Даны точки: 
, 
, 
, 
, где 
– номер студента по списку.
1. Найти координаты, абсолютные величины векторов 
и 
.
2. При каком значении 
перпендикулярны векторы 
и 
?
3*. Проверьте, коллинеарные ли векторы 
и ?
4*. Образуют ли векторы 
, 
, 
базис?
5**. Найти угол между векторами 
и 
.
6**. Образуют ли векторы 
, 
, 
базис? Если да, то найти в нем координаты вектора 
.
Примечание.
Чтобы получить оценку «3», достаточно решить задания: 1-3. Для получения оценки «4», необходимо решить задания: 1-5, а для получения оценки «5», нужно выполнить все задания.
Практическая работа № 12
Тема: Многогранники.
Цель: Знать формулы вычисления боковой и полной поверхности призмы. пирамиды, параллелепипеда и уметь применять их к решению задач.
Методические рекомендации
Площадью поверхности многогранника по определению считается сумма площадей, входящих в эту поверхность многоугольников.
Основные формулы
| № п/п | Наименование многогранника | Изображение | Площадь боковой и полной поверхности |
| 1. | Куб | 
| 
V=a3
|
| 2. | Прямоугольный параллелепипед | 
| 
V=a*b*c
V=Sосн*h
|
| 3. | Призма | 
| 
V=Sосн*h
|
| 4. | Пирамида | 
| 
V=(1/3)*Sосн*h
|
Варианты заданий практической работы
1 вариант
1. Основанием прямой призмы ABCDA1B1C1D1 является параллелограмм ABCD со сторонами 6 см и 12 см и углом 60°. Диагональ B1D призмы образует с плоскостью основания угол в 30°. Найдите площадь полной поверхности призмы.
2. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 3 см, а угол между боковой гранью и основанием равен 45°. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
3. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна а, а боковая грань наклонена к плоскости основания под углом a. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
2 вариант
1. Основанием прямой призмы ABCDA1B1C1D1 является параллелограмм ABCD со сторонами 4 см и 4 
см и углом 30°. Диагональ AC1 призмы образует с плоскостью основания угол в 60°. Найдите площадь полной поверхности призмы.
2. Высота основания правильной треугольной пирамиды равна 3 см, а угол между боковой гранью и основанием пирамиды равен 45°. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
3. Основание пирамиды – квадрат со стороной а. Одна из боковых граней перпендикулярна основанию, а две смежные с ней грани составляют с плоскостью основания угол a. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
3 вариант
1. Основанием прямой призмы ABCDA1B1C1D1 является параллелограмм ABCD со сторонами 6 см и 6 см и углом 150°. Диагональ B1D призмы образует с плоскостью основания угол в 60°. Найдите площадь полной поверхности призмы.
2. Сторона правильной треугольной пирамиды равна 4 см, а угол между боковым ребром и основанием равен 60°. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
3. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна H, а боковое ребро составляет с основанием угол a. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
4 вариант
1. Основанием прямой призмы ABCDA1B1C1D1 является параллелограмм ABCD со сторонами 3 см и 6 см и углом 120°. Диагональ AC1 призмы образует с плоскостью основания угол в 30°. Найдите площадь полной поверхности призмы.
2. Высота основания правильной треугольной пирамиды равна 4 см, а угол между боковым ребром и основанием пирамиды равен 30°. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
3. Основание прямоугольного параллелепипеда – квадрат. Угол между диагоналями смежных граней, исходящих из одной вершины, равен a. Диагональ параллелепипеда равна d. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.
Практическая работа № 13
Тема: Тела вращения.
Цель: Знать формулы для нахождения площадей поверхностей тел вращения и уметь применять их к решению задач.
Методические рекомендации
| № п/п | Наименование фигуры | Изображение | Формула площадей полной и боковой поверхности |
| 1. | Цилиндр | 
| 
|
| 2. | Конус | 
| 
|
| 3. | Сфера, шар | 
| 
|
Варианты заданий практической работы
1 вариант
1. Осевое сечение цилиндра – квадрат, длина диагонали которого равна 20 см. Найдите радиус основания цилиндра.
1) 5 
см; 2) 8 см; 3) 10 см; 4) 10 см
2. Площадь осевого сечения цилиндра равна 6 
дм 
, а площадь основания цилиндра равна 25 дм . Найдите высоту цилиндра.
1) 
дм; 2) 
дм; 3) 0,6 
дм; 4) 2 дм
3. Длина образующей конуса равна 2 см, а угол при вершине осевого сечения конуса равен 120 
. Найдите площадь основания конуса.
1) 8 см ; 2) 8 см ; 3) 9 см ; 4) 6 см
4. Радиус основания конуса 3 см. Найдите наибольшую возможную площадь осевого сечения данного конуса.
1) 16 см ; 2) 18 см ; 3) 12 см ; 4) 16 см
5. Стороны треугольника АВС касаются шара. Найдите радиус шара, если АВ =8 см, ВС=10 см, АС=12 см и расстояние от центра шара О до плоскости треугольника АВС равно см.
1) 3 см; 2) 2 см; 3) 3 см; 4) 3 см
2 вариант
1. Осевое сечение цилиндра – квадрат, длина диагонали которого равна 36 см. Найдите радиус основания цилиндра.
1) 9 см; 2) 8 см; 3) 8 см; 4) 9 см
2. Площадь осевого сечения цилиндра равна 12 дм , а площадь основания равна 64дм . Найдите высоту цилиндра.
1) дм; 2) 0,75 дм; 3) 
дм; 4) 3 дм
3. Высота конуса равна 4 см, а угол при вершине осевого сечения конуса равен 120 . Найдите площадь основания конуса.
1) 120 см ; 2) 136 см ; 3) 144 см ; 4) 24 см
4. Радиус основания конуса равен 7 см. Найдите наибольшую возможную площадь осевого сечения данного конуса.
1) 54 см ; 2) 35 см ; 3) 21 см ; 4) 98 см
5. Стороны треугольника MKN касаются шара. Найдите радиус шара, если MK = 9 см, MN= 13 см, KN = 14 см и расстояние от центра шара О до плоскости MKN равно 
см.
1) 4 см; 2) 4 см; 3) 3 см; 4) 3 см
Практическая работа № 14
Тема: Измерения в геометрии.
Цель: Знать формулы для нахождения объемов многогранников и тел вращения и уметь их применять их к решению задач.
Методические рекомендации
При выполнении практической работы, воспользуйтесь методическими рекомендациями к практической работе № 12;13.
1 вариант
1. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 9. Объем параллелепипеда равен 81. Найдите высоту цилиндра.
2. Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 8,5. Найдите его объем.
3. Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 18.
4. Объем конуса равен 112. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.
5. Около шара описан цилиндр, площадь поверхности которого равна 18. Найдите площадь поверхности шара.
.
2 вариант
1. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 1. Объем параллелепипеда равен 5. Найдите высоту цилиндра.
2. Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 6,5. Найдите его объем.
3. Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 14.
4. Объем конуса равен 120. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.
5. Около шара описан цилиндр, площадь поверхности которого равна 24. Найдите площадь поверхности шара.
Практическая работа № 15
Тема: Элементы комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики.
Цель: Знать формулы комбинаторики, теории вероятностей и уметь применять их при решении задач.
Методические рекомендации
| Название | Формула | Примеры |
| 1. Вероятность события Р(А) | 
| В урне 3 белых и 9 черных шаров. Из урны наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется черным (событие А)?
Решение.  , 
| ||||||||||||
| 2. Вероятность достоверного события (U); вероятность невозможного события (V) |  ; 
| |||||||||||||
| КОМБИНАТОРИКА | ||||||||||||||
| 3. Размещения | 
| 
| ||||||||||||
| 4. Перестановки | 
| 
| ||||||||||||
| 5. Сочетания | 
| 
| ||||||||||||
| 6. Теорема сложения и умножения вероятностей | 
 , где
 - вероятность противоположного события
| · Вероятность попадания снаряда в первый склад равна 0,225, во второй – 0,325. В результате детонации любое попадание взрывает оба склада. Какова вероятность того, что оба склада будут уничтожены?
Решение.
· Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна  , для второго стрелка равна  . Найти вероятность того, что оба стрелка попадут в цель.
| ||||||||||||
| 7. Формула полной вероятности | 
| |||||||||||||
| 8. Формула Бернулли |  , 
| В урне 20 шаров: 15 белых и 5 черных. Вынули подряд 5 шаров, причем каждый вынутый шар возвращается в урну и перед извлечением следующего тщательно перемешиваются. Найти вероятность того, что из пяти вынутых шаров будет 2 белых.
Решение.
 ; 
| ||||||||||||
9. Математическое ожидание 
|  ,
 - дискретная с.в.
 - соответствующие вероятности
|
Решение.
| ||||||||||||
Свойства
1. 
2. 
3. 
4. 
| ||||||||||||||
10. Дисперсия дискретной с.в. 
| 
|
|
Варианты заданий практической работы
1 вариант
1. Решите уравнение: 
2. Бригадир должен отправить на работу бригаду из 3-х человек. Сколько таких бригад можно составить из 8 человек?
3. Брошена игральная кость. Найти вероятность:
а) появления четного числа очков;
б) появления не больше двух очков.
4. В партии из 15 деталей имеется 8 стандартных. Найти вероятность того, что среди пяти взятых наугад деталей 3 стандартные.
2 вариант
1. Решите уравнение: 
2. Сколькими способами можно расставить 6 томов энциклопедии, чтобы они стояли в беспорядке?
3. В урне 5 белых и 10 черных шаров. Из урны наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется:
а) черным;
б) белым.
4. Первенство по футболу оспаривают 20 команд, среди которых 7 лидирующих. Путем жеребьевки команды распределяются на две группы по 10 команд в каждой. Какова вероятность попадания всех лидирующих команд в одну группу?
3 вариант
1. Решите уравнение: 
2. Из 10 кандидатов нужно выбрать 3-х на конференцию. Сколькими способами это можно сделать?
3. Брошена игральная кость. Найти вероятность:
а) появления четного числа очков;
б) появления не больше трех очков.
4. Восемь различных книг расставляются наудачу на одной полке. Найти вероятность того, что две определенные книги окажутся поставленными рядом.
4 вариант
1. Решите уравнение: 
2. Сколькими способами могут разместиться 5 человек вокруг стола?
3. Два стрелка стреляют по одной и той же цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,82, для второго 0,75. Найти вероятность того, что оба стрелка попадут в цель.
4. В ящике имеется 80 стандартных деталей и 20 нестандартных. Из ящика наудачу берут одну за другой две детали. Какова вероятность появления стандартной детали при первом испытании, при втором испытании?
5 вариант
1. Решите уравнение: 
2. Бригадир должен отправить на работу 4 человек. Сколькими способами это можно сделать, если бригада состоит из 10 человек?
3. В урне 20 шаров. 17 белых и 3 черных. Вынули подряд 5 шаров, причем каждый вынутый шар возвращается в урну и перед извлечением следующего, шары в урне тщательно перемешиваются. Найти вероятность того, что из пяти вынутых шаров три белых.
4. Найти математическое ожидание с.в. Х, если закон ее распределения задан таблицей:
| ||||
| 0,3 | 0,1 | 0,2 | 0,4 |
6 вариант
1. Решите уравнение: 
2. Сколькими способами можно расставить 5 томов, чтобы они стояли в беспорядке?
3. В учебных мастерских на станках а, b и c изготавливают соответственно 30 %, 45 % и 25 % всех деталей. В их продукции брак составляет соответственно 13 %, 11 % и 5 %. Найти вероятность того, что наугад взятая деталь дефектна.
4. Найти дисперсию дискретной с.в. Х, зная закон ее распределения:
|
| |||||
|
| 0,2 | 0,4 | 0,3 | 0,08 | 0,02 |
ЛИТЕРАТУРА
1. Александров А.Д. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10 класс: учеб. для общеобразоват. организаций: углубл. уровень / А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. – М.: Просвещение, 2014. – 271 с.
2. Александров А.Д. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия 11 класс: учеб. для общеобразоват. организаций: углубл. уровень / А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. – М.: Просвещение, 2014. – 272 с.
3. Башмаков М.И. Математика. Задачник: учеб. пособие для студ. учреждений сред. проф. образования / М.И. Башмаков. – 4-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2014. – 416 с.
4. Башмаков М.И. Математика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования / М.И. Башмаков. – 9-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2014. – 256 с.
5. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни / [С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин]. – М.: Просвещение, 2014. – 431 с.
6. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни / [С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин]. – М.: Просвещение, 2014. – 464 с.
7. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10–11 классы: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни / [Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.]. – М.: просвещение, 2014. – 255 с.
8. Пратусевич М.Я. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. организаций: углубл. уровень / М.Я. Пратусевич, К.М. Столбов, А.Н. Головин. – М.: Просвещение, 2014. – 415 с.
9. Пратусевич М.Я. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учеб. для общеобразоват. организаций: углубл. уровень / М.Я. Пратусевич, К.М. Столбов, А.Н. Головин. – М.: Просвещение, 2014. – 463 с.
