Основні правила диференціювання.

Теорема 1. Похідна сталої дорівнює нулю. y = c, то y΄ = 0

Теорема 2. Похідна алгебраїчної суми скінченого числа диференційованих функцій дорівнює алгебраїчній сумі похідних цих функцій

; Теорема3 Похідна добутку двох диференційованих функцій дорівнює добутку першого множника на похідну другого плюс добуток другого множника на похідну першого:

; Теорема 4 Сталий множник виносимо за знак похідної

(cu)΄ = cu΄, де c = const; Теорема 5 Якщо чисельник і знаменник дробу диференційовані функції (знаменник не перетворюється в нуль), то похідна дробу також дорівнює дробу, чисельник якого є різниця добутків знаменника на похідну чисельника і чисельника на похідну знаменника, а знаменник є квадрат знаменника початкового дробу

 

 

26. Означення, геометричний та механічний зміст диференціала

Нехай функція у = f (х) диференційовна в точці х [а; b], тобто в цій точці має похідну

Тоді з властивості 1o (гл. 4, п. 3.6)

при х 0,

звідки

(1)

Перший з доданків лінійний відносно х і при х 0 та f' (х) 0 є нескінченно малою одного порядку з х, тому що (гл. 4, п. 4.3):

Другий доданок — нескінченно мала вищого порядку, ніж х, тому що

Цей доданок не є лінійним відносно х, тобто містить х в степені, вищому від одиниці. Таким чином, перший доданок у формулі (1) є головною частиною приросту функції, лінійною відносно приросту аргументу.

Диференціалом dy функції у = f (х) в точці х називається головна, лінійна відносно х, частина приросту функції f(х) в цій точці:

dy = f' (х) х. (2)

Диференціал dy називають також диференціалом першого порядку. Якщо у = х, то у' = х' = 1, тому dy = dx = х, тобто диферен­ціал dx незалежної змінної х збігається з її приростом х. Тому формулу (2) можна записати так:

dy = f'(x)dx. (3)

Формула (4) дає змогу розглядати похідну як відношення диферен­ціала функції до диференціала незалежної змінної.

Зауважимо, що коли в точці х0 похідна f' (х0) = 0, то перши й доданок у формулі (1) дорівнює нулеві і вже не є головною части­ною приросту . Але і в цьому випадку диференціал dy знаходять за формулою (4).

Геометричний зміст диференціала зрозумілий з рис. 5.18. Маємо

PN = y, QN = MNtg = хf'(x) = f'(x)dx = dy.

Отже, диференціал функції f (х) при заданих значеннях х і х до­рівнює приросту ординати дотичної до кривої у = f (х) в точці х. Приріст функції y при цьому дорівнює приросту ординати кривої. Таким чином, заміна приросту функції на її диференціал геометрично означає заміну ординати АР кривої ординатою дотичної AQ. Зрозумі­ло, що така заміна доцільна лише для достатньо малих значень х.

З'ясуємо механічний зміст диферен­ціала. Нехай матеріальна точка руха­ється за відомим законом

S = f(t), де f(t) — диференційовна на деякому про­міжку функція. Тоді диференціал цієї функції dS = f'(t) при фіксованих значеннях t і — це той шлях, який пройшла б матеріальна точка за час , якби вона рухалась прямолінійно і рів­номірно із сталою швидкістю . Зрозуміло, що фактичний шлях S у випадку нерівномірного руху на від­міну від диференціала dS не є лінійною функцією часу і тому відрізняється від шляху dS. Проте якщо час достатньо малий, то швидкість руху не встигає суттєво змінитись, і тому рух точки на проміжку часу від t до t + є майже рівномірним.

Поняття диференціала можна проілюструвати і на інших прикла­дах, які розглянуто в п. 1.1. У кожному з них поняття диференціала набуває конкретного фізичного змісту.

27. Властивості диференціала

Оскільки диференціал функції дoрівнює добутку її похідної на диференціал незалежної змінної, то властивості диференціала можна легко дістати із відповідних властивостей похідної. Якщо, наприклад, и і v — диференційовні функції від х, С — стала, то маємо такі правила знаходження диференціалів:

; d (u ± ) = du ± d ;

Доведемо, наприклад, четверту формулу. За означенням диферен­ціала маємо

d (uv) = (uv)'xdx = (u'v + uv') dx — = vu'dx + uv'dx = vdu + udv. Особливо важливий висновок випливає з правила диференцію­вання складеної функції. Нехай у = f (х) = f ( (t)) — складена функція з проміжним аргументом х = (t) і кінцевим аргументом t, причому функції f (х), (t) диференційовні в точках х і t. Тоді існує похідна y't = y'xx't, а отже, і диференціал

dy = y'tdt = y'xx'xdt = y'xdx. (5) Порівнюючи формули (4) і (5), бачимо, що перший диференціал функції у = f (х) визначається за однією і тією самою формулою неза­лежно від того, чи змінна х є незалежною змінною, чи вона є функ­цією іншої змінної. Цю властивість диференціала називають інваріантністю (незмін­ністю) форми диференціала. Проте слід зауважити, що формули (4), де х — незалежна змінна, і (5), де х — залежна змінна, однакові лише на вигляд, а зміст їх різний: якщо у формулі (4) ах = Ал:, то у формулі (5)

dx = x'(t)dt x.

28. У деяких задачах виникає необхідність обчислити похідну від функції, яка є похідною іншої функції. Такі похідні називають похідними вищих порядків. Нехай функція задана і диференційовна на деякому проміжку . Якщо існує границя ,то її називають другою похідною функції у точці і позначають символом або . За означенням або .

Аналогічно , . Другим диференціалом називають диференціал від першого диференціала:

Взагалі, п-м диференціалом називають диференціал від диференціала -го порядку:

.

29. Теорема Ферма: похідна гладкою функції в точках локального максимуму і локального мінімумудорівнює нулю. Точка називається точкою локального максимуму, якщо існує таке, що значенняфункції в околиці менше, ніж у точці.
Точка називається точкою локального мінімуму, якщо існує таке, що значенняфункції в околиці більше, ніж у точці Гладка функція - усюди дифференцируемая функція, тобто безперервна і маєпохідну в усіх точках визначення (її можна погладити, не поранивши руки). Прикладнегладкою функції. , Доказ: по визначенню нехай. З одного боку, межа неположітелен, з іншого - межа неотріцателен єдине число,яке може примирити ліву і праву частини. . Теорема Ролля: Нехай гладка функція на відрізку і , тоді така, що .ч Доказ: тому функція гладка, то вона неперервна. Безперервна функція досягаєсвого найбільшого і найменшого значення.1. ; 2. То або мінімум, або максимум, або вони обидва досягаються у внутрішній точці потеоремі Ферма ч.т.д.

 

30. Теорема Лагранжа

Теорема. Якщо функція : 1) задана і неперервна на відрізку ; 2) диференційована в інтервалі , то тоді всередині інтервалу знайдеться хоча б одна точка , в якій справджуються рівність

. (6.73). Д о в е д е н н я. Розглянемо функцію ,

що задовольняє всім умовам теореми Ролля. Справді, на відрізку є неперервною (як різниця двох неперервних функцій), а всередині інтервалу має похідну

; . Отже, існує точка в якій або, що саме, звідси

Теорему доведено. Теорема Коші: Теорема. Нехай: 1) функції і задані і неперервні на відрізку ; 2) диференційовані в інтервалі ; 3) похідна всередині інтервалу не дорівнює нулю. Тоді всередині інтегралу знайдеться така точка , що має місце рівність

. (6.75)

 

31. Правило Лопіталя: Розглянемо невизначеність виду. Теорема 1. Нехай для функцій і виконуються умови: 1) функції визначені на півінтервалі і

; 2) в інтервалі диференційовані, причому для всіх ; 3) існує (скінчена або нескінченна) границя . Тоді існує границя відношення при і ця границя дорівнює теж числу , тобто

. Висновок цієї теореми читають ще так: границя відношення функції дорівнює границі відношення похідних від цих функцій. Наведену теорему називають першим правилом Лопіталя. Зауваження 1. Може статися, що поряд з рівностями виконуються рівності

Нехай тоді, застосовуючи двічі доведену теорему, дістаємо таку рівність:

. Зауваження 2. Теорема 1 при виконанні її умов справджується і тоді, коли точка є невласною, тобто. У цьому випадку Застосувавши підстановку, маємо

Сформулюємо другу теорему Лопіталя, яка стосується розкриття невизначеності виду. Теорема 2. Нехай для функцій і виконуються умови: 1) функції визначені на півінтервалі і при цьому 2) функції диференційовані в інтервалі причому 3) існує (скінчена або нескінченна) границя

Тоді . Зауваження 3. Крім невизначеностей є ще й інші невизначеності: Проте всі вони зводяться до невизначеності.