N-вимірний векторний простір.

Властивоті визначника.

Властивість 1: Визначник не змінюється при транспортуванні.

Властивість 2: Якщо один із рядків визначника складається з нулів, то такий визначник дорівнює нулю.

Властивість 3: Якщо поміняти місцями будь-які два рядки визначника, то йго знак змінюється на протилежний.

Властивість 4: Визначник, який має два однакові рядки, дорівнює нулю.

Властивість 5: Якщо елементи будь-якого рядка визначника помножити на стале число С, то і визначник помножиться на С.

Властивість 6: Визначник, який має два пропорційні рядки, дорівнює нулю.

Властивість 7: Якщо всі елементи будь якого рядка визначника можна подати у вигляді суми двох доданків, то визначник бкде дорівнювати сумі двох визначників, у яких елементами цього рядка будуть відповідно перший доданок в першому визначнику і другий доданок в другому визначнику.

Властивість 8: Визначник не змінюється, якщо до елементів будь-якого рядка додати відповідні елементи будь-якого іншого рядка, попередньо помножені не деяке число.

 

3. Означення матрець, типи матрець.

Означення: Матрицею називається прямокутна таблиця чисел, яка має m рядків і n стовпчиків. Їх позначають великими літерами A,B,C і т.д.

Типи матрець:

1. Квадратна матриця, в якої елементи головної діагоналі дорівнюють одиниці, а всі інші нулю називається одиничною матрецею.

2. Якщо всі елементи матриці, що знаходяться по один бік від головної діагоналі, дорівнюють нулю, то матриця назівається трикутною.

3. Якщо візначник відмінний від нуля, то матриця називається неособливою або невиродженою.

4. Якщо визначник дорівнює нулю, то матриця особліва або вироджена.

Дії над матрицями.

Сумою матрець одного порядку і називається матриця C=A+B; будь-який елемент, який дорівнює сумі відповідних елементів матриць A і B: .

Добуток матриці на деяке число a називається така матриця С, кожен елемент якої одержується множенням відповідних елементів матриці A на a,

Суми матрець і добутку матрець виконуються рівності:

1. A+B=B+A; 2. a A=A a 3. a (A+B)= a A+ a B 4. (a+b)A= a A+ b A 5. a(b A )=(ab) A

 

4. Оберненна матриця.

Матриця називається оберненною матрицею для квадратної, невиродженної А, якщо виконується співвідношення: .

Оберенні матриці існують для квадратних не особливих матриць.

Розв’язування систем рівнянь за допомогою оберненної матриці.

Знаходять обернену матрицю таким чином:

1.

2. Алгебрарічні доповнення , до всіх елементів матриці А.

3. З алгебрарічнихдоповнень сскладають матрицю в яку записують алгебраїчні доповнення не в звичайному порядку, а в транспоновану -

 

4.

 

N-вимірний векторний простір.

Сукупність впорядкованих систем з n -дійсних чисел, для яких означені дії додавання і множення на число, утворює n -вимірний векторний простір.

Елементами означенного таким чином простору будуть впорядковані системи чисел, які називаємо n -вимірними вектороми.

 

5. Правило Крамера.

Якщо головний визначник, складений з коефіцієнтів при невідомих, системи n -лінійних рівнянь з n -невідомими відмінний від нуля, то така система рівнянь має єдиний розв’язок (сумісна і визначена), який знаходиться за формулами:

, ,..., .

де -головний визначник, який складається з коефіцієнтів при невідомих у лівій частині системи.

-визначник, який одержується шляхом заміни j -го стовпчика в головному визначник на стовпчик вільних членів.

 

6. Суть методу: Якщо — основна матриця системи, — вектор-стовпчик вільних членів, — вектор-стовпчик невідомих; то має місце рівність:

Якщо матриця є квадратною та невиродженою, то для неї існує обернена матриця. Помноживши обидві частини рівняння зліва на , отримаємо .

оскільки та , то отримаємо формулу:

 

 

7. Метод Жорданна-Гаусса.

Розв’язання рівнянь методом Г-Ж здійснюється за допомогою розрахункової таблиці в яку записують коофіцієнти при невідомих, стовпчики вільних членів і контрольний стовпчик.

В контрольний стовпчик 1-ого стовбця записують сумму елементів по рядках. Елементи контрольного стовпчика 2-ого і наступних таблиць продовжують за правилом прямокутника. Контроль здійснюють так: якщо скма елементів рядка, крім останньго дорівнює останньму елементу, то обчислення зроблене вірно.

Розв’язування продовжується доки ми не отримаємо стільки одиночних векторів, скількі залишилося рівнянь.

 

8. В геометрії, система координат являє собою систему, яка використовує один або кілька номерів, або координати, щоб однозначно визначити положення точки або інших геометричних елементів на колектор, таких як евклідів простір. Порядок координати є значним і іноді вони ідентифікуються з їхньої позиції в упорядкований набір, а іноді і в листі, як в "Х-координаті. У елементарної математики координати вважаються речовими числами, але може бути і комплексними числами або елементами більш абстрактної системи, такі яккоммутативное кільце. Використання системи координат дозволяє проблеми в геометрії повинні бути переведені на проблеми про числах і навпаки, це є основою аналітичної геометрії.

Вектором називають напрямлений відрізок. А – початок вектора, В- кінець вектора.
Вектор позначається a або AB. Абсолютною величиною (або модулем) вектора називається довжина відрізка, що зображає вектор. Абсолютна величина вектора a позначається |a|.

Два вектори називаються рівними, якщо вони суміщаються паралельним перенесенням.
Рівні вектори однаково напрямлені і рівні за абсолютною величиною. Координатами

вектора a називають числа a₁ = x₂ - x₁, a₂ = y₂ - y₁, де A₁(x₁, y₁), A₂(x₂, y₂) - кінці вектора a.

Рівні вектори мають рівні відповідні координати. Якщо у векторів координати рівні, то вектори рівні.

Сумою векторів a i b з координатами (a₁, a₂) і (b₁, b₂) називається вектор с з координатами (a₁ + b₁, a₂ + b₂), тобто a(a₁, a₂) + b(b₁, b₂) = c(a₁ + b₁, a₂ + b₂). Різницею векторів a і b з координатами (a₁, a₂) і (b₁, b₂) називається вектор с з координатами (a₁-b₁, a₂-b₂), тобто

a(a₁, a₂) - b(b₁, b₂) = c(a₁ - b₁, a₂ - b₂). Добутком вектора a на число λ називається вектор с з координатами (λa₁, λa₂), тобто λa(a₁, a₂) = c(λa₁, λa₂). Абсолютна величина вектора λa дорівнює |λ||a|. Напрям вектора λa, збігається з напрямом вектора a, якщо λ > 0, і протилежний напряму вектора a, якщо λ < 0. Два вектора називаються колінеарними, якщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих. У колінеарних векторів відповідні координати пропорційні.

Скалярним добутком векторів a(a₁, a₂) i b(b₁, b₂) називається число a₁b₁ + a₂b₂. Кутом між ненульовими векторами AB i AC називається кут BAC. Кутом між будь-якими двома векторами a i b називається кут між векторами, що дорівнюють даним і мають спільний початок.
Кут між однаково напрямленими векторами дорівнює нулю. Скалярний добуток векторів дорівнює добутку їх абсолютних величин на косинус кута між ними: a•b = |a|•|b|•cos φ. Якщо вектори перпендикулярні, то їх скалярний добуток дорівнює нулю. Якщо скалярний добуток векторів дорівнює нулю, то вектори перпендикулярні.

 

9. Визначення. Площина - це поверхня, яка повністю містить, кожну пряму, що з'єднує будь-які її точки. Рівняння площини: - Загальне рівняння площини; - Рівняння площини в відрізках; - Рівняння площини, що проходить через точку, перпендикулярно вектору нормалі; - Рівняння площини, що проходить через три задані точки, які не лежать на одній прямій. Загальне рівняння площини: Будь-яку площину можна задати рівнянням площини першого ступеня вигляду A x + B y + C z + D = 0, де A, B і C не можуть одночасно дорівнювати нулю. Рівняння площини в відрізках. Якщо площина перетинає осі OX, OY і OZ в точках з координатами (a, 0, 0), (0, b, 0) і (0, 0, с), то вона може бути знайдена, якщо використати формулу рівняння площини в відрізках

x	+	y	+	z	= 1
a	b	c

Рівняння площини, що проходить через точку, перпендикулярно вектору нормалі. Щоб скласти рівняння площини, за координатами точки площини M(x0, y0, z0) і вектора нормалі площини n = {A; B; C} можна використати наступну формулу. A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0 Рівняння площини, що проходить через три задані точки, які не лежать на одній прямій. Якщо задані координати трьох точок A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2) і C(x3, y3, z3), які лежать на площині, то рівняння площини можна знайти за наступною формулою

x - x1	y - y1	z - z1	= 0
x2 - x1	y2 - y1	z2 - z1
x3 - x1	y3 - y1	z3 - z1

 

10. Теорема 1. Площина в прямокутній декартовій системі ко­ординат визначається загальним рівнянням першого степеня відносно поточних координат. Доведення. Геометричне будь-яку площину в просторі XYZ можна задати за допомогою вектора, перпендикуляр­ного до цієї площини, і точки M₀ (x₀, y₀, z₀), Через яку проходить дана площина. Візьмемо довільну точку M (х, у, z) і знайдемо вектор. Точка M належить заданій площині тоді і тільки тоді, коли Тоді; Оскільки то скалярний добуток мо­жна записати у вигляді А(х – х₀) + В(у – у₀) + C(z – z₀) = 0, Або

Ах + By + Cz - (Aх₀ + Ву₀ + Cz₀) = 0. (1). Позначивши - (AX₀ + Ву₀ + Cz₀) = D дістанемо загальне алгебраїчне рівняння першого степеня: Ах + By + Cz + D = О, (2) Отже, будь-яка площина в декартових прямокутних коорди­натах може бути зображена рівнянням першого степеня.

Зауважимо, що рівняння (1) є рівнянням площини, яка проходить. Через точкуу M₀ (х₀, у₀, z₀) перпендикулярно до вектора = (А, В, С). Доведемо тепер обернену теорему. Теорема 2. Загальне рівняння першого степеня Ax + By + Cz + D = 0, (3), де А, В, С і D — довільні дійсні чи­сла; х, у, z — поточні координата, визначає в декартовій прямокут­ній системі координат площину. Доведення. Доберемо трійку чисел (х₀, y₀> z₀), які задоволь­няють рівняння (3). Це можна зробити таким чином. Два числа х₀ і у₀візьмемо довільно, а третє z₀ знайдемо з рівняння (3). Тоді, Ах₀ + Ву₀ + Cz₀ + D = 0. (4) Віднімаючи від рівняння (3) рівняння (4), дістаємо А(х – х₀) + В(у – у₀) + C(z – z₀) = 0. (5)

Це рівняння є рівнянням площини, перпендикулярної до векто­ра = (А, В, С) і такої, що проходить через точку M₀ (х₀, у₀, z₀). Таким чином, кожна площина є поверхнею першого порядку, і, навпаки, кожна поверхня першого порядку є площиною. Тому рів­няння (l) або (3) називається загальним рівнянням площини. Рівняння; = 0 (6) називається векторним рівнянням площини.:Якщо у загальному рівнянні площини покласти z – z₀ = 0, то ді­станемо рівняння, А(х – х₀) + В(у – у₀) = 0,

Або Ах + By + С = 0, (7), де С = - (Ax₀ + Ву₀). Рівняння (7) називається загальним рів­нянням прямої, що лежить у площині хОу. Дослідження загального рівняння площини. Розглянемо загальне рівняння площини. Ах + Вy + Cz + D = 0. (8) де А, В, С і D — довільні числа, причому хоча б одне з перших трьох відмінне від нуля. Дослідимо окремі випадки цього рівняння. Якщо D = О, то рівняння (8) набирає вигляду; Ах + By + Cz = 0. (9).Це рівняння задовольняє точка О (0, 0, 0). Отже, рівняння (9) визначає площину, яка проходить через початок координат. Якщо А = 0, то рівняння (8) має вигляд: By + Cz + D = О (10) і визначає площину, нормальний вектор якої = (О, В, С) перпен­дикулярний до осі Ох. Отже, рівняння (10) визначає площину, паралельну осі абсцис, або перпендикулярну до площини yOz. Якщо А = В = 0, а С 0, то маємо рівняння площини, пара­лельної хОу: Рівняння х = 0, у = 0, z = 0 визначають відповідно координат­ні площини yOz, xOz, хОу.

 

11. Еліпс - геометричне місце точок M Евклідової площини, для яких сума відстаней до двох даних точок F ₁ і F ₂ (Званих фокусами) постійна і більше відстані між фокусами, тобто: | F ₁ M | + | F ₂ M | = 2 a, причому | F ₁ F ₂ | <2 a. Окружність є окремим випадком еліпса. Поряд з гіперболою і параболою, еліпс є конічним перетином і квадриків. Еліпс також можна описати як перетин площині і кругового циліндра або як ортогональну проекцію кола на площину. Властивості: - Пряма, проведена через середини відрізків, відсічених двома паралельними прямими, що перетинають еліпс, завжди буде проходити через центр еліпса. Це дозволяє побудовою за допомогою циркуля і лінійки легко отримати центр еліпса, а надалі осі, вершини і фокуси; - Точки перетину еліпса з осями є його вершинами; - Еліпс також можна описати як: 1. ортогональну проекцію кола на площину; 2. Перетин площині і кругового циліндра Канонічне рівняння еліпса може бути параметризовані: де - Параметр рівняння. Площа еліпса обчислюється за формулою: Площа сегмента між дугою, опуклою вліво, і хордою, що проходить через точки і

Якщо еліпс заданий рівнянням A x ² + B x y + C y ² = 1, То площу можна визначити за формулою

.

 

12. Гіпербола - геометричне місце точок M Евклідової площини, для яких абсолютне значення різниці відстаней від M до двох виділених точок F ₁ і F ₂ (Званих фокусами) постійно. Точніше, причому | F ₁ F ₂ |> 2 a> 0. Поряд з еліпсом і параболою, гіпербола є конічним перетином і квадриків. Гіпербола може бути визначена як конічний перетин з ексцентриситетом, великим одиниці. - Гіпербола складається з двох окремих кривих, які називають гілками. - Найближчі один до одного точки двох гілок гіперболи називаються вершинами. - Найкоротша відстань між двома гілками гіперболи називається великий віссю гіперболи. - Середина великий осі називається центром гіперболи. - Відстань від центру гіперболи до однієї з вершин називається велика піввісь гіперболи. 1. Зазвичай позначається a.

- Відстань від центру гіперболи до одного з фокусів називається фокальним відстанню. 1. Зазвичай позначається c.

- Обидва фокуса гіперболи лежать на продовженні великої осі на однаковій відстані від центру гіперболи. Пряма, що містить велику вісь гіперболи, називається дійсною чи поперечною віссю гіперболи. - Пряма, перпендикулярна дійсної осі і проходить через її центр називається уявною або сполученої віссю гіперболи. - Відрізок між фокусом гіперболи і гіперболою, перпендикулярний її дійсної осі, називається фокальним параметром. - Відстань від фокуса до асимптоти гіперболи називається прицільним параметром. 1. Зазвичай позначається b. - У завданнях, пов'язаних з рухом тіл по гіперболічним траєкторіях відстань від фокуса до найближчої вершини гіперболи називається періцентріческім відстанню. 1. Зазвичай позначається r _p..

13. Парабола - геометричне місце точок, рівновіддалених від даної прямий і даної точки. Поряд з еліпсом і гіперболою, парабола є конічним перетином. Вона може бути визначена як конічний перетин з одиничним ексцентриситетом.

Канонічне рівняння параболи в прямокутної системі координат:

(Або

· Парабола - крива другого порядку.

· Вона має вісь симетрії, званої віссю параболи. Вісь проходить через фокус і перпендикулярна директрисі.

· Оптичне властивість. Пучок променів, паралельних осі параболи, відбиваючись у параболі, збирається в її фокусі. І навпаки, світло від джерела, що знаходиться у фокусі, відображається параболою в пучок паралельних її осі променів.

· Для параболи фокус знаходиться в точці (0,25; 0).

Для параболи фокус знаходиться в точці (0; f).

· Якщо фокус параболи відобразити щодо дотичній, то його образ буде лежати на директрисі.

· Парабола є антіподерой прямий.

· Всі параболи подібні. Відстань між фокусом і директрисою визначає масштаб.

· При обертанні параболи навколо осі симетрії виходить еліптичний параболоїд.