексных функций вводится комплексное сопряжение одной из функций под интегралом, для векторных — скалярное произведение функций под интегралом, а также интегрирование по отрезку заменяется на интегрирование по области соответствующей размерности.
Полезным обобщением понятия ортогональности является ортогональность с определённым весом. Ортогональны с весом 
функции 
и 
, если
где 
— скалярное произведение векторов 
и 
— значений векторнозначных функций и в точке 
, — точка области 
, а 
— элемент её объёма (меры). Эта формула записана наиболее общим способом по сравнению со всеми выше. В случае вещественных скалярных , скалярное произведение следует заменить на обычное; в случае комплексных скалярных , : 
.
Ряд Фурье по ортогональной системе функций
Определение. Функции j(х) и y(х), определенные на отрезке [a, b], называются ортогональными на этом отрезке, если
Определение. Последовательность функций j1(x), j2(x), …, jn(x), непрерывных на отрезке [a, b], называется ортогональной системой функций на этом отрезке, если все функции попарно ортогональны.
Отметим, что ортогональность функций не подразумевает перпендикулярности графиков этих функций.
Определение. Система функций называется ортогональной и нормированной (ортонормированной), если
Определение. Рядом Фурье по ортогональной системе функций j1(x), j2(x), …,jn(x) называется ряд вида:
коэффициенты которого определяются по формуле:
,
где f(x) = 
- сумма равномерно сходящегося на отрезке [a, b] ряда по ортогональной системе функций. f(x) – любая функция, непрерывная или имеющая конечное число точек разрыва первого рода на отрезке [a, b].
[an error occurred while processing this directive]
В случае ортонормированной системы функций коэффициенты определяются:
разложение в ряды фурье по системе косинусов и синусов
Разложение в ряд Фурье по косинусам.
Ряд Фурье четной периодической функции f(x) с периодом 2π содержит только члены с косинусами (т.е. не содержит членов с синусами) и может включать постоянный член. Следовательно,
где коэффициенты ряда Фурье,
Разложение в ряд Фурье по синусам.
Ряд Фурье нечетной периодической функции f(x) с периодом 2π содержит только члены с синусами (т.е. не содержит членов с косинусами).
Следовательно,
где коэффициенты ряда Фурье,
№ 5 Предел ФКП. Непрерывность ФКП. Производная ФКП. Условия Каши-Римана.
Предел ФКП.
Определение. Пусть функция w = f (z) определена в проколотой окрестности точки z 0 = x 0 + iy 0. Комплексное число w 0 = u 0 + iv 0 называется пределом функции при z → z 0, если для любой ε-окрестности U (w 0, ε) (ε>0) точки w 0 найдётся такая проколотая δ-окрестность 
точки z 0, что для всех 
значения f (z) принадлежат U (w 0, ε). Другими словами, если z 0 - собственная точка плоскости, то для любого ε > 0 должно существовать такое δ > 0, что из неравенства 0 < | z − z 0| < δ следует неравенство | f (z) − w 0| < ε (аналогично расписывается определение для несобственной точки z 0 = ∞). Таким образом, на языке ε - δ определение предела ФКП полностью совпадает с определением предела функции одной действительной переменной; обозначается предел, как обычно: 
.
Неравенство | f (z) − w 0| < ε означает, что |(u (x, y) + iv (x, y)) − (u 0 + iv 0)| < ε, или |(u (x, y) - u 0) + i (v (x, y) − v 0)| < ε. Для модуля комплексных чисел справедливы все основные свойства абсолютной величины, в частности | z 1 + z 2| ≤ | z 1| + | z 2|, поэтому |(u (x, y) - u 0) + i (v (x, y) − v 0)| < ε 
Отсюда легко получить, что 
. Таким образом, существование предела функции комплексной переменной равносильно существованию пределов двух действительных функций u (x, y) и v (x, y) двух действительных переменных. Поэтому в комплексный анализ автоматически переносятся все теоремы о пределах функции в точке (предел суммы функций и т.д.). Так же можно доказать, что если w 0 = | w 0|·(cos arg w 0 + i sin arg w 0) ≠ 0, то 
(для существования нулевого предела достаточно, чтобы 
)..
Непрерывность ФКП. Пусть функция w = f (z) определена в окрестности точки z 0 = x 0 + iy 0. Функция называется непрерывной в точке z 0, если:
1. существует 
;
2. 
Как и в случае предела, можно показать, что w = f (z) будет непрерывной в точке z 0 = x 0 + iy 0 тогда и только тогда, когда функции u (x, y) и v (x, y) непрерывны в точке (x 0, y 0), поэтому на ФКП переносятся все основные теоремы о непрерывности функций.
Определение производной. Аналитичность ФКП. Пусть w = f (z) определена, однозначна и принимает собственные значения в окрестности точки z = x + iy ∈ C. Производной функции w = f (z) в точке z называется предел 
. Функция, имеющая конечную производную в точке z, называется дифференцируемой в этой точке.
В этом определении важно, что стремление Δ z → 0 может проходить по любому пути. Как мы увидим дальше, вследствие этого обстоятельства существование производной f’ (z) не сводится к существованию частных производных функций u (x, y) и v (x, y), а требует некоторых дополнительных условий. Сейчас мы дадим определение основного в теории ФКП понятия - аналитичности функции в точке и в области.
Определение. Однозначная функция называется аналитической (регулярной, голоморфной) в точке z, если она дифференцируема в некоторой окрестности этой точки.
Однозначная функция называется аналитической в области D, если она аналитична в каждой точке этой области.
Условия Коши-Римана (Даламбера-Эйлера). Сейчас мы сформулируем и докажем важнейшую в теории ФКП теорему о необходимых и достаточных условиях дифференцируемости (а, следовательно, аналитичности) функции.
Для того, чтобы функция w = f (z) = u (x, y) + iv (x, y) была дифференцируема в точке z = x + iy, необходимо и достаточно, чтобы функции u (x, y) = Re f (z) и v (x, y) = Im f (z) были дифференцируемы в точке (х, у), и чтобы в этой точке выполнялись соотношения 
.
