Пусть проводится серия из n испытаний, в каждом из которых событие А может наступить с одной и той же вероятностью p или не наступить с вероятностью q=1-p, независимо от номера испытания и результата предыдущего опыта. Такие серии опытов называются последовательностью независимых испытаний или схемой Бернулли. В связи со схемой Бернулли рассматриваются такие задачи: 1) найти вероятность того, что в серии из n испытаний событие А наступит ровно k раз: 
; 2) найти вероятность того, что в серии из n испытаний событие А наступит не менее чем 
раз и не более, чем 
раза: 
Указанные вероятности находят по формуле Бернулли:
Если число n велико, а p не слишком мало, то для вычисления вероятности можно воспользоваться приближенными (асимптотическими) формулами Муавра-Лапласа (локальная теорема Муавра-Лапласа; интегральная теорема Муавра-Лапласа).
Локальная теорема Муавра – Лапласа:
, где 
и 
Интегральная теорема Муавра – Лапласа:
, где 
Функции j(´) и Ф(х) табулированы, то есть таблицы значений этих функций приведены в каждом учебнике по теории вероятностей. Можно указать некоторые свойства этих функций:j(-x)=j(x); Ф(-х)=-Ф(х); Ф(0)=0; Ф(х) ® 0,5 при х ® ¥.
Если число испытаний n велико, а вероятность появления события А в каждом испытании мала, то для вычисления вероятности появления k раз события А в серии из n испытаний можно воспользоваться формулой Пуассона
, где l=n×p.
Число 
успехов, при котором достигается наибольшая из возможных вероятностей, называется наивероятнейшим числом успехов. Оно определяется как целое число на промежутке np – q£ m £ np+p.
Формула Бернулли
Теорема: Если Вероятность p наступления события Α в каждом испытании постоянна, то вероятность 
того, что событие A наступит k раз в n независимых испытаниях, равна: 
, где 
.
Наивероятнейшее число наступления события
Число k0 называют наивероятнейшим, если вероятность того, что событие наступит в этих испытаниях k0 раз, превышает вероятности остальных возможных исходов испытаний.
Наивероятнейшее число k0 определяют из двойного неравенства
np-q≤k0≤np+p,
причем:
а) если число nр-q — дробное, то существует одно наивероят нейшее чиcло k0;
б) если число nр-q — целое, то существует два наивероятнейших числа, а именно: k0 и k0+1;
в) если число nр—целое, то наивероятнейшее число k0 = nр.
Формула Пуассона
Теорема. Если веро ят ность 
наступления события 
в каждом испытании постоянна и мала, а число независимых испытаний 
достаточно велико, то вероятность наступления события ровно 
раз приближенно равна
,(3.4)
где 
.
Доказательство. Пусть даны вероятность наступления события в одном испытании и число независимых испытаний . Обозначим . Откуда 
. Подставим это выражение в формулу Бернулли:
При достаточно большом!!n,, и сравнительно небольшом!!m,, все скобки, за исключением предпоследней, можно принять равными единице, т.е.
Учитывая то, что достаточно велико, правую часть этого выражения можно рассмотреть при 
, т.е. найти предел
Тогда получим
№15. Некоторые законы распределения непрерывных случайных величин
Равномерное распределение
Равномерным называется распределение непрерывной случайной величины Х все значения которой лежат на отрезке [a;b] и имеют при этом постоянную плотностьраспределения 
площадь под кривой распределения равна 1 и поэтому с(в-а)=1 
вероятность попадания случайной величины Х на интервал от (α;β) 
α=а, если α<аβ=в, если β>восновные числовые характеристики закона распределения плотности вычисляютсяпо общим формулам и они равны 
Нормальный закон распределения (закон Гаусса) Нормальным называется распределение случайной величины Х если ф-ция плотностираспределения 
Полученное выражение через элементарные функции не может быть выражено, такая функция так называемый интеграл вероятности для которой составлены таблицы,чаще всего в качестве такой функции используют 
Часто по условию задачи необходимо определить вероятность попадания случайнойвеличины Х на участок симметричный математическому ожиданию. 
Биномиальное распределение.
Биномиальным называют законы распределения случайной величины Х числа появления некоторого события в n опытах если вероятность р появления события в каждом опыте постоянна
Сумма вероятностей представляют собой бином Ньютона
Для определения числовых характеристик в биномиальное распределение подставить вероятность которая определяется по формуле Бернули.
При биномиальном распределении дисперсия равна мат. Ожиданию умноженному на вероятность появления события в отдельном опыте.
Распределение Пуассона
Когда требуется спрогнозировать ожидаемую очередь и разумно сбалансировать число и производительность точек обслуживания и время ожидания в очереди. Пуассоновским называют закон распределения дискретной случайной величины Х числа появления некоторого события в n-независимых опытах если вероятность
того, что событие появится ровно m раз определяется по формуле.
a=np
n-число проведенных опытов
р-вероятность появления события в каждом опыте
В теории массового обслуживания параметр пуассоновского распределения определяется по формуле
а=λt, где λ - интенсивность потока сообщений t-время
Необходимо отметить, что пуассоновское распределение является предельным случаем биномиального, когда испытаний стремится к бесконечности, а вероятность появления события в каждом опыте стремится к 0.
Экспоненциальное распределение для непрерывных случайных величин является аналогом распределения Пуассона для дискретных случайных величин и имеетследующий вид. 
вероятность попадания случайной величины Х на интервал (α;β) 
Следует отметить, что время безотказной работы удовлетворяется именнопоказательному закону, а поэтому это понятие часто используется в понятиинадежности. Теорема Ляпунова.
Пусть с 
,… последовательность попарно независимых случайных величин с математическими ожиданиями M 
и дисперсиями D 
, причём эти величины обладают следующими двумя свойствами:
1) Cуществует такое число L, что для любого i имеет место неравенство 
, т, е. все значения случайных величин, как говорят, равномерно ограничены, относительно математических ожиданий;
2) Сумма 
неограниченно растёт при 
Тогда при достаточно большом n сумма 
имеет распределение, близкое к нормальному.
Пусть 
и 
математическое ожидание и дисперсия случайной величины . Тогда
