Разложение в ряды фурье по системе косинусов и синусов

Ортогональные функции.

Две вещественные функции и на интервале называются ортогональными, если

Для комплексных функций вводится комплексное сопряжение одной из функций под интегралом, для векторных — скалярное произведение функций под интегралом, а также интегрирование по отрезку заменяется на интегрирование по области соответствующей размерности.

Полезным обобщением понятия ортогональности является ортогональность с определённым весом. Ортогональны с весом функции и , если

где — скалярное произведение векторов и — значений векторнозначных функций и в точке , — точка области , а — элемент её объёма (меры). Эта формула записана наиболее общим способом по сравнению со всеми выше. В случае вещественных скалярных , скалярное произведение следует заменить на обычное; в случае комплексных скалярных , : .

Ряд Фурье по ортогональной системе функций

Определение. Функции j(х) и y(х), определенные на отрезке [a, b], называются ортогональными на этом отрезке, если

Определение. Последовательность функций j₁(x), j₂(x), …, jn(x), непрерывных на отрезке [a, b], называется ортогональной системой функций на этом отрезке, если все функции попарно ортогональны.

Отметим, что ортогональность функций не подразумевает перпендикулярности графиков этих функций.

 

Определение. Система функций называется ортогональной и нормированной (ортонормированной), если

 

Определение. Рядом Фурье по ортогональной системе функций j₁(x), j₂(x), …,jn(x) называется ряд вида:

коэффициенты которого определяются по формуле:

,

где f(x) = - сумма равномерно сходящегося на отрезке [a, b] ряда по ортогональной системе функций. f(x) – любая функция, непрерывная или имеющая конечное число точек разрыва первого рода на отрезке [a, b].

[an error occurred while processing this directive]

В случае ортонормированной системы функций коэффициенты определяются:

разложение в ряды фурье по системе косинусов и синусов

Разложение в ряд Фурье по косинусам.

Ряд Фурье четной периодической функции f(x) с периодом 2π содержит только члены с косинусами (т.е. не содержит членов с синусами) и может включать постоянный член. Следовательно,

где коэффициенты ряда Фурье,

Разложение в ряд Фурье по синусам.

Ряд Фурье нечетной периодической функции f(x) с периодом 2π содержит только члены с синусами (т.е. не содержит членов с косинусами).

Следовательно,

где коэффициенты ряда Фурье,

№ 5 Предел ФКП. Непрерывность ФКП. Производная ФКП. Условия Каши-Римана.
Предел ФКП.
Определение. Пусть функция w = f (z) определена в проколотой окрестности точки z ₀ = x ₀ + iy ₀. Комплексное число w ₀ = u ₀ + iv ₀ называется пределом функции при z → z ₀, если для любой ε-окрестности U (w ₀, ε) (ε>0) точки w ₀ найдётся такая проколотая δ-окрестность точки z ₀, что для всех значения f (z) принадлежат U (w ₀, ε). Другими словами, если z ₀ - собственная точка плоскости, то для любого ε > 0 должно существовать такое δ > 0, что из неравенства 0 < | z − z ₀| < δ следует неравенство | f (z) − w ₀| < ε (аналогично расписывается определение для несобственной точки z ₀ = ∞). Таким образом, на языке ε - δ определение предела ФКП полностью совпадает с определением предела функции одной действительной переменной; обозначается предел, как обычно: .
Неравенство | f (z) − w ₀| < ε означает, что |(u (x, y) + iv (x, y)) − (u ₀ + iv ₀)| < ε, или |(u (x, y) - u ₀) + i (v (x, y) − v ₀)| < ε. Для модуля комплексных чисел справедливы все основные свойства абсолютной величины, в частности | z ₁ + z ₂| ≤ | z ₁| + | z ₂|, поэтому |(u (x, y) - u ₀) + i (v (x, y) − v ₀)| < ε Отсюда легко получить, что . Таким образом, существование предела функции комплексной переменной равносильно существованию пределов двух действительных функций u (x, y) и v (x, y) двух действительных переменных. Поэтому в комплексный анализ автоматически переносятся все теоремы о пределах функции в точке (предел суммы функций и т.д.). Так же можно доказать, что если w ₀ = | w ₀|·(cos arg w ₀ + i sin arg w ₀) ≠ 0, то (для существования нулевого предела достаточно, чтобы )..

Непрерывность ФКП. Пусть функция w = f (z) определена в окрестности точки z ₀ = x ₀ + iy ₀. Функция называется непрерывной в точке z ₀, если:
1. существует ;
2.
Как и в случае предела, можно показать, что w = f (z) будет непрерывной в точке z ₀ = x ₀ + iy ₀ тогда и только тогда, когда функции u (x, y) и v (x, y) непрерывны в точке (x ₀, y ₀), поэтому на ФКП переносятся все основные теоремы о непрерывности функций.

Определение производной. Аналитичность ФКП. Пусть w = f (z) определена, однозначна и принимает собственные значения в окрестности точки z = x + iy ∈ C. Производной функции w = f (z) в точке z называется предел . Функция, имеющая конечную производную в точке z, называется дифференцируемой в этой точке.
В этом определении важно, что стремление Δ z → 0 может проходить по любому пути. Как мы увидим дальше, вследствие этого обстоятельства существование производной f’ (z) не сводится к существованию частных производных функций u (x, y) и v (x, y), а требует некоторых дополнительных условий. Сейчас мы дадим определение основного в теории ФКП понятия - аналитичности функции в точке и в области.
Определение. Однозначная функция называется аналитической (регулярной, голоморфной) в точке z, если она дифференцируема в некоторой окрестности этой точки.
Однозначная функция называется аналитической в области D, если она аналитична в каждой точке этой области.

Условия Коши-Римана (Даламбера-Эйлера). Сейчас мы сформулируем и докажем важнейшую в теории ФКП теорему о необходимых и достаточных условиях дифференцируемости (а, следовательно, аналитичности) функции.
Для того, чтобы функция w = f (z) = u (x, y) + iv (x, y) была дифференцируема в точке z = x + iy, необходимо и достаточно, чтобы функции u (x, y) = Re f (z) и v (x, y) = Im f (z) были дифференцируемы в точке (х, у), и чтобы в этой точке выполнялись соотношения .